Исчисление функторов

В алгебраической топологии , раздел математики , исчисление функторов или исчисление Гудвилли - это метод изучения функторов путем их приближения последовательностью более простых функторов; обобщающая sheafification в виде предпучки . Эта последовательность приближений формально похожа на ряд Тейлора в виде гладкой функции , отсюда термин « исчисление функторов».

Многие объекты, представляющие центральный интерес в алгебраической топологии, можно рассматривать как функторы, которые трудно анализировать напрямую, поэтому идея состоит в том, чтобы заменить их более простыми функторами, которые являются достаточно хорошими приближениями для определенных целей. Исчисление функторов было разработано Томасом Гудвилли в серии из трех статей в 1990-х и 2000-х годах ^{[1] [2] [3]} и с тех пор было расширено и применено в ряде областей.

Примеры [ править ]

Мотивационным примером, представляющим центральный интерес в геометрической топологии , является функтор вложений одного многообразия M в другое многообразие N, первая производная которого в смысле исчисления функторов является функтором погружений . Поскольку каждое вложение является погружением, получается включение функторов - в этом случае отображение функтора в приближение является включением, но в целом это просто отображение.${\ Displaystyle \ mathrm {Emb} (M, N) \ to \ mathrm {Imm} (M, N)}$

Как показывает этот пример, линейная аппроксимация функтора (в топологическом пространстве) - это его пучкообразование , если рассматривать функтор как предпучок на пространстве (формально как функтор на категории открытых подмножеств пространства), а пучки - линейные функторы.

Этот пример изучали Гудвилли и Майкл Вайс . ^{[4] [5]}

Определение [ править ]

Вот аналогия: с помощью метода рядов Тейлора из исчисления вы можете аппроксимировать форму гладкой функции f вокруг точки x , используя последовательность полиномиальных функций со все большей точностью. Аналогичным образом, с помощью метода исчисления функторов, вы можете аппроксимировать поведение определенного вида функтора F на конкретном объекте X , используя последовательность полиномиальных функторов со все большей точностью .

Чтобы быть конкретным, пусть M - гладкое многообразие и пусть O (M) - категория открытых подпространств в M , т. Е. Категория, в которой объекты являются открытыми подпространствами в M , а морфизмы - отображениями включения . Пусть F - контравариантный функтор из категории O (M) в категорию Top топологических пространств с непрерывными морфизмами. Этот вид функтора, называется Top - значный Предпучок на М , является видом функтора можно аппроксимировать с помощью исчисления метода функторов: для конкретного открытого множества X∈O (M), вы можете захотеть узнать, что такое топологическое пространство F (X) , чтобы вы могли изучить топологию все более точных приближений F ₀ (X), F ₁ (X), F ₂ (X) и т. д. .

В методе исчисления функторов последовательность приближений состоит из (1) функторов и т. Д., А также (2) естественных преобразований для каждого целого числа k . Эти естественные преобразования должны быть совместимыми, а это означает, что композиция равна карте и, таким образом, образует башню. ${\ displaystyle T_ {0} F, T_ {1} F, T_ {2} F}$ ${\ displaystyle \ eta _ {k} \ двоеточие F \ to T_ {k} F}$${\ displaystyle F \ to T_ {k + 1} F \ to T_ {k} F}$${\ displaystyle F \ to T_ {k} F,}$

${\displaystyle F\to \cdots \to T_{k+1}F\to T_{k}F\to \cdots \to T_{1}F\to T_{0}F,}$

и его можно рассматривать как «последовательные приближения», так же как в ряду Тейлора можно постепенно отбрасывать члены более высокого порядка.

Аппроксимирующие функторы должны быть « к - вырезаемо » - такие функторы называются полиномиальными функторамипо аналогии с полиномами Тейлора, что является упрощающим условием и примерно означает, что они определяются своим поведением вокруг k точек за раз, или, более формально, являются пучками на конфигурационном пространстве из k точек в данном пространстве. Разница между k- м и st функторами - это «однородный функтор степени k » (по аналогии с однородными многочленами ), который можно классифицировать.${\displaystyle (k-1)}$

Чтобы функторы были приближениями к исходному функтору F, результирующие аппроксимационные карты должны быть n -связными для некоторого числа n, что означает, что аппроксимирующий функтор аппроксимирует исходный функтор «в размерности до n »; это может не произойти. Далее, если кто-то хочет восстановить исходный функтор, полученные приближения должны быть n -связными для n, возрастающего до бесконечности. Один затем вызывает F аналитический функтор ,${\displaystyle T_{k}F}$${\displaystyle F\to T_{k}F}$ и говорит, что «башня Тейлора сходится к функтору», по аналогии с рядом Тейлора аналитической функции.

Филиалы [ править ]

Существует три раздела исчисления функторов, которые развиваются в следующем порядке:

• исчисление многообразий, например вложения,
• гомотопическое исчисление и
• ортогональное исчисление.

Гомотопическое исчисление нашло гораздо более широкое применение, чем другие отрасли. ^{[ необходима цитата ]}

История [ править ]

Понятия связки и связки предпучка относятся к ранней теории категорий и могут рассматриваться как линейная форма исчисления функторов. Квадратичную форму можно увидеть в работе Андре Хефлигера о связях сфер в 1965 году, где он определил «метастабильный диапазон», в котором задача проще. ^[6] Это было идентифицировано как квадратичная аппроксимация функтора вложений в Гудвилли и Вайссе.

Ссылки [ править ]

• Мансон, Брайан (2005), Программа по математике 283: Исчисление функторов (PDF)

Внешние ссылки [ править ]

• Томас Гудвилли
• Джон Кляйн
• Майкл С. Вайс