Проект строительства

В алгебраической геометрии Proj — это конструкция, аналогичная конструкции спектра кольца аффинных схем , которая производит объекты с типичными свойствами проективных пространств и проективных многообразий . Конструкция, хотя и не функториальна , является фундаментальным инструментом в теории схем .

Мы можем определить топологию , называемую топологией Зарисского , путем определения замкнутых множеств как множеств вида ${\ Displaystyle \ OperatorName {Proj} S}$

где – однородный идеал . Как и в случае аффинных схем, быстро проверяется, что формы образуют замкнутые множества топологии на . ${\ Displaystyle а}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle В (а)}$ ${\ Displaystyle Х}$

Действительно, если – семейство идеалов, то имеем и если множество индексов I конечно, то . ${\ Displaystyle (а_ {я}) _ {я \ в I}}$ ${\ textstyle \ bigcap V (a_ {i}) = V \ left (\ sum a_ {i} \ right)}$ ${\ textstyle \ bigcup V (a_ {i}) = V \ left (\ prod a_ {i} \ right)}$

Обычным сокращением является обозначение , где идеал , порожденный . Для любого идеала множества и являются дополнительными, и, следовательно, то же доказательство, что и раньше, показывает, что множества образуют топологию на . Преимущество этого подхода состоит в том, что множества , где пробегает все однородные элементы кольца , составляют основу этой топологии, которая является незаменимым инструментом для анализа , так же как аналогичный факт для спектра кольца также незаменимый. ${\ Displaystyle D (Сф)}$ ${\ Displaystyle D (е)}$ ${\ Displaystyle Сф}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle а}$ ${\ Displaystyle D (а)}$ ${\ Displaystyle В (а)}$ ${\ Displaystyle D (а)}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Proj} S}$ ${\ Displaystyle D (е)}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Proj} S}$