Полиномиальный функтор

В алгебре полиномиальный функтор - это эндофунктор в категории конечномерных векторных пространств,${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ которые полиномиально зависят от векторных пространств. Например, симметричные степени и внешние степени являются полиномиальными функторами от до ; эти два также являются функторами Шура .${\ Displaystyle V \ mapsto \ OperatorName {Sym} ^ {n} (V)}$ ${\ Displaystyle V \ mapsto \ клин ^ {п} (V)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$

Это понятие появляется в теории представлений, а также в теории категорий ( исчислении функторов ). В частности, категория однородных полиномиальных функторов степени п эквивалентна категории конечномерных представлений о симметрической группы над полем нулевой характеристики. ^[1]${\ displaystyle S_ {n}}$

Определение [ править ]

Пусть к будет поле в характеристике нуля и категория конечномерных к - векторные пространств и к - линейные отображения . Тогда эндофунктор является полиномиальным функтором, если выполняются следующие эквивалентные условия:${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ ${\ Displaystyle F \ двоеточие {\ mathcal {V}} \ to {\ mathcal {V}}}$

• Для каждой пары векторных пространств X , Y in карта является полиномиальным отображением (т. Е. Векторным полиномом в линейных формах).${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$${\ Displaystyle F \ двоеточие \ OperatorName {Hom} (X, Y) \ to \ operatorname {Hom} (F (X), F (Y))}$
• Для заданных линейных отображений в функция, определенная в, является полиномиальной функцией с коэффициентами в .${\displaystyle f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r})\mapsto F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$${\displaystyle k^{r}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))}$

Полиномиальный функтор называется однородным степени n, если для любых линейных отображений в с общими областями определения и области значений вектор-многочлен однороден степени n .${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$

Варианты [ править ]

Если заменить «конечные векторные пространства» на «конечные множества», получится понятие комбинаторных видов (точнее, полиномиальных).

Ссылки [ править ]

• Макдональд, Ян Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x + 475 стр.  ISBN  0-19-853489-2 MR 1354144