Конфигурационное пространство (математика)

Конфигурационное пространство всех неупорядоченных пар точек на окружности - лента Мёбиуса .

В математике , конфигурационное пространство представляет собой конструкцию , тесно связаны с пространствами состояний или фазовых пространств в физике. В физике они используются для описания состояния всей системы как единой точки в многомерном пространстве. В математике они используются для описания присвоения набора точек позициям в топологическом пространстве . Точнее говоря, конфигурационные пространства в математике - это частные примеры конфигурационных пространств в физике в частном случае нескольких не сталкивающихся частиц.

Определение [ править ]

Для топологического пространства , то п - ^й (упорядоченный) конфигурационное пространство X есть множество п - кортежи попарно различных точек :${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X):=\prod ^{n}X\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\ {\text{ for some }}i\neq j\}.}$^[1]

Это пространство обычно наделено топологией подпространств от включения в . Кроме того , иногда обозначается , или . ^[2]${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle F(X,n)}$${\displaystyle F^{n}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}(X)}$

Существует естественное действие в симметрической группы на точках дается${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{aligned}}}$

Это действие порождает n- ^е неупорядоченное конфигурационное пространство X ,

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n},}$

которое является пространством орбит этого действия. Интуиция подсказывает, что это действие «забывает названия точек». Неупорядоченное конфигурационное пространство иногда обозначают , ^[2] или . Совокупность всех неупорядоченных конфигурационных пространств - это пространство Ran с естественной топологией.${\displaystyle {\mathcal {UC}}^{n}(X)}$ ${\displaystyle B_{n}(X)}$${\displaystyle C_{n}(X)}$${\displaystyle n}$

Альтернативные формулировки [ править ]

Для топологического пространства и конечного множества , в конфигурационном пространстве X с частицами , меченных S является${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{S}(X):=\{f\mid f\colon S\hookrightarrow X{\text{ is injective}}\}.}$

Для определения . Тогда n- ^е конфигурационное пространство X есть , и обозначается просто . ^[3]${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbf {n} :=\{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{\mathbf {n} }(X)}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

Примеры [ править ]

• Пространство упорядоченной конфигурации из двух точек является гомеоморфно произведением евклидова 3-пространства с кругом, то есть . ^[2]${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}}$
• В более общем смысле , конфигурационное пространство двух точек в IS гомотопический эквивалентно к сфере . ^[4]${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$
• Конфигурационное пространство точек является классифицирующим пространством й группы кос (см ниже ).${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$${\displaystyle n}$

Подключение к группам кос [ править ]

Группа кос из n- прядей на связном топологическом пространстве X есть

${\displaystyle B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X)),}$

фундаментальная группа из п - ^го неупорядоченного конфигурационного пространства X . Группа чистых кос из n нитей на X есть ^[2]

${\displaystyle P_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(X)).}$

Первыми изученными группами кос были группы кос Артина . Хотя приведенное выше определение не является тем определением, которое дал Эмиль Артин , Адольф Гурвиц неявно определил группы кос Артина как фундаментальные группы конфигурационных пространств комплексной плоскости значительно раньше определения Артина (в 1891 г.). ^[5]${\displaystyle B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2}))}$

Из этого определения и того факта, что и являются пространствами типа Эйленберга – Маклейна , неупорядоченное конфигурационное пространство плоскости является классифицирующим пространством для группы кос Артина и классифицирующим пространством для чистой группы кос Артина, когда оба рассматриваются как дискретные группы . ^[6]${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$${\displaystyle K(\pi ,1)}$${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$

Конфигурационные пространства многообразий [ править ]

Если исходное пространство является многообразием , его упорядоченные конфигурационные пространства являются открытыми подпространствами степеней и, таким образом, сами являются многообразиями. Конфигурационное пространство различных неупорядоченных точек также является многообразием, в то время как конфигурационное пространство не обязательно различных ^{[ требуется пояснение ]} неупорядоченных точек вместо этого является орбифолдом .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Конфигурационное пространство - это тип классифицирующего пространства или (тонкого) пространства модулей . В частности, существует универсальный пучок , который является суб-расслоением тривиального расслоения , и которое обладает тем свойством , что слой над каждой точкой является п элемента подмножества классифицированы по  р .${\displaystyle \pi \colon E_{n}\to C_{n}}$${\displaystyle C_{n}\times X\to C_{n}}$${\displaystyle p\in C_{n}}$${\displaystyle X}$

Гомотопическая инвариантность [ править ]

Гомотопический тип конфигурационных пространств не является гомотопически инвариантным . Так , например, пространства не являются гомотопически эквивалентны для любых двух различных значений : пусто для , не подключен к , это пространство Эйленберга-Маклейна типа , и это просто подключен к .${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathrm {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{0})}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$${\displaystyle K(\pi ,1)}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle m\geq 3}$

Раньше оставался открытым вопрос, существуют ли примеры компактных многообразий, которые были бы гомотопически эквивалентны, но имели негомотопически эквивалентные конфигурационные пространства: такой пример был найден только в 2005 году Риккардо Лонгони и Паоло Сальваторе. Их пример - два трехмерных линзовых пространства и конфигурационные пространства как минимум двух точек в них. То, что эти конфигурационные пространства не являются гомотопически эквивалентными, было обнаружено произведениями Масси в их соответствующих универсальных покрытиях. ^[7] Гомотопическая инвариантность конфигурационных пространств односвязных замкнутых многообразий, вообще говоря, остается открытой и, как было доказано, имеет место над базовым полем . ^{[8] [9]}${\displaystyle \mathbf {R} }$Доказана также вещественная гомотопическая инвариантность односвязных компактных многообразий с односвязной границей размерности не менее 4. ^[10]

Конфигурационные пространства графов [ править ]

Некоторые результаты относятся к конфигурационным пространствам графов . Эта проблема может быть связана с робототехникой и планированием движения: можно представить, как вы размещаете несколько роботов на рельсах и пытаетесь переместить их в разные положения без столкновений. Дорожки соответствуют (ребрам) графа, роботы соответствуют частицам, а успешная навигация соответствует пути в конфигурационном пространстве этого графа. ^[11]

Для любого графа , является пространством Эйленберга – Маклейна типа ^[11], и сильная деформация стягивается до CW-комплекса размерности , где - количество вершин степени не менее 3. ^{[11] [12]} Более того, и деформация втягивается в кубические комплексы с неположительной кривизной размерности не более . ^{[13] [14]}${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$${\displaystyle K(\pi ,1)}$${\displaystyle b(\Gamma )}$${\displaystyle b(\Gamma )}$${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\Gamma )}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \min(n,b(\Gamma ))}$

Пространства конфигурации механических связей [ править ]

Также определяется конфигурационное пространство механической связи с графом, лежащим в основе ее геометрии. Обычно предполагается, что такой граф построен как соединение жестких стержней и шарниров. Конфигурационное пространство такой связи определяется как совокупность всех ее допустимых положений в евклидовом пространстве, снабженная соответствующей метрикой. Конфигурационное пространство типового рычага - это гладкое многообразие, например, для тривиального плоского рычага, сделанного из жестких стержней, соединенных поворотными шарнирами, конфигурационное пространство - это n-тор . ^{[15] [16]}${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle T^{n}}$Простейшая особая точка в таких конфигурационных пространствах - произведение конуса на однородной квадратичной гиперповерхности на евклидово пространство. Такая точка сингулярности возникает для связей, которые могут быть разделены на две подсвязки, так что их соответствующие конечные точки трассы-пути пересекаются непересечным образом, например, связь, которую можно выровнять (то есть полностью сложить в линию). ^[17]

См. Также [ править ]

• Пространство конфигурации (физика)
• Пространство состояний (физика)

Ссылки [ править ]