Векторная проекция

Проекция a на b ( a ₁ ) и отклонение a от b ( a ₂ ).

Когда 90 ° < θ ≤ 180 °, a ₁ имеет противоположное направление по отношению к b .

Вектор проекция вектора а на (или на) ненулевой вектор Ь , иногда обозначает ^[1] (также известные как компонент вектора или вектор разрешение из в направлении б ), является ортогональной проекцией из на прямой линия, параллельная b . Это вектор, параллельный b , определяемый как: ${\ displaystyle \ operatorname {proj} _ {\ mathbf {b}} \ mathbf {a}}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} \,}$

где есть скалярный, называется скалярная проекцией из на б , и б является единичным вектором в направлении б . ${\ displaystyle a_ {1}}$

В свою очередь, скалярная проекция определяется как: ^[2]

${\ displaystyle a_ {1} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}} = \ mathbf {a} \ cdot {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} \,}$

где оператор ⋅ обозначает скалярное произведение , | | ‖ является длиной от , и θ представляет собой угол между и б .

Скалярная проекция равна длине проекции вектора со знаком минус, если направление проекции противоположно направлению b . Компонент вектора или вектор решительный из в перпендикулярном к Ь , иногда также называют вектор отказом от из Ь ( обозначается ^[1] ) , ^[3] является ортогональной проекцией на плоскость (или, в общем, гиперплоскость ) ортогональны к б . И проекция a _1, и отклонение a ₂ вектора ${\ displaystyle \ operatorname {oproj} _ {\ mathbf {b}} \ mathbf {a}}$a - векторы, и их сумма равна a , ^[1], что означает, что отклонение выражается следующим образом:${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}.}$

Обозначение [ править ]

Как правило, вектор проекции обозначается жирным шрифтом (например , ₁ ), и соответствующая скалярная проекция с обычным шрифтом (например , ₁ ). В некоторых случаях, особенно в почерке, проекция вектора также обозначаются с помощью диакритического выше или ниже буквы (например, или в ₁ , см § Представления ниже для более подробной информации). Векторную проекцию a на b и соответствующее отклонение иногда обозначают как a _{∥ b} и a _{⊥ b} соответственно.${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {1}}$

Определения, основанные на угле θ [ править ]

Скалярная проекция [ править ]

Скалярная проекция a на b - это скаляр, равный

${\ displaystyle a_ {1} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta}$,

где θ - угол между a и b .

Скалярная проекция может использоваться в качестве масштабного коэффициента для вычисления соответствующей проекции вектора.

Векторная проекция [ править ]

Векторная проекция a на b - это вектор, величина которого является скалярной проекцией a на b с тем же направлением, что и b . А именно, он определяется как

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} = (\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta) \ mathbf {\ шляпа {b}}}$

где - соответствующая скалярная проекция, как определено выше, и - единичный вектор с тем же направлением, что и b :${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {b}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {b}} = {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} \,}$

Отклонение вектора [ править ]

По определению, вектор отклонения a на b равен:

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$

Следовательно,

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }$

Определения в терминах a и b [ править ]

Когда θ неизвестно, косинус θ может быть вычислен в терминах a и b с помощью следующего свойства скалярного произведения a ⋅ b

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta }$

Скалярная проекция [ править ]

По вышеупомянутому свойству скалярного произведения определение скалярной проекции становится следующим: ^[2]

${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$.

В двух измерениях это становится

${\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$.

Векторная проекция [ править ]

Точно так же определение проекции вектора a на b становится:

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},}$^[2]

что эквивалентно либо

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,}$

или ^[4]

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }}$.

Скалярное отклонение [ править ]

В двух измерениях скалярное отклонение эквивалентно проекции a на , которая повернута на 90 ° влево. Следовательно,${\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$.

Такой скалярный продукт называется «скалярным продуктом». ^[5]

Отклонение вектора [ править ]

По определению,

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$

Следовательно,

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}$

Свойства [ править ]

Скалярная проекция [ править ]

Скалярная проекция a на b - это скаляр, который имеет отрицательный знак, если 90 градусов < θ ≤ 180 градусов . Он совпадает с длиной проекции вектора ‖ c ‖, если угол меньше 90 °. Точнее:

• a ₁ = ‖ a ₁ ‖, если 0 ≤ θ ≤ 90 градусов,
• a ₁ = −‖ a ₁ ‖, если 90 градусов < θ ≤ 180 градусов.

Векторная проекция [ править ]

Проекция вектора a на b - это вектор a _1, который либо равен нулю, либо параллелен b . Точнее:

• a ₁ = 0, если θ = 90 °,
• a ₁ и b имеют одинаковое направление, если 0 ≤ θ <90 градусов,
• a ₁ и b имеют противоположные направления, если 90 градусов < θ ≤ 180 градусов.

Отклонение вектора [ править ]

Отклонение вектора a на b - это вектор a _2, который либо равен нулю, либо ортогонален b . Точнее:

• a ₂ = 0, если θ = 0 или θ = 180 градусов,
• a ₂ ортогонален b, если 0 < θ <180 градусов,

Матричное представление [ править ]

Ортогональная проекция может быть представлена ​​матрицей проекции. Чтобы спроецировать вектор на единичный вектор a = ( a _x , a _y , a _z ), его необходимо умножить на эту матрицу проекции:

${\displaystyle P_{a}=aa^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}}$

Использует [ редактировать ]

Проекция вектора - важная операция в ортонормировке по Граму – Шмидту базисов векторного пространства . Он также используется в теореме о разделяющей оси, чтобы определить, пересекаются ли две выпуклые формы.

Обобщения [ править ]

Поскольку понятия длины вектора и угла между векторами могут быть обобщены на любое n- мерное внутреннее пространство продукта , это также верно для понятий ортогональной проекции вектора, проекции вектора на другой и отклонения вектора от другого. .

В некоторых случаях внутренний продукт совпадает с скалярным произведением. Когда они не совпадают, в формальных определениях проекции и отклонения вместо скалярного произведения используется внутренний продукт. Для трехмерного внутреннего пространства продукта понятия проекции вектора на другой и отклонения вектора от другого могут быть обобщены на понятия проекции вектора на плоскость и отклонения вектора из плоскости. ^[6] Проекция вектора на плоскость - это его ортогональная проекция на эту плоскость. Отклонение вектора от плоскости - это его ортогональная проекция на прямую, которая ортогональна этой плоскости. Оба являются векторами. Первый параллелен плоскости, второй - ортогонален.

Для данного вектора и плоскости сумма проекции и отклонения равна исходному вектору. Точно так же для пространств внутреннего продукта с более чем тремя измерениями понятия проекции на вектор и отклонения от вектора могут быть обобщены до понятий проекции на гиперплоскость и отклонения от гиперплоскости . В геометрической алгебре они могут быть далее обобщены до понятий проекции и отклонения общего многовектора на / из любого обратимого k- лезвия.

См. Также [ править ]

• Скалярная проекция
• Обозначение вектора

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Проекция вектора на плоскость