Тавтологический пучок

В математике , то тавтологическое расслоение является векторным расслоением происходит над грассманиан в естественном тавтологического образом: волокна расслоения над векторным пространством V (точка в грассманиане) является V самого по себе. В случае проективного пространства тавтологическое расслоение называется тавтологическим линейным расслоением.

Тавтологическое расслоение также называется универсальным расслоением, поскольку любое векторное расслоение (над компактом ^[1] ) является обратным отсчетом тавтологического расслоения; это означает, что грассманиан является классифицирующим пространством для векторных расслоений. В связи с этим тавтологическое расслоение важно при изучении характеристических классов .

Тавтологические расслоения строятся как в алгебраической топологии, так и в алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии тавтологическое линейное расслоение (как обратимый пучок ) есть

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (- 1),}

двойной из пучка гиперплоскости или скручивание пучка Серра . Гиперплоское расслоение - это линейное расслоение, соответствующее гиперплоскости ( дивизору ) в . Тавтологическое линейное расслоение и гиперплоское расслоение - это в точности два образующих группы Пикара проективного пространства. ^[2] ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (1)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

В «K-теории» Майкла Атьи тавтологическое линейное расслоение над комплексным проективным пространством называется стандартным линейным расслоением . Расслоение сфер стандартного расслоения обычно называют расслоением Хопфа . (см. генератор Ботта .)

В более общем смысле, существуют также тавтологические расслоения на проективном расслоении векторного расслоения, а также на расслоении Грассмана .

Старый термин « канонический пакет » потерял популярность на том основании, что канонический и так сильно перегружен в математической терминологии, и (что еще хуже) путаницы с каноническим классом в алгебраической геометрии вряд ли можно избежать.

Интуитивное определение [ править ]

Грассманианы по определению параметров являются пространствами для линейных подпространств , из заданной размерности, в заданном векторном пространстве W . Если G - грассманиан, а V _g - подпространство W, соответствующее g в G , это уже почти данные, необходимые для векторного расслоения: а именно векторное пространство для каждой точки g , непрерывно меняющееся. Все, что может остановить определение тавтологического расслоения от этого указания, - это трудность, с которой V _g собираются пересечься. Исправление этого - обычное применение дизъюнктного союза.устройство, так что проекция связки происходит из общего пространства, состоящего из идентичных копий V _g , которые теперь не пересекаются. С этим у нас есть связка.

Включен случай проективного пространства. По соглашению и использованию P ( V ) может с пользой нести тавтологическое расслоение в смысле двойственного пространства . То есть с V ^* - двойственным пространством, точки P ( V ) несут векторные подпространства V ^*, которые являются их ядрами, если рассматривать их как (лучи) линейных функционалов на V ^* . Если V имеет размерность n + 1, тавтологическое линейное расслоение является одним тавтологическим расслоением, а другое, только что описанное, имеет ранг n .

Формальное определение [ править ]

Пусть будут грассманиан из п - мерные векторные подпространства в виде множества этого множество всех п - мерных векторных подпространств , например, если п = 1, то вещественное проективное к -пространству. ${\ Displaystyle G_ {п} (\ mathbb {R} ^ {п + к})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п + к};}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + k}.}$

Определим тавтологическое расслоение γ _{n , k} над следующим образом. Общее пространство расслоения - это множество всех пар ( V , v ), состоящих из точки V грассманиана и вектора v в V ; оно дано топология подпространства декартово произведение Проекции отображения π задается n ( V , V ) = V . Если F является прообразом V при π, ему задается структура векторного пространства как a ( V , v ) + b ( V ${\ Displaystyle G_ {п} (\ mathbb {R} ^ {п + к})}$ ${\ displaystyle G_ {n} (\ mathbb {R} ^ {n + k}) \ times \ mathbb {R} ^ {n + k}.}$ , w ) = ( V , av + bw ). Наконец, чтобы увидеть локальную тривиальность, дана точка X в грассманиане, пусть U - множество всех V таких, что ортогональная проекция p на X изоморфно отображает V на X , ^[3], а затем определим

{\ displaystyle {\ begin {case} \ phi: \ pi ^ {- 1} (U) \ to G_ {n} (\ mathbb {R} ^ {n + k}) \ times X \\\ phi (V , v) = (V, p (v)) \ end {case}}}

что, очевидно, является гомеоморфизмом. Следовательно, результатом является векторное расслоение ранга n .

Приведенное выше определение продолжает иметь смысл , если мы заменим с комплексным полем ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\mathbb {C} .$

По определению, бесконечное грассманиан является прямым пределом в качестве Принимая прямой предел расслоения Г _п_,_к дают тавтологическое пучок γ _п о является универсальным расслоением в смысле: для каждого компактного пространства X , существует естественная биекция $G_{n}$ $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ $k\to \infty .$ $G_{n}.$

{\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}

где слева скобка означает гомотопический класс, а справа - множество классов изоморфизма вещественных векторных расслоений ранга n . Обратное отображение задается следующим образом: поскольку X компактно, любое векторное расслоение E является подрасслоением тривиального расслоения: для некоторого k, поэтому E определяет отображение $E\hookrightarrow X\times \mathbb {R} ^{n+k}$

{\begin{cases}f_{E}:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{cases}}

уникален до гомотопии.

Замечание : В свою очередь, можно определить тавтологическое расслоение как универсальное; предположим, что существует естественная биекция

[X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)

для любого паракомпакта X . Поскольку это прямой предел компактных пространств, он паракомпактен, и поэтому существует единственное векторное расслоение над, которое соответствует тождественному отображению на нем. Это в точности тавтологическое расслоение, и, с ограничением, можно получить тавтологические расслоения по всем $G_{n}$ $G_{n}$ $G_{n}.$ $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k}).$

Комплект гиперплоскости [ править ]

Расслоение гиперплоскости H на вещественной проективной K - пространства определяется следующим образом . Общая площадь H есть множество всех пар ( L , F ) , состоящие из линии L через начало координат в и е линейного функционала на L . Отображение проекции π задается формулой π ( L , f ) = L (так что слой над L является двойственным векторным пространством к L ). Остальное в точности похоже на тавтологическое линейное расслоение. $\mathbb {R} ^{k+1}$

Другими словами, H - двойственное расслоение к тавтологическому линейному расслоению.

В алгебраической геометрии расслоение гиперплоскостей - это линейное расслоение (как обратимый пучок ), соответствующее дивизору гиперплоскости

H=\mathbb {P} ^{n-1}\subset \mathbb {P} ^{n}

задано как, скажем, x ₀ = 0, когда x _i - однородные координаты . Это можно увидеть следующим образом. Если D является дивизором (Вейля) на одном, определяет соответствующее линейное расслоение O ( D ) на X следующим образом: $X=\mathbb {P} ^{n},$

\Gamma (U,O(D))=\{f\in K|(f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}

где K является полем рациональных функций на X . Принимая D за H , мы имеем:

{\begin{cases}O(H)\simeq O(1)\\f\mapsto fx_{0}\end{cases}}

где x ₀ , как обычно, рассматривается как глобальное сечение скручивающего пучка O (1). (Фактически, указанный выше изоморфизм является частью обычного соответствия между дивизорами Вейля и дивизорами Картье.) Наконец, двойственный к скручивающему пучку соответствует тавтологическому линейному расслоению (см. Ниже).

Тавтологическое линейное расслоение в алгебраической геометрии [ править ]

В алгебраической геометрии это понятие существует над любым полем k . Конкретное определение выглядит следующим образом. Пусть и . Обратите внимание, что у нас есть: $A=k[y_{0},\dots ,y_{n}]$ $\mathbb {P} ^{n}=\operatorname {Proj} A$

\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}

где Spec - относительный Spec . Теперь положите:

L=\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\dots ,x_{n}]/I\right)

где I - идеальный пучок, порожденный глобальными сечениями . Тогда L - замкнутая подсхема над той же базовой схемой ; более того, замкнутые точки L - это в точности те точки ( x , y ) из таких, что либо x равен нулю, либо образ x в равен y . Таким образом, L - это тавтологическое линейное расслоение, определенное ранее, если k - поле действительных или комплексных чисел. $x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}$ $\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}$ $\mathbb {P} ^{n}$ $\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb {P} ^{n}$ $\mathbb {P} ^{n}$

Говоря более кратко, L - это раздутие начала аффинного пространства , где геометрическое место x = 0 в L - исключительный дивизор . (см. Хартсхорн, гл. I, конец § 4.) $\mathbb {A} ^{n+1}$

Вообще говоря, является алгебраическим векторным расслоением, соответствующим локально свободному пучку E конечного ранга. ^[4] Поскольку у нас есть точная последовательность: $\mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} {\check {E}})$

0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,

тавтологическое линейное расслоение L , как определено выше, соответствует двойственной из скручивание пучка Серра . На практике оба понятия (тавтологический пучок и двойник скручивающего пучка) используются как взаимозаменяемые. ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)$

Над полем его двойное линейное расслоение - это линейное расслоение, связанное с гиперплоскостным дивизором H , глобальные сечения которого являются линейными формами . Его класс Черна является - H . Это пример анти- обильного линейного пучка . Более того, это равносильно утверждению, что это отрицательное линейное расслоение, означающее, что минус его класс Черна - это класс де Рама стандартной кэлеровской формы. $\mathbb {C} ,$

Факты [ править ]

Тавтологическое линейное расслоение γ _{1, к} является локально тривиальным , но не тривиально , для к ^ 1. Это справедливо по отношению к другим полям. ^{[ необходима цитата ]}

Фактически, несложно показать, что при k = 1 вещественное тавтологическое линейное расслоение есть не что иное, как хорошо известное расслоение, полное пространство которого является лентой Мёбиуса . Полное доказательство этого факта см. ^[5]

Группа Пикара линейных расслоений на это бесконечная циклическая , а линейное расслоение тавтологическое представляет собой генератор. $\mathbb {P} (V)$

В случае проективного пространства, где тавтологическое расслоение является линейным расслоением , соответствующий обратимый пучок сечений является тензорным обратным ( т. Е. Двойственным векторным расслоением) гиперплоского расслоения или твист-пучка Серра ; другими словами, гиперплоское расслоение является образующей группы Пикара, имеющей положительную степень (как дивизор ), а тавтологическое расслоение является ее противоположностью: образующей отрицательной степени. ${\mathcal {O}}(-1)$ ${\mathcal {O}}(1)$

См. Также [ править ]

Набор хопфа
Класс Штифеля-Уитни
Последовательность Эйлера
Класс Черна (классы Черна тавтологических расслоений - это алгебраически независимые образующие кольца когомологий бесконечного грассманиана.)
Теорема Бореля
Пространство Тома (пространства Тома тавтологических расслоений γ _n при n → ∞ называются спектром Тома .)
Расслоение Грассмана

Ссылки [ править ]

^ Для некомпактной, но паракомпактной базы это остается верным при условии использования бесконечного грассманиана.
^ В литературе и учебниках их часто называют каноническими генераторами.
^ U открыто, посколькузадана топология такая, что $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$
${\begin{cases}G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\to \operatorname {End} (\mathbb {R} ^{n+k})\\V\mapsto p_{V}\end{cases}}$
где - ортогональная проекция на V , - гомеоморфизм на образ. $p_{V}$
^ Редакционное примечание: это определение отличается от Хартшорна тем, что он не использует двойственную формулу, но согласуется со стандартной практикой и другими частями Википедии.
^ Милнор-Сташеф , §2. Теорема 2.1.

Источники [ править ]

Атья, Майкл Фрэнсис (1989), K-теория , Advanced Book Classics (2-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, Руководство по ремонту 1043170
Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , DOI : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523.
Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157 , OCLC 13348052.
[M + S] Джон Милнор и Джим Сташефф , Характеристические классы , Принстон, 1974.
Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3

[1] ^ Для некомпактной, но паракомпактной базы это остается верным при условии использования бесконечного грассманиана.

[2] В литературе и учебниках их часто называют каноническими генераторами.

[3] U открыто, посколькузадана топология такая, что $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$
${\begin{cases}G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\to \operatorname {End} (\mathbb {R} ^{n+k})\\V\mapsto p_{V}\end{cases}}$
где - ортогональная проекция на V , - гомеоморфизм на образ. $p_{V}$

[4] Редакционное примечание: это определение отличается от Хартшорна тем, что он не использует двойственную формулу, но согласуется со стандартной практикой и другими частями Википедии.

[5] Милнор-Сташеф , §2. Теорема 2.1.

[1]