В математике поверхность Хирцебруха - это линейчатая поверхность над проективной прямой . Их изучал Фридрих Хирцебрух ( 1951 ).
Определение
Поверхность Хирцебруха это -расслоение, называемое проективным расслоением , надсвязанный со связкой
Обозначения здесь означают: является п -й тензор мощности спирального пучка Серра , обратимый пучок или линейное расслоение с ассоциированным делителем Картье в одной точке. Поверхностьизоморфна P 1 × P 1 , иизоморфна P 2, взорванной в точке, поэтому не является минимальной.
Коэффициент GIT
Один из методов построения поверхности Хирцебруха - использование фактора GIT [1] стр. 21
где действие дан кем-то
Это действие можно интерпретировать как действие на первые два фактора происходит от действия на определение , а второе действие представляет собой комбинацию построения прямой суммы линейных расслоений на и их проективизация. На прямую суммуэто может быть дано фактормногообразием [1] стр. 24
где действие дан кем-то
Тогда проективизация дается другим -action [1] стр. 22 отправка класса эквивалентности к
Объединение этих двух действий дает исходное частное наверху.
Карты переходов
Один из способов построить это -bundle - это использование функций перехода. Поскольку аффинные векторные расслоения обязательно тривиальны, над картами из определяется есть локальная модель бандла
Тогда карты переходов, индуцированные из отображений переходов дать карту
отправка
где - аффинная координатная функция на . [2]
Характеристики
Проективные расслоения ранга 2 над P 1
Отметим, что проективное расслоение
эквивалентно поверхности Хирцебруха, поскольку проективные расслоения инвариантны после тензорного линейного расслоения. [3] В частности, это связано с поверхностью Хирцебруха. поскольку этот пучок может быть подвергнут тенсированию линейным пучком .
Изоморфизмы поверхностей Хирцебруха
В частности, вышеприведенное наблюдение дает изоморфизм между а также поскольку существует изоморфизм векторных расслоений
Анализ ассоциированной симметрической алгебры
Напомним, что проективные расслоения можно построить с помощью Relative Proj , который формируется из градуированного пучка алгебр
Первые несколько симметричных модулей являются особенными, поскольку существует нетривиальный антисимметричный -модуль . Эти связки сведены в таблицу.
Для симметричные пучки задаются формулами
Характеристики
Поверхности Хирцебруха для n > 0 имеют специальную рациональную кривую C на них: поверхность является проективным расслоением O (- n ), а кривая C является нулевым сечением . Эта кривая имеет число самопересечения - n и является единственной неприводимой кривой с отрицательным числом самопересечения. Единственные неприводимые кривые с нулевым числом самопересечения - это слои поверхности Хирцебруха (рассматриваемой как расслоение над P 1 ). Группа Пикара порождается кривой C и одним из слоев, и эти образующие имеют матрицу пересечений
таким образом, билинейная форма является двумерной унимодулярной и является четной или нечетной в зависимости от того, является ли n четным или нечетным.
Поверхность Хирцебруха Σ n ( n > 1), взорванная в точке специальной кривой C , изоморфна Σ n +1, взорванной в точке не на специальной кривой.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b c Манетти, Марко (2005-07-14). «Лекции о деформациях комплексных многообразий». arXiv : math / 0507286 .
- ^ Гатманн, Андреас. «Алгебраическая геометрия» (PDF) .
- ^ «Раздел 27.20 (02NB): Скручивание обратимыми связками и относительный Proj - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 23 мая 2020 .
- Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
- Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3, MR1406314
- Хирцебрух, Ф. (1951), "Убер Klasse фон сделайте einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten", Mathematische Annalen , 124 : 77-86, DOI : 10.1007 / BF01343552 , ЛВП : 21,11116 / 0000-0004-3A56-Б , ISSN 0025-5831 , М.Р. 0045384 , S2CID 122844063
Внешние ссылки
- Манифольд Атлас
- https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
- https://mathoverflow.net/q/122952