Конус (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии конус - это обобщение векторного расслоения . В частности, дана схема X , тем относительно Spec

${\ displaystyle C = \ operatorname {Spec} _ {X} R}$

из квазикогерентных градуированных О _Й - алгебре R называется конусом или аффинным конусом из R . Аналогично относительный Proj

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (C) = \ OperatorName {Proj} _ {X} R}$

называется проективное конус из C или R .

Примечание : Конус поставляется с -действием благодаря классификации в R ; это действие является частью данных конуса (отсюда и терминология).${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$

Примеры [ править ]

• Если X = Spec к является точка , и R представляет собой однородные координатное кольцо , то аффинный конус R является (обычно) аффинным конусом над проективным многообразием , соответствующего R .
• Если для каких - то пучка идеалов I , то это нормальный конус к замкнутой схеме , определяемой I .${\ Displaystyle R = \ bigoplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$
• Если для некоторого линейного расслоения L , то есть общее пространство двойственной L .${\displaystyle R=\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$
• В более общем смысле, учитывая векторное расслоение (локально свободный пучок конечного ранга) E на X , если R = Sym ( E ^* ) - симметрическая алгебра, порожденная двойственным к E , то конус является полным пространством E , часто записываемым так же , как Е и проективный конус является проективным расслоением из Е , который записывается в виде .${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$${\displaystyle \operatorname {Proj} _{X}R}$${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$
• Пусть когерентный пучок на стек Делинь-Мамфорд X . Тогда пусть ^[1] Для любого , поскольку глобальный Spec является правым сопряженным функтором прямого изображения, мы имеем :; в частности, является коммутативной групповой схемой над X .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C({\mathcal {F}}):=\operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}})).}$${\displaystyle f:T\to X}$${\displaystyle C({\mathcal {F}})(T)=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}}),f_{*}{\mathcal {O}}_{T})}$${\displaystyle C({\mathcal {F}})}$
• Пусть R - градуированная -алгебра такая, что и когерентна и локально порождает R как -алгебру. Затем идет закрытое погружение${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle R_{0}={\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R\hookrightarrow C(R_{1})}$

предоставлено . Из-за этого она называется абелевой оболочкой конуса. Например, если для некоторого идеального пучка I , то это вложение является вложением нормального конуса в нормальное расслоение.${\displaystyle \operatorname {Sym} (R_{1})\to R}$${\displaystyle C(R_{1})}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R.}$${\displaystyle R=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

Вычисления [ править ]

Рассмотрим идеал полного пересечения и пусть - проективная схема, определяемая пучком идеалов . Тогда у нас есть изоморфизм -алгебр дается ^{[ ссылка ]}${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})\subset \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}}$

${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}{\frac {{\mathcal {I}}^{n}}{{\mathcal {I}}^{n+1}}}\cong {\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b,c]}{(g_{2}a-g_{1}b,g_{3}a-g_{1}c,g_{3}b-g_{2}c)}}}$

Свойства [ править ]

Если - градуированный гомоморфизм градуированных O _X -алгебр, то получается индуцированный морфизм между конусами:${\displaystyle S\to R}$

${\displaystyle C_{R}=\operatorname {Spec} _{X}R\to C_{S}=\operatorname {Spec} _{X}S}$.

Если гомоморфизм сюръективен, то получаются замкнутые погружения ${\displaystyle C_{R}\hookrightarrow C_{S},\,\mathbb {P} (C_{R})\hookrightarrow \mathbb {P} (C_{S}).}$

В частности, предполагая, что R ₀ = O _X , конструкция применяется к проекции (которая является картой увеличения ) и дает${\displaystyle R=R_{0}\oplus R_{1}\oplus \cdots \to R_{0}}$

${\displaystyle \sigma :X\hookrightarrow C_{R}}$.

Это раздел; т.е. является тождественным и называется вложением нулевого сечения.${\displaystyle X{\overset {\sigma }{\to }}C_{R}\to X}$

Рассмотрим градуированную алгебру R [ t ] с переменной t, имеющей степень один: явно, кусок n -й степени равен

${\displaystyle R_{n}\oplus R_{n-1}t\oplus R_{n-2}t^{2}\oplus \cdots \oplus R_{0}t^{n}}$.

Тогда его аффинный конус обозначается через . Проективное конус называется проективное пополнение из C _R . Действительно, нуль-локус т  = 0 точно и дополнение является открытой подсхемой С _Р . Географическое место t  = 0 называется гиперплоскостью на бесконечности.${\displaystyle C_{R[t]}=C_{R}\oplus 1}$${\displaystyle \mathbb {P} (C_{R}\oplus 1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (C_{R})}$

O (1) [ править ]

Пусть R - квазикогерентная градуированная O _X -алгебра такая, что R ₀ = O _X и R локально порождается как O _X -алгебра посредством R ₁ . Тогда по определению проективный конус R равен:

${\displaystyle \mathbb {P} (C)=\operatorname {Proj} _{X}R=\varinjlim \operatorname {Proj} (R(U))}$

где копредел пробегает открытые аффинные подмножества U в X . По предположению R ( U ) имеет конечное число образующих x _i ' степени один . Таким образом,

${\displaystyle \operatorname {Proj} (R(U))\hookrightarrow \mathbb {P} ^{r}\times U.}$

Тогда имеет линейное расслоение O (1) заданные гиперплоский пучок из ; склейка таких локальных O (1), которые согласуются локально, дает линейное расслоение O (1) на .${\displaystyle \operatorname {Proj} (R(U))}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$

Для любого целого n также записывается O ( n ) для n -й тензорной степени O (1). Если конус C = Spec _X R является тотальным пространством векторного расслоения E , то O (-1) является тавтологическим линейным расслоением на проективном расслоении P ( E ).

Замечание : Когда (локальные) образующие R имеют степень, отличную от единицы, построение O (1) все еще продолжается, но с взвешенным проективным пространством вместо проективного пространства; поэтому полученный O (1) не обязательно является линейным расслоением. На языке дивизоров этот O (1) соответствует Q- дивизору Картье.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Конспект лекции [ править ]

• Фантечи, Барбара, Введение в теорию пересечений (PDF)

Ссылка [ править ]

• Behrend, K .; Фантечи, Б. (1997-03-01). «Внутренний нормальный конус». Inventiones Mathematicae . 128 (1): 45–88. DOI : 10.1007 / s002220050136 . ISSN  0020-9910 .
• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR  1644323
• § 8 Гротендика, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). "Элементы геометрической модели: II. Глобальный эксперимент по классам морфизмов" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 . DOI : 10.1007 / bf02699291 . Руководство по ремонту 0217084 .