Строительство проекта

В алгебраической геометрии , Рго представляет собой конструкцию , аналогичную Спектр-в-а-кольца конструкции аффинных схем , которая производит объекты с типичными свойствами проективных пространств и проективных многообразий . Конструкция, хотя и не является функториальной , является фундаментальным инструментом в теории схем .

В этой статье все кольца будут считаться коммутативными и идентичными.

Проект градуированного кольца [ править ]

Проект как набор [ править ]

Пусть - градуированное кольцо , где${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle S = \ bigoplus _ {я \ geq 0} S_ {я}}$

- разложение в прямую сумму, связанное с градуировкой. Не имеет значения идеал в идеал элементов положительной степени${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle S _ {+} = \ bigoplus _ {я> 0} S_ {я}}$.

Мы говорим, что идеал однороден, если он порождается однородными элементами. Тогда, как набор,

${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S = \ {P \ subset S {\ text {однородный простой идеал,}} S _ {+} \ not \ subset P \}}$.

Для краткости мы иногда будем писать для .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$

Proj как топологическое пространство [ править ]

Мы можем определить топологию , называемую топологией Зарисского , определяя замкнутые множества как те, которые имеют вид${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$

${\ displaystyle V (a) = \ {p \ in \ operatorname {Proj} S \ mid a \ substeq p \},}$

где это однородный идеал в . Как и в случае аффинных схем, быстро проверяется, что замкнутые множества топологии образуют на .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle V (а)}$${\ displaystyle X}$

В самом деле, если являются семейством идеалов, то мы имеем, и если индексирующее множество I конечно, то .${\ Displaystyle (а_ {я}) _ {я \ в я}}$${\displaystyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$${\displaystyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right)}$

Точно так же мы можем взять открытые множества в качестве отправной точки и определить

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\;\not \subseteq \;p\}.}$

Распространенным сокращением является обозначение D ( Sf ) через D ( f ), где Sf - идеал, порожденный f . Для любого идеала a множества D ( a ) и V ( a ) являются дополнительными, и, следовательно, то же доказательство, что и предыдущее, показывает, что множества D ( a ) образуют топологию на . Преимущество этого подхода состоит в том, что множества D ( f ), где f пробегает все однородные элементы кольца S , образуют базу${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$для этой топологии, которая является незаменимым инструментом для анализа , точно так же необходим аналогичный факт для спектра кольца.${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Проект как схема [ править ]

Мы также построить пучок на , называемый «структурный пучок» , как и в аффинном случае, что делает его в схему . Как и в случае конструкции Spec, существует множество способов действовать: наиболее прямой, который также наводит на размышления о построении регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, следующий. Для любого открытого множества из (который по определению является совокупность однородных простых идеалов , не содержащим ) определит кольцо как множество всех функций${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{+}}$${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

(где обозначает подкольцо кольца фракций , состоящих из фракций однородных элементов той же степени), что для каждого простого идеала из :${\displaystyle S_{(p)}}$${\displaystyle S_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$

1. ${\displaystyle f(p)}$является элементом ;${\displaystyle S_{(p)}}$
2. Там существует открытое подмножество , содержащее и однородные элементы из той же степени, что для каждого простого идеала из :${\displaystyle V\subset U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle s,t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$
   • ${\displaystyle t}$не входит ;${\displaystyle q}$
   • ${\displaystyle f(q)=s/t}$

Непосредственно из определения следует, что образуют пучок колец на , и можно показать, что пара ( , ) на самом деле является схемой (это достигается показом, что каждое из открытых подмножеств на самом деле является аффинной схемой) .${\displaystyle O_{X}(U)}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle D(f)}$

Связка, связанная с оцениваемым модулем [ править ]

Существенное свойство для указанных выше конструкции была способностью образовывать локализации для каждого простого идеала в . Этим свойством также обладает любой градуированный модуль над , и, следовательно, с соответствующими небольшими изменениями предыдущий раздел строит для любого такого пучка, обозначенного , -модулей на . Этот пучок квазикогерентен по построению. Если порождается конечным числом элементов степени (например, кольцом многочленов или его однородным частным), все квазикогерентные пучки на возникают из градуированных модулей по этой конструкции. ^[1] Соответствующий градуированный модуль не уникален.${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{(p)}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Скручивающийся сноп Серра [ править ]

Дополнительную информацию, а также о классической твист-связке Серра см. В тавтологической связке.

Частным случаем связки, ассоциированной с градуированным модулем, является случай, когда мы принимаем за себя самого себя с другой градуировкой: а именно, мы позволяем элементам степени быть элементами степени модуля , поэтому${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (d+1)}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}$

и обозначим . Тогда мы получим как квазикогерентный пучок на , обозначаемые или просто , называются скручивание пучок из Серра . Можно проверить, что это действительно обратимый пучок .${\displaystyle M=S(1)}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle O_{X}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Одна из причин полезности функции состоит в том, что она восстанавливает алгебраическую информацию, которая была потеряна, когда при построении мы перешли к дробям нулевой степени. В случае Spec A для кольца A глобальные секции структурного пучка образуют сам A , тогда как глобальные секции здесь формируют только элементы нулевой степени . Если мы определим${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

затем каждая из них содержит информацию о степени , обозначена и вместе взятые содержат всю потерянную информацию об аттестации. Аналогичным образом для любого пучка градуированных -модулей определим${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

и ожидайте, что эта «скрученная» связка будет содержать информацию о градации . В частности, если связка связана с оцениваемым -модулем, мы также ожидаем, что он будет содержать потерянную информацию о градации . Это предполагает, хотя и ошибочно, что на самом деле может быть реконструировано из этих пучков; в качестве${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))}$

однако это верно в случае, если это кольцо многочленов, описанное ниже. Эту ситуацию следует противопоставить тому факту, что функтор spec присоединен к функтору глобальных сечений в категории локально окольцованных пространств .${\displaystyle S}$

Проективное n -пространство [ править ]

Если - кольцо, мы определяем проективное n -пространство над как схему${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

Градуировка кольца многочленов определяется тем, что каждый элемент имеет степень один, а каждый элемент - степень ноль. Сравнивая это с определением , приведенным выше, мы видим, что сечения являются линейными однородными многочленами, порожденными самими собой. Это предполагает другую интерпретацию , а именно как пучок «координат» для , поскольку буквально являются координатами проективного -пространства.${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle n}$

Примеры проектов [ править ]

Proj над аффинной линией [ править ]

Если позволить базовому кольцу быть , то${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}$

имеет канонический проективный морфизм к аффинной прямой , слои которой являются эллиптическими кривыми, за исключением точек, где кривые вырождаются в узловые кривые. Итак, есть расслоение${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$${\displaystyle \lambda =0,1}$

${\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}$

который также является гладким морфизмом схем (что можно проверить с помощью критерия Якоби ).

Проективные гиперповерхности и многообразия [ править ]

Проективная гиперповерхность является примером квинтики Ферма, которая также является многообразием Калаби – Яу . Помимо проективных гиперповерхностей, любое проективное многообразие, высекаемое системой однородных многочленов${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}$

${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}$

in -переменные могут быть преобразованы в проективную схему с помощью конструкции proj для градуированной алгебры${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle {\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}$

дающий вложение проективных многообразий в проективные схемы.

Взвешенное проективное пространство [ править ]

Весовые проективные пространства можно построить с помощью кольца многочленов, переменные которого имеют нестандартные степени. Так , например, взвешенное проективное пространство соответствует принимать кольца , где имеют вес в то время как имеет вес 2.${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} }$${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$${\displaystyle X_{0},X_{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle X_{2}}$

Бигрейдные кольца [ править ]

Конструкция проекта распространяется на бигрейдные и разноуровневые кольца. Геометрически это соответствует взятию произведений проективных схем. Например, учитывая градуированные кольца

${\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]}$

со степенью каждого генератора . Тогда тензорное произведение этих алгебр над дает биградуированную алгебру${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}$

где имеют вес и имеют вес . Тогда конструкция proj дает${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle (0,1)}$

${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}$

который является продуктом проективных схем. Такие схемы можно вложить в проективное пространство, взяв полную градуированную алгебру

${\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}$

где элемент степени рассматривается как элемент степени . Это означает, что -й оцениваемой частью является модуль${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a+b)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S_{\bullet }}$

${\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}$

Кроме того, в схеме теперь используются биградируемые пучки, которые являются тензорным произведением пучков, где${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}$

${\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}$ и ${\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}$

являются каноническими проекциями, возникающими в результате инъекций этих алгебр из диаграммы тензорного произведения коммутативных алгебр.

Глобальный проект [ править ]

Обобщение конструкции Рго заменяет кольцо S с пучком алгебр и производит, как конечный результат, схема , которая может рассматриваться как пучок Рго - х колец. Эта конструкция часто используется, например, для построения расслоений проективных пространств над базовой схемой .

Предположения [ править ]

Формально, пусть X - любая схема, а S - пучок градуированных -алгебр (определение которого аналогично определению -модулей на локально окольцованном пространстве ): то есть пучок с разложением в прямую сумму${\displaystyle O_{X}}$ O X {\displaystyle O_{X}}

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

где каждый является -модулем такой, что для любого открытого подмножества U в X , S ( U ) является -алгеброй, и полученное разложение в прямую сумму${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

является градуировкой этой алгебры как кольца. Здесь мы предполагаем, что . Сделаем дополнительное предположение, что S - квазикогерентный пучок ; это предположение о «согласованности» сечений над различными открытыми множествами, которое необходимо для продолжения построения.${\displaystyle S_{0}=O_{X}}$

Строительство [ править ]

В этой схеме мы можем построить схему и «проекционное» отображение p на X так , что для каждого открытого аффинного U элемента X ,${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

${\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}$

Это определение предполагает, что мы строим , сначала определяя схемы для каждого открытого аффинного U , полагая${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\displaystyle Y_{U}}$

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}$

и карты , а затем показывает, что эти данные могут быть склеены вместе «над» каждым пересечением двух открытых аффинных элементов U и V, чтобы сформировать схему Y, которую мы определяем как . Нетрудно показать, что определение каждого как отображения, соответствующего включению в S ( U ) в качестве элементов нулевой степени, дает необходимую согласованность , в то время как согласованность самих себя следует из предположения квазикогерентности относительно S .${\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle O_{X}(U)}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle Y_{U}}$

Скручивающаяся связка [ править ]

Если S обладает дополнительным свойством, которое является когерентным пучком и локально порождает S над (то есть, когда мы переходим к стержню пучка S в точке x из X , которая является градуированной алгеброй, элементы нулевой степени которой образуют кольцо тогда элементы первой степени образуют конечно порожденный модуль над ним, а также порождают стебель как алгебру над ним), тогда мы можем провести дальнейшую конструкцию. Над каждым открытым аффинным U Proj S ( U ) несет обратимый пучок O (1)${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle O_{X,x}}$${\displaystyle O_{X,x}}$ , и только что сделанное нами предположение гарантирует, что эти пучки можно склеить, как указано выше; результирующий пучок на также обозначается O (1) и служит почти той же цели, что и скручивающий пучок на Proj кольца.${\displaystyle Y_{U}}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

Проект квазикогерентного пучка [ править ]

Пусть - квазикогерентный пучок на схеме . Пучок симметрических алгебр естественно является квазикогерентным пучком градуированных -модулей, порожденных элементами степени 1. Полученная схема обозначается через . Если имеет конечный тип, то его канонический морфизм является проективным морфизмом . ^[2]${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$

Для любого слой вышеупомянутого морфизма над является проективным пространством, ассоциированным с двойственным к векторному пространству над .${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$${\displaystyle k(x)}$

Если - квазикогерентный пучок градуированных -модулей, порожденный и такой, который имеет конечный тип, то является замкнутой подсхемой в и тогда проективен над . Фактически, каждая замкнутая подсхема проективного имеет такой вид. ^[3]${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

Связки проективного пространства [ править ]

Как частный случай, когда он локально лишен ранга , мы получаем проективное расслоение над относительной размерностью . Действительно, если мы возьмем открытое покрытие из X открытым affines таких , что при ограничении на каждый из них свободен над А , то${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}$

и, следовательно, является проективным пространственным расслоением. Многие семейства многообразий могут быть построены как подсхемы этих проективных расслоений, такие как семейство эллиптических кривых Вейерштрасса. Подробнее читайте в основной статье.${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

Пример глобального проекта [ править ]

Global proj можно использовать для создания карандашей Лефшеца . Например, пусть и возьмем однородные многочлены степени k. Мы можем рассматривать идеальный пучок из и построить глобальную PROJ этого фактор пучка алгебр . Это можно явно описать как проективный морфизм .${\displaystyle X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=(sf+tg)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} (\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}}$

См. Также [ править ]

• Проективное пространство
• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Проективизация

Ссылки [ править ]

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). "Элементы геометрической модели: II. Глобальный эксперимент по классам морфизмов" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 . DOI : 10.1007 / bf02699291 . Руководство по ремонту  0217084 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157