Черн класс

В математике , в частности в алгебраической топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии , классы Черна являются характеристическими классами, связанными с комплексными векторными расслоениями . С тех пор они нашли применение в физике , Калаби-Яу , струнные , теория Черна-Simons , теория узлов , Громова-Виттена , топологическая квантовая теория поля , то Черна теорема и т.д.

Классы Черна были введены Шиинг-Шеном Черном  ( 1946 ).

Геометрический подход [ править ]

Основная идея и мотивация [ править ]

Классы Черна являются характеристическими классами . Это топологические инварианты, ассоциированные с векторными расслоениями на гладком многообразии. На вопрос, являются ли два якобы разных векторных расслоения одним и тем же, может быть довольно сложно ответить. Классы Черна обеспечивают простой тест: если классы Черна пары векторных расслоений не совпадают, то векторные расслоения различны. Обратное, однако, неверно.

В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно подсчитать, сколько линейно независимых секций имеет векторное расслоение. Черна классы предлагают некоторую информацию об этом через, например, теорема Римана-Роха и теорема об индексе Атьи-Зингера .

Классы Черна тоже можно рассчитать на практике. В дифференциальной геометрии (и некоторых типах алгебраической геометрии) классы Черна могут быть выражены как полиномы от коэффициентов формы кривизны .

Строительство [ править ]

Существуют различные способы подхода к предмету, каждый из которых фокусируется на несколько ином оттенке класса Черна.

Первоначальный подход к классам Черна был через алгебраическую топологию: классы Черна возникают с помощью теории гомотопий, которая обеспечивает отображение, связанное с векторным расслоением в классифицирующее пространство (бесконечный грассманиан в данном случае). Для любого комплексного векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство такое, что расслоение V равно образу через f универсального расслоения над классифицирующим пространством, а классы Черна Vпоэтому можно определить как обратный образ классов Черна универсального расслоения. В свою очередь, эти универсальные классы Черна могут быть явно записаны в терминах циклов Шуберта .

Можно показать, что для любых двух отображений f , g из M в классифицирующее пространство, обратные образы которых являются одним и тем же расслоением V , отображения должны быть гомотопными. Следовательно, возврат любого универсального класса Черна с помощью f или g к классу когомологий M должен быть тем же классом. Это показывает, что классы Черна V корректно определены.

В подходе Черна использовалась дифференциальная геометрия с использованием подхода кривизны, описанного преимущественно в этой статье. Он показал, что предыдущее определение фактически эквивалентно его. Получившаяся теория известна как теория Черна – Вейля .

Существует также подход Александра Гротендика, показывающий, что аксиоматически нужно только определить случай линейного расслоения.

Классы Черна естественным образом возникают в алгебраической геометрии . Обобщенные классы Черна в алгебраической геометрии могут быть определены для векторных расслоений (точнее, локально свободных пучков ) над любым неособым многообразием. Алгебро-геометрические классы Черна не требуют, чтобы базовое поле имело какие-либо особые свойства. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть сложными.

Независимо от конкретной парадигмы, интуитивный смысл класса Черна касается «требуемых нулей» части векторного расслоения: например, теорема о том, что нельзя расчесывать волосатый мяч до упора ( теорема о волосатом шарике ). Хотя это, строго говоря, вопрос о реальном векторном расслоении («волосы» на шаре на самом деле являются копиями действительной прямой), существуют обобщения, в которых волосы являются сложными (см. Пример комплексной теоремы о волосатом шаре ниже) , или для одномерных проективных пространств над многими другими полями.

См. Теорию Черна – Саймонса для более подробного обсуждения.

Класс Черна линейных пучков [ править ]

(Пусть Х топологическое пространство , имеющее гомотопический тип из в комплексе CW ) .

Важный частный случай возникает, когда V - линейный пучок . Тогда единственный нетривиальный класс Черна является первым классом Черен, который является элементом второй группы когомологий X . Поскольку это верхний класс Черна, он равен классу Эйлера расслоения.

Первый класс Черна оказывается полным инвариантом, с помощью которого можно классифицировать комплексные линейные расслоения, говоря топологически. То есть существует биекция между классами изоморфизма линейных расслоений над X и элементами из , которая ставит в соответствие линейному расслоению его первый класс Черна. Более того, эта биекция является гомоморфизмом групп (таким образом, изоморфизмом):${\ Displaystyle Н ^ {2} (Х; \ mathbb {Z})}$

${\ Displaystyle c_ {1} (L \ otimes L ') = c_ {1} (L) + c_ {1} (L');}$

тензорное произведение комплексных линейных расслоений соответствует добавлению во второй группе когомологий. ^{[1] [2]}

В алгебраической геометрии эта классификация (классов изоморфизма) комплексных линейных расслоений по первому классу Черна является грубым приближением к классификации (классов изоморфизма) голоморфных линейных расслоений по классам линейной эквивалентности дивизоров .

Для сложных векторных расслоений размерности больше единицы классы Черна не являются полным инвариантом.

Конструкции [ править ]

С помощью теории Черна – Вейля [ править ]

Учитывая сложный эрмитово векторное расслоение V из сложного ранга п над гладким многообразием М , представитель каждого класса Черна (также называется Черна форма ) из V приведены в качестве коэффициентов характеристического полинома от кривизны формы из V .${\ displaystyle c_ {k} (V)}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

${\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}$

Определитель над кольцом матриц, элементы которых являются полиномами т с коэффициентами в коммутативной алгебре даже сложных дифференциальных форм на М . Форма кривизны из V определяется как${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$

с со в форме соединения и d на внешнюю производной , или с помощью того же выражения , в котором ω является калибровочной формой для калибровочной группы из V . Скаляр t используется здесь только как неопределенное значение для генерации суммы из определителя, а I обозначает единичную матрицу размера n × n .

Сказать, что данное выражение является представителем класса Черна, означает, что «класс» здесь означает с точностью до добавления точной дифференциальной формы . То есть классы Черна являются классами когомологий в смысле когомологий де Рама . Можно показать , что классы когомологий Черна формы не зависят от выбора соединения в V .

Используя матричное тождество и ряд Маклорена для , это выражение для формы Черна расширяется как${\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))}$${\displaystyle \ln(X+I)}$

${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}$

Через класс Эйлера [ править ]

Можно определить класс Черна в терминах класса Эйлера. Это подход, описанный в книге Милнора и Сташева, и подчеркивает роль ориентации векторного расслоения .

Основное наблюдение состоит в том, что сложное векторное расслоение имеет каноническую ориентацию, в конечном счете, потому, что оно связано. Следовательно, можно просто определить верхний класс Черна расслоения как его класс Эйлера (класс Эйлера базового действительного векторного расслоения) и обрабатывать нижние классы Черна индуктивным образом.${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

Точная конструкция выглядит следующим образом. Идея состоит в том, чтобы изменить базу, чтобы получить связку ранга на единицу меньше. Пусть комплексное векторное расслоение над паракомпактом B . Считая B встроенным в E как нулевую секцию, позвольте и определите новое векторное расслоение:${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle B'=E\setminus B}$

${\displaystyle E'\to B'}$

таким образом, что каждое волокно представляет собой частное от деления волокна F из Е по прямой , натянутой на ненулевой вектор V в F (точка B ' задается волокна F из Е и вектора ненулевого на F .) ^[3] Тогда имеет ранг один меньше , чем у Е . Из последовательности Гизина для пучка волокон :${\displaystyle E'}$${\displaystyle \pi |_{B'}\colon B'\to B}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,}$

мы видим, что это изоморфизм для . Позволять${\displaystyle \pi |_{B'}^{*}}$${\displaystyle k<2n-1}$

${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}}$

Затем требуется некоторая работа, чтобы проверить, что аксиомы классов Черна удовлетворяют этому определению.

См. Также: Изоморфизм Тома .

Примеры [ править ]

Комплексное касательное расслоение сферы Римана [ править ]

Позвольте быть сферой Римана : 1-мерное комплексное проективное пространство . Предположим, что z - голоморфная локальная координата для сферы Римана. Позвольте быть расслоение комплексных касательных векторов, имеющих форму в каждой точке, где a - комплексное число. Мы доказываем комплексную версию теоремы о волосатом шарике : V не имеет сечения, всюду ненулевого.${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle V=T\mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle a\partial /\partial z}$

Для этого нам понадобится следующий факт: первый класс Черна тривиального расслоения равен нулю, т. Е.

${\displaystyle c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.}$

Об этом свидетельствует тот факт, что тривиальное расслоение всегда допускает плоскую связность. Итак, покажем, что

${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$

Рассмотрим кэлерову метрику

${\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$

Легко показать, что 2-форма кривизны задается формулой

${\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$

Кроме того, по определению первого класса Черна

${\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}$

Мы должны показать, что этот класс когомологий отличен от нуля. Достаточно вычислить его интеграл по сфере Римана:

${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}$

после перехода в полярные координаты . По теореме Стокса , точная форма будет интегрировать в 0, так что класс когомологий отличен от нуля.

Это доказывает, что векторное расслоение не является тривиальным.${\displaystyle T\mathbb {CP} ^{1}}$

Комплексное проективное пространство [ править ]

Существует точная последовательность пучков / связок: ^[4]

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$

где - структурный пучок (т. е. тривиальное линейное расслоение), - скручивающий пучок Серра (т. е. гиперплоское расслоение ), а последний ненулевой член - касательный пучок / расслоение.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$

Есть два способа получить указанную выше последовательность:

По аддитивности общего класса Черна (т. Е. Формулы суммы Уитни),${\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots }$

${\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1}}$,

где a - канонический образующий группы когомологий ; т.е., отрицательное первого класса Черна расслоения тавтологического линии (примечание: когда двойственна Е ) . В частности, для любого ,${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)}$${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}$

Многочлен Черна [ править ]

Многочлен Черна - это удобный способ систематической обработки классов Черна и связанных с ними понятий. По определению, для комплексного векторного расслоения Е , то Черна многочлен с _т в Е определяется по формуле:

${\displaystyle c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.}$

Это не новый инвариант: формальная переменная t просто отслеживает степень c _k ( E ). ^[6] В частности, полностью определяются общим Черен классом из Й : и наоборот.${\displaystyle c_{t}(E)}$${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)}$

Формула суммы Уитни, одна из аксиом классов Черна (см. Ниже), утверждает, что c _t аддитивен в том смысле, что:

${\displaystyle c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').}$

Теперь, если это прямая сумма (сложных) линейных расслоений, то из формулы суммы следует, что:${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$

${\displaystyle c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)}$

где первые классы Черна. Корни , называется Черны корнями из Е , определяют коэффициенты полинома: т.е.${\displaystyle a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})}$${\displaystyle a_{i}(E)}$

${\displaystyle c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))}$

где σ _k - элементарные симметричные полиномы . Другими словами, если рассматривать a _i как формальные переменные, c _k "равны" σ _k . Основной факт о симметричных многочленах состоит в том, что любой симметричный многочлен, скажем, от t _i является многочленом от элементарных симметричных многочленов от t _i . Либо по принципу расщепления, либо по теории колец, любой многочлен Черна разлагается на линейные множители после увеличения кольца когомологий; E не обязательно должно быть прямой суммой линейных пучков в предыдущем обсуждении. Вывод такой${\displaystyle c_{t}(E)}$

«Можно вычислить любой симметричный многочлен f в комплексном векторном расслоении E , записав f как многочлен от σ _k, а затем заменив σ _k на c _k ( E )».

Пример : у нас есть многочлены s _k

${\displaystyle t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))}$

с и так далее (ср . тождества Ньютона ). Сумма${\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1}(E),\ldots ,c_{n}(E))/k!}$

называется характером Черна E , первые несколько членов которого: (мы опускаем E из записи.)

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .}$

Пример : класс Тодда для E задается следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .\end{aligned}}}$

Замечание : наблюдение, что класс Черна по существу является элементарным симметрическим многочленом, может быть использовано для «определения» классов Черна. Пусть G _п быть бесконечным грассманиан из п - мерные комплексные векторные пространства. Это классифицирующее пространство в том смысле, что для комплексного векторного расслоения E ранга n над X существует непрерывное отображение

${\displaystyle f_{E}:X\to G_{n}}$

уникален до гомотопии. Теорема Бореля утверждает, что кольцо когомологий G _n - это в точности кольцо симметрических многочленов, которые являются многочленами от элементарных симметрических многочленов σ _k ; Итак, откат f _E гласит:

${\displaystyle f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).}$

Затем кладут:

${\displaystyle c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).}$

Замечание : Любой характеристический класс является многочленом от классов Черна по следующей причине. Пусть - контравариантный функтор, который сопоставляет CW-комплексу X множество классов изоморфизма комплексных векторных расслоений ранга n над X и, в случае отображения, его обратный образ. По определению характеристический класс - это естественное преобразование из функтора когомологий в функтор когомологий. Характеристические классы образуют кольцо из-за кольцевой структуры кольца когомологий. Лемма Йонеды утверждает, что это кольцо характеристических классов в точности является кольцом когомологий группы G _n :${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]}$${\displaystyle H^{*}(-,\mathbb {Z} ).}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].}$

Формулы вычислений [ править ]

Пусть E векторное расслоение ранга г и #Chern многочлен от него.${\displaystyle c_{t}(E)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)t^{i}}$

• Для двойного пучка из , . ^[7]${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle c_{i}(E^{*})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$
• Если L - линейное расслоение, то ^{[8] [9]}

${\displaystyle c_{t}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)c_{t}(L)^{r-i}t^{i}}$

и поэтому являются${\displaystyle c_{i}(E\otimes L),i=1,2,\dots ,r}$

${\displaystyle c_{1}(E)+rc_{1}(L),\dots ,\sum _{j=0}^{i}{\binom {r-i+j}{j}}c_{i-j}(E)c_{1}(L)^{j},\dots ,\sum _{j=0}^{r}c_{r-j}(E)c_{1}(L)^{j}.}$

• Для Черны корней из , ^[10]${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{t}(\operatorname {Sym} ^{p}E)&=\prod _{i_{1}\leq \cdots \leq i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t),\\c_{t}(\wedge ^{p}E)&=\prod _{i_{1}<\cdots <i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t).\end{aligned}}}$

В частности, ${\displaystyle c_{1}(\wedge ^{r}E)=c_{1}(E).}$

• Например, ^[11] для ,${\displaystyle c_{i}=c_{i}(E)}$

когда ,${\displaystyle r=2}$${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+3c_{1}+2c_{1}^{2}+4c_{2}+4c_{1}c_{2},}$

когда ,${\displaystyle r=3}$${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+4c_{1}+5c_{1}^{2}+5c_{2}+2c_{1}^{3}+11c_{1}c_{2}+7c_{3}.}$

(см. Segre class # Пример 2. )

Применение формул [ править ]

Мы можем использовать эти абстрактные свойства для вычисления остальных классов черна линейных расслоений на . Вспомните тот показ . Затем, используя тензорные степени, мы можем связать их с классами черна для любого целого числа.${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )}$${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n}$

Свойства [ править ]

Учитывая комплексное векторное расслоение Е над топологическим пространством X , то классы Черна Е представляют собой последовательность элементов когомологий из X . К -го Черна класса из Е , который обычно обозначается с _K ( E ), является элементом

${\displaystyle H^{2k}(X;\mathbb {Z} ),}$

когомологии X с целыми коэффициентами. Можно также определить общий класс Черна

${\displaystyle c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .}$

Поскольку значения находятся в целых группах когомологий, а не в когомологиях с действительными коэффициентами, эти классы Черна немного более тонкие, чем в римановом примере. ^{[ требуется разъяснение ]}

Классическое аксиоматическое определение [ править ]

Классы Черна удовлетворяют следующим четырем аксиомам:

Аксиома 1. для всех Е .${\displaystyle c_{0}(E)=1}$

Аксиома 2. Естественность: Если есть непрерывное и е * Е является векторным расслоением Откат из Е , то .${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)}$

Аксиома 3. Формула суммы Уитни : если - другое комплексное векторное расслоение, то классы Черна прямой суммы задаются формулами${\displaystyle F\to X}$ ${\displaystyle E\oplus F}$

${\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$

это,

${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$

Аксиома 4. Нормализация: Общий класс Черна расслоения тавтологического линии над собой 1- H , где H является пуанкаре-двойственный к гиперплоскости .${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}$

Аксиоматический подход Гротендика [ править ]

В качестве альтернативы Александр Гротендик  ( 1958 ) заменил их немного меньшим набором аксиом:

• Естественность: (То же, что и выше)
• Аддитивность: если это точная последовательность векторных расслоений, то .${\displaystyle \ 0\to E'\to E\to E''\to 0}$${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$
• Нормализация: если E - линейное расслоение , то где - класс Эйлера лежащего в основе действительного векторного расслоения.${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })}$${\displaystyle e(E_{\mathbb {R} })}$

Он показывает, используя теорему Лере – Хирша, что полный класс Черна произвольного комплексного векторного расслоения конечного ранга может быть определен в терминах первого класса Черна тавтологически определенного линейного расслоения.

А именно, вводя проективизацию комплексного векторного расслоения E → B ранга n как расслоения на B , слой которого в любой точке является проективным пространством слоя E _b . Все пространство этого расслоения снабжено его тавтологическим комплексным линейным расслоением, которое мы обозначим , и первым классом Черна${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$

ограничивает на каждом слое минус класс (двойственный по Пуанкаре) гиперплоскости, которая охватывает когомологии слоя, ввиду когомологий комплексных проективных пространств .${\displaystyle \mathbb {P} (E_{b})}$

Классы

${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))}$

поэтому образуют семейство классов объемлющих когомологий, ограничиваясь базисом когомологий слоя. Теорема Лере – Хирша затем утверждает, что любой класс in может быть записан однозначно как линейная комбинация 1, a , a ² , ..., a ^{n −1} с классами на основе в качестве коэффициентов.${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} (E))}$

В частности, можно определить классы Черна E в смысле Гротендика, обозначенные таким образом, расширяя класс , с помощью отношения:${\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)}$${\displaystyle -a^{n}}$

${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$

Затем можно проверить, совпадает ли это альтернативное определение с любым другим определением, которое вы предпочитаете, или использовать предыдущую аксиоматическую характеристику.

Высший класс Черна [ править ]

Фактически, эти свойства однозначно характеризуют классы Черна. Среди прочего они подразумевают:

• Если n - комплексный ранг V , то для всех k > n . Таким образом, полный класс Черна завершается.${\displaystyle c_{k}(V)=0}$
• Верхний класс Черна V (то есть , где n - ранг V ) всегда равен классу Эйлера лежащего в основе действительного векторного расслоения.${\displaystyle c_{n}(V)}$

В алгебраической геометрии [ править ]

Аксиоматическое описание [ править ]

Существует еще одна конструкция классов Черна, которые принимают значения в алгеброгеометрическом аналоге кольца когомологий - кольце Чжоу . Можно показать, что существует единственная теория классов Черна такая, что если вам дано алгебраическое векторное расслоение над квазипроективным многообразием, существует последовательность классов такая, что${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)}$

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$
2. Для обратимого пучка (так , что является делителем Картье ),${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]}$
3. Для точной последовательности векторных расслоений справедлива формула суммы Уитни:${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$${\displaystyle c(E)=c(E')c(E'')}$
4. ${\displaystyle c_{i}(E)=0}$ для ${\displaystyle i>{\text{rank}}(E)}$
5. Отображение продолжается до кольцевого морфизма${\displaystyle E\mapsto c(E)}$${\displaystyle c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)}$

Нормальная последовательность [ править ]

Вычисление характеристических классов для проективного пространства формирует основу для многих вычислений характеристических классов, поскольку для любого гладкого проективного подмногообразия существует короткая точная последовательность${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

Квинтик тройной [ править ]

Например, рассмотрим неособую квинтическую тройку в . Тогда нормальное расслоение дается выражением, и мы имеем короткую точную последовательность${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(5)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(5)\to 0}$

Обозначим через класс гиперплоскости в . Тогда формула суммы Уитни дает нам, что${\displaystyle h}$${\displaystyle A^{\bullet }(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))&=(1+h)^{5}\\&=1+5h+10h^{2}+10h^{3}\end{aligned}}}$

Поскольку кольцо Чоу гиперповерхности сложно вычислить, мы будем рассматривать эту последовательность как последовательность когерентных пучков в . Это дает нам${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}\\&=(1+5h+10h^{2}+10h^{3})(1-5h+25h^{2}-125h^{3})\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}}$

Используя теорему Гаусса-Бонне, мы можем интегрировать класс для вычисления характеристики Эйлера. Традиционно это называется классом Эйлера . Это${\displaystyle c_{3}({\mathcal {T}}_{X})}$

${\displaystyle \int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200}$

так как класс может быть представлен пятью точками (по теореме Безу ). Затем характеристика Эйлера может использоваться для вычисления чисел Бетти для когомологий с помощью определения характеристики Эйлера и теоремы Лефшеца о гиперплоскости.${\displaystyle h^{3}}$${\displaystyle X}$

Гиперповерхности степени d [ править ]

Если - степень гладкая гиперповерхность, мы имеем короткую точную последовательность${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(d)\to 0}$

давая отношение

${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}|_{X}})}{c({\mathcal {O}}_{X}(d))}}}$

мы можем затем вычислить это как

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+d[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})(1-d[H]+d^{2}[H]^{2})\\&=1+(4-d)[H]+(6-4d+d^{2})[H]^{2}\end{aligned}}}$

Даем общий класс черн. В частности, мы можем найти спиновое 4-многообразие, если оно четное, так что каждая гладкая гиперповерхность степени является спиновым многообразием .${\displaystyle X}$${\displaystyle 4-d}$${\displaystyle 2k}$

Приближенные представления [ править ]

Персонаж Черна [ править ]

Классы Черна можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Черна ch определяется формулой

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

В более общем смысле, если - прямая сумма линейных расслоений, с первыми классами Черна характер Черна определяется аддитивно${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$

Это можно переписать так: ^[12]

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$

Это последнее выражение, оправданно, вызывая принцип расщепления , берутся в качестве определения ч (V) для произвольных векторных расслоений V .

Если связность используется для определения классов Черна, когда база является многообразием (т. Е. Теория Черна – Вейля ), то явный вид характера Черна имеет вид

${\displaystyle {\hbox{ch}}(V)=\left[{\hbox{tr}}\left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}$

где Ω - кривизна связи.

Характер Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. В частности, он подчиняется следующим тождествам:

${\displaystyle {\hbox{ch}}(V\oplus W)={\hbox{ch}}(V)+{\hbox{ch}}(W)}$

${\displaystyle {\hbox{ch}}(V\otimes W)={\hbox{ch}}(V){\hbox{ch}}(W).}$

Как было указано выше, с использованием аддитивности аксиомы Гротендик для классов Черны, то первое из этих тождеств можно обобщить на состояние , что ч является гомоморфизмом из абелевых групп из K-теория K ( X ) в рациональные когомологии X . Второе тождество устанавливает тот факт, что этот гомоморфизм также уважает произведения в K ( X ), и поэтому ch является гомоморфизмом колец.

Характер Черна используется в теореме Хирцебруха – Римана – Роха .

Числа Черна [ править ]

Если мы работаем на ориентированном многообразии размерности , то любое произведение классов Черна полной степени (т. Е. Сумма индексов классов Черна в произведении должна быть равной ) может быть спарено с классом ориентационных гомологий (или «интегрировано по многообразие "), чтобы дать целое число, число Черна векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 6, существуют три линейно независимых числа Черна, заданные как , и . В общем, если многообразие имеет размерность , число возможных независимых Черны числа является числом разделов в .${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c_{1}^{3},}$ ${\displaystyle c_{1}c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$

Числа Черна касательного расслоения комплексного (или почти комплексного) многообразия называются числами Черна многообразия и являются важными инвариантами.

Обобщенные теории когомологий [ править ]

Имеется обобщение теории классов Черна, в котором обычные когомологии заменяются обобщенной теорией когомологий . Теории, для которых возможно такое обобщение, называются комплексно ориентируемыми . Формальные свойства классов Черна остаются теми же, с одним существенным отличием: правило, которое вычисляет первый класс Черна тензорного произведения линейных расслоений в терминах первых классов Черна факторов, является не (обычным) сложением, а скорее правилом. формальный групповой закон .

Алгебраическая геометрия [ править ]

В алгебраической геометрии существует аналогичная теория классов Черна векторных расслоений. Есть несколько вариантов в зависимости от того, в какие группы входят классы Черна:

• Для сложных многообразий классы Черна могут принимать значения в обычных когомологиях, как указано выше.
• Для многообразий над общими полями классы Черна могут принимать значения в теориях когомологий, таких как этальные когомологии или l-адические когомологии .
• Для многообразий V над общими полями классы Черна также могут принимать значения в гомоморфизмах групп Чжоу CH (V): например, первый класс Черна линейного расслоения над многообразием V является гомоморфизмом из CH ( V ) в CH ( V). ), уменьшая степени на 1. Это соответствует тому факту, что группы Чжоу являются своего рода аналогом групп гомологий, а элементы групп когомологий можно рассматривать как гомоморфизмы групп гомологий, использующие cap-произведение .

Коллекторы со структурой [ править ]

Теория классов Черна порождает инварианты кобордизмов почти комплексных многообразий .

Если M - почти комплексное многообразие, то его касательное расслоение является комплексным векторным расслоением. Таким образом, классы Черна множества M определяются как классы Черна его касательного расслоения. Если М также компактны и размерность 2 г , то каждый одночлен от общей степени 2 г в классах Черны может быть сопряжен с фундаментальным классом из М , что дает целое число, Черно число из М . Если M ′ - другое почти комплексное многообразие той же размерности, то оно кобордантно Mтогда и только тогда Черно число M совпадают 'с таковыми М .

Теория также распространяется на вещественные симплектические векторные расслоения с помощью совместимых почти комплексных структур. В частности, симплектические многообразия имеют корректно определенный класс Черна.

Арифметические схемы и диофантовы уравнения [ править ]

(См. Геометрию Аракелова )

См. Также [ править ]

• Понтрягин класс
• Класс Штифеля – Уитни
• Класс Эйлера
• Сегре класс
• Исчисление Шуберта
• Квантовый эффект Холла
• Локализованный класс Черна

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Черн, Шиинг-Шен (1946), "Характеристические классы эрмитовых многообразий", Annals of Mathematics , Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 47, № 1, 47 (1): 85-121, DOI : 10,2307 / 1969037 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969037
• Гротендик, Александр (1958), "Теория классов Черна" , Бюллетень математического общества Франции , 86 : 137–154, doi : 10.24033 / bsmf.1501 , ISSN  0037-9484 , MR  0116023
• Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7 (Предоставляет очень краткий вводный обзор классов Черна).
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии , University of Chicago Press, ISBN 9780226511832
• Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характерные классы , Анналы математических исследований, 76 , Princeton University Press; Университет Токио Пресс, ISBN 978-0-691-08122-9
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3

Внешние ссылки [ править ]

• Vector Bundles & K-Theory - загружаемая незавершенная книга Аллена Хэтчера . Содержит главу о характеристических классах.
• Дитер Кочик , Числа Черна алгебраических многообразий