Проективное расслоение

В математике , А проективное расслоение является расслоение , слои которого являются проективными пространствами .

По определению схема X над нётеровой схемой S является P ⁿ -расслоением, если она является локально проективным n -пространством; т. е. и переходные автоморфизмы линейны. Более регулярная схема S , такой как гладкое многообразие , каждое проективное расслоение имеет вид для некоторого векторного расслоения (локально свободный пучок) E . ^[1]${\ displaystyle X \ times _ {S} U \ simeq \ mathbb {P} _ {U} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (E)}$

Проективное расслоение векторного расслоения [ править ]

Каждое векторное расслоение над многообразием X дает проективное расслоение, взяв проективные пространства слоев, но не все проективные расслоения возникают таким образом: есть препятствие в группе когомологий H ² ( X , O *). Чтобы понять, почему, напомним, что проективное расслоение снабжено функциями перехода на двойных пересечениях подходящего открытого покрытия. При тройном перекрытии любой подъем этих переходных функций удовлетворяет условию коцикла с точностью до обратимой функции. Набор этих функций образует 2-коцикл, обращающийся в нуль в H ² ( X, O *) только в том случае, если проективное расслоение является проективизацией векторного расслоения. В частности, если X - компактная риманова поверхность, то H ² ( X , O *) = 0, и это препятствие исчезает.

Проективное расслоение векторного расслоения Е это то же самое , как грассмановый пучок 1-плоскостей в Е .${\ displaystyle G_ {1} (E)}$

Проективное расслоение P ( E ) векторного расслоения E характеризуется универсальным свойством, которое гласит: ^[2]

Учитывая , морфизм F : T → X , факторизовать F через проекцию отображение р : Р ( Е ) → Х является указание линии подрасслоения F ^* E .

Например, принимая f за p , мы получаем линейное подрасслоение O (-1) p ^* E , называемое тавтологическим линейным расслоением на P ( E ). Более того, это O (-1) является универсальным расслоением в том смысле, что, когда линейное расслоение L дает факторизацию f = p ∘ g , L является обратным движением O (-1) вдоль g . См. Также Cone # O (1) для более явной конструкции O(-1).

На P ( E ) существует естественная точная последовательность (называемая тавтологической точной последовательностью):

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {P} (E)} (- 1) \ to p ^ {*} E \ to Q \ to 0}$

где Q называется тавтологическим фактор-расслоением.

Пусть E ⊂ F векторные расслоения (локально свободных пучков конечного ранга) на X и G = F / E . Пусть q : P ( F ) → X - проекция. Тогда естественное отображение O (-1) → q ^* F → q ^* G является глобальным сечением пучка hom Hom ( O (-1), q ^* G) = q ^* G ⊗ O (1). Более того, это естественное отображение исчезает в точке точно тогда, когда точка является прямой в E ; другими словами, геометрическое место нуля этого сечения - P ( E ).

Особенно полезный пример этой конструкции - когда F является прямой суммой E ⊕ 1 E и тривиального линейного расслоения (т. Е. Структурного пучка). Тогда Р ( Е ) представляет собой гиперплоскость в P ( E ⊕ 1), называется гиперплоскость на бесконечности, а дополнение P ( E ) могут быть идентифицированы с Е . Таким образом, Р ( Е ⊕ 1) называется проективным завершением (или «компактификацией») из Е .

Проективное расслоение P ( E ) устойчиво относительно скручивания E линейным расслоением; именно, для линейного расслоения L существует естественный изоморфизм:

${\ displaystyle g: \ mathbf {P} (E) {\ overset {\ sim} {\ to}} \ mathbf {P} (E \ otimes L)}$

такое, что ^[3] (Фактически, g получается универсальным свойством, примененным к линейному расслоению справа.)${\ displaystyle g ^ {*} ({\ mathcal {O}} (- 1)) \ simeq {\ mathcal {O}} (- 1) \ otimes p ^ {*} L.}$

Примеры [ править ]

Многие нетривиальные примеры проективных расслоений можно найти с помощью расслоений над такими, как расслоения Лефшеца . Например, эллиптическая поверхность K3 - это поверхность K3 с расслоением${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ pi: X \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$

такие, что слои для в общем случае являются эллиптическими кривыми. Поскольку каждая эллиптическая кривая является кривой рода 1 с выделенной точкой, существует глобальное сечение расслоения. Из-за этого глобального раздела существует модель придания морфизма проективному расслоению ^[4]${\ displaystyle E_ {p}}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4)\oplus {\mathcal {O}}(6)_{\mathbb {P} ^{1}}\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})}$

определяется уравнением Вейерштрасса

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}}$

где представляют собой локальные координаты соответственно, а коэффициенты${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4),{\mathcal {O}}(6)_{\mathbb {P} ^{1}},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}}$

${\displaystyle a_{i}\in H^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(2i))}$

есть сечения связок по . Обратите внимание, что это уравнение хорошо определено, потому что каждый член в уравнении Вейерштрауса имеет общую степень (что означает степень коэффициента плюс степень монома. Например, ).${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle {\text{deg}}(a_{1}xyz)=2+(4+6+0)=12}$

Кольцо когомологий и группа Чоу [ править ]

Пусть X - комплексное гладкое проективное многообразие, а E - комплексное векторное расслоение ранга r на нем. Пусть р : P ( E ) → X проективное расслоение Е . Тогда кольцо когомологий H ^* ( P ( E )) является алгеброй над H ^* ( X ) через обратный образ p ^* . Тогда первый класс Черна ζ = c ₁ ( O (1)) порождает H ^* ( P( E )) с соотношением

${\displaystyle \zeta ^{r}+c_{1}(E)\zeta ^{r-1}+\cdots +c_{r}(E)=0}$

где с _я ( Е ) является я -й класс Черна E . Одна интересная особенность этого описания состоит в том, что можно определить классы Черна как коэффициенты в отношении; это подход, принятый Гротендиком.

Для полей, отличных от комплексного, то же самое описание остается верным с кольцом Чжоу вместо кольца когомологий (все еще предполагая, что X гладко). В частности, для групп Чжоу существует разложение в прямую сумму

${\displaystyle A_{k}(\mathbf {P} (E))=\bigoplus _{i=0}^{r-1}\zeta ^{i}A_{k-r+1+i}(X).}$

Как оказалось, это разложение остается верным, даже если X не является гладким и проективным. ^[5] Напротив, A _k ( E ) = A _{k - r} ( X ), через гомоморфизм Гизина , морально, потому что слои E , векторные пространства, стягиваемы.

См. Также [ править ]

• Строительство проекта
• конус (алгебраическая геометрия)
• линейчатая поверхность (пример проективного расслоения)
• Сорт Севери – Брауэра
• Поверхность Хирцебруха

Ссылки [ править ]

• Elencwajg, G .; Нарасимхан, МС (1983), "Проективные расслоения на комплексном торе", Журнал für фильеры Reine унд Angewandte Mathematik , 1983 (340): 1-5, DOI : 10.1515 / crll.1983.340.1 , ISSN  0075-4102 , MR  0691957 , S2CID  122557310
• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR  1644323
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157