В алгебраической топологии , разделе математики , (особые) гомологии топологического пространства относительно подпространства - это конструкция в особых гомологиях для пар пространств . Относительная гомология полезна и важна по нескольким причинам. Интуитивно это помогает определить, какая часть абсолютной группы гомологий происходит из какого подпространства.
ОпределениеУчитывая подпространство , можно составить короткую точную последовательность
где обозначает особые цепи на пространстве X . Граничная карта на листья инвариант a и, следовательно, спускается на граничную картуна частное. Если обозначить это частное через, тогда мы имеем сложный
По определению n- я группа относительных гомологий пары пространств является
Говорят, что относительная гомология задается относительными циклами , цепями, чьи границы являются цепями на A , по модулю относительных границ (цепи, которые гомологичны цепи на A , т. Е. Цепочки, которые были бы границами, снова по модулю A ). [1]
ХарактеристикиВышеупомянутые короткие точные последовательности, определяющие относительные цепные группы, приводят к цепному комплексу коротких точных последовательностей. Тогда применение леммы о змее дает длинную точную последовательность
Соединительная карта берет относительный цикл, представляя класс гомологии в , к его границе (которая является циклом в A ). [2]
Следует, что , где это точка в X , является п -й приведенных гомологий группы X . Другими словами, для всех . Когда, свободный модуль на один ранг меньше, чем . Связная компонента, содержащая становится тривиальным в относительной гомологии.
Теорема иссечения говорит , что удаление достаточно хорошее подмножество покидает группы относительных гомологий без изменений. Используя длинную точную последовательность пар и теорему об вырезании, можно показать, чтосовпадает с n-й редуцированной группой гомологий факторпространства.
Относительная гомология легко распространяется на тройную для .
Можно определить эйлерову характеристику пары от
Из точности последовательности следует, что эйлерова характеристика аддитивна , т. Е. Если, надо
Локальная гомологияВ -я локальная группа гомологий пространства в какой-то момент , обозначенный
определяется как группа относительных гомологий . Неформально это «локальные» гомологии рядом с .
Локальные гомологии конуса CX в нуле
Один простой пример локальной гомологии - вычисление локальных гомологий конуса (топологии) пространства в начале конуса. Напомним, что конус определяется как фактор-пространство
где имеет топологию подпространства. Тогда происхождение класс эквивалентности точек . Используя интуицию, что группа локальных гомологий из в фиксирует гомологию "около" начала координат, следует ожидать, что это гомология поскольку имеет гомотопический отводной к. Затем вычисление локальных когомологий может быть выполнено с использованием длинной точной последовательности в гомологиях
Поскольку конус пространства стягиваем , все средние группы гомологий равны нулю, что дает изоморфизм
поскольку может быть заключен в .
В алгебраической геометрии
Обратите внимание , что предыдущая конструкция может быть доказана в алгебраической геометрии с использованием аффинного конуса в виде проективного многообразия используя локальные когомологии .
Локальные гомологии точки на гладком многообразии
Другое вычисление для локальных гомологий можно вычислить в точке многообразия . Тогда пусть быть компактной окрестностью изоморфен замкнутому диску и разреши . Используя теорему об вырезании, существует изоморфизм групп относительных гомологий
следовательно, локальные гомологии точки сводятся к локальным гомологиям точки в замкнутом шаре . В силу гомотопической эквивалентности
и факт
единственная нетривиальная часть длинной точной последовательности пары является
следовательно, единственной ненулевой группой локальных гомологий является .
ФункциональностьТак же, как в абсолютных гомологиях, непрерывные отображения между пространствами индуцируют гомоморфизмы между группами относительных гомологий. Фактически, это отображение является в точности индуцированным отображением на группах гомологий, но оно спускается до фактора.
Позволять а также пары пространств такие, что а также , и разреши - непрерывное отображение. Тогда существует индуцированное отображениена (абсолютных) цепных группах. Если, тогда . Позволять
- естественные проекции, переводящие элементы в их классы эквивалентности в фактор-группах . Тогда картаявляется гомоморфизмом групп. С, эта карта спускается до частного, вызывая четко определенную карту такая, что коммутирует следующая диаграмма: [3]
Цепные отображения индуцируют гомоморфизмы между группами гомологий, поэтому индуцирует карту на группах относительных гомологий. [2]
ПримерыОдним из важных способов использования относительных гомологий является вычисление групп гомологий фактор-пространств . В случае, если является подпространством удовлетворяющее мягкому условию регулярности, что существует окрестность который имеет как деформационный ретракт, то группа изоморфен . Мы можем немедленно использовать этот факт для вычисления гомологии сферы. Мы можем реализовать как частное n-диска по его границе, т. е. . Применение точной последовательности относительных гомологий дает следующее:
Поскольку диск стягиваем, мы знаем, что его редуцированные группы гомологий обращаются в нуль во всех измерениях, поэтому приведенная выше последовательность схлопывается до короткой точной последовательности:
Следовательно, мы получаем изоморфизмы . Теперь мы можем продолжить по индукции, чтобы показать, что. Теперь, потому что является деформационным ретрактом подходящей окрестности себя в , мы получаем это .
Другой проницательный геометрический пример дается относительной гомологией где . Тогда мы можем использовать длинную точную последовательность
Используя точность последовательности, мы видим, что содержит петлю против часовой стрелки вокруг начала координат. Поскольку ядро вписывается в точную последовательность
он должен быть изоморфен . Одним из генераторов коядра является-цепь так как его граничная карта
Смотрите такжеЗаметкиРекомендации