Теорема об удалении

В алгебраической топологии , разделе математики , теорема об удалении - это теорема об относительных гомологиях и одна из аксиом Эйленберга – Стинрода . Учитывая топологическое пространство и подпространства, и такое, что также является подпространством , теорема говорит, что при определенных обстоятельствах мы можем вырезать ( вырезать ) из обоих пространств так, что относительные гомологии пар в изоморфны.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle (Х \ setminus U, A \ setminus U)}$${\ Displaystyle (Х, А)}$

Это помогает в вычислении сингулярных групп гомологий , так как иногда после удаления правильно выбранного подпространства мы получаем что-то более простое для вычисления.

Теорема [ править ]

Заявление [ править ]

Если такие, как указано выше, мы говорим, что это может быть вырезано, если отображение включения пары в индуцирует изоморфизм на относительных гомологиях: ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (X\setminus U,A\setminus U)}$${\displaystyle (X,A)}$

${\displaystyle H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\cong H_{n}(X,A)}$

Теорема утверждает , что если замыкание в содержится в интерьере части , то можно удалить.${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$

Часто подпространства, которые не удовлетворяют этому критерию включения, все же могут быть вырезаны - достаточно иметь возможность найти деформационный ретракт подпространств на подпространства, которые ему удовлетворяют.

Доказательство [ править ]

Доказательство теоремы об удалении довольно интуитивно понятно, хотя детали довольно сложны. Идея состоит в том, чтобы разделить симплексы в относительном цикле, чтобы получить другую цепочку, состоящую из «меньших» симплексов, и продолжить процесс до тех пор, пока каждый симплекс в цепочке не окажется полностью внутри или внутри . Поскольку они образуют открытое покрытие, а симплексы компактны , мы можем в конечном итоге сделать это за конечное число шагов. Этот процесс оставляет исходный класс гомологии цепи неизменным (это говорит о том, что оператор подразделения гомотопен цепи тождественному отображению на гомологиях). Таким образом, в относительной гомологии это означает , что все термины, полностью содержащиеся внутри${\displaystyle (X,A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X\setminus U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{n}(X,A)}$${\displaystyle U}$можно отбросить, не затрагивая класс гомологии цикла. Это позволяет нам показать, что карта включения является изоморфизмом, поскольку каждый относительный цикл эквивалентен циклу, которого полностью избегают .${\displaystyle U}$

Приложения [ править ]

Аксиомы Эйленберга – Стинрода [ править ]

Теорема об удалении считается одной из аксиом Эйленберга – Стинрода.

Последовательности Майера-Виеториса [ править ]

Последовательность Майера – Виеториса может быть получена с помощью комбинации теоремы об удалении и длинной точной последовательности. ^[1]

Примеры [ править ]

См. Также [ править ]

• Теорема гомотопического вырезания

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag, ISBN  0-387-96678-1
• Хэтчер, Аллен , Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002.