Теория Черна – Саймонса - это трехмерная топологическая квантовая теория поля типа Шварца, разработанная Эдвардом Виттеном . Он был впервые открыт физиком-математиком Альбертом Шварцем . Он назван в честь математиков Шиинг-Шена Черна и Джеймса Харриса Саймонса , которые представили 3-форму Черна – Саймонса . В теории Черна – Саймонса действие пропорционально интегралу от 3-формы Черна – Саймонса .
В физике конденсированных сред теория Черна – Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла . В математике, она была использована для расчета инвариантов узлов и три-многообразия инвариантов , таких как полином Джонса .
В частности, теория Черна – Саймонса определяется выбором простой группы Ли G, известной как калибровочная группа теории, а также числом, называемым уровнем теории, которое является константой, умножающей действие. Действие зависит калибр, однако функция распределения в квантовой теории хорошо определена , когда уровень представляет собой целое число , и датчик напряженности поля обращается в нуль на всех границах в 3-мерном пространстве - времени.
Он также использовался для создания топологических квантовых компьютеров (TQC). В частности, теория SU (2) Черна – Саймонса описывает простейшую неабелеву анионную модель TQC, модель Янга-Ли-Фибоначчи. Его правила слияния также описываются теорией WZW и конформной теорией поля . [1] [2]
Классическая теория
Математическое происхождение
В 1940-х годах С.С. Черн и А. Вейль изучали свойства глобальной кривизны гладких многообразий M как когомологий де Рама ( теория Черна – Вейля ), что является важным шагом в теории характеристических классов в дифференциальной геометрии . Учитывая плоский G - главное расслоение P на M существует единственный гомоморфизм, называется Черна-Вейль гомоморфизм из алгебры G -adjoint инвариантных многочленов на г (алгебра Ли группы G ) когомологии. Если инвариантный многочлен однороден можно записать конкретно любые К -формам замкнутого соединению со в некоторых 2 К -формам ассоциированной формы кривизны П о ш .
В 1974 г. С. С. Черн и Дж. Х. Саймонс конкретно построили (2 k - 1) -форму df ( ω ) такую, что
где T - гомоморфизм Черна – Вейля. Эта форма называется формой Черна – Саймонса . Если df ( ω ) замкнуто, можно проинтегрировать указанную выше формулу
где С представляет собой (2 к - 1) -мерный цикл на М . Этот инвариант называется инвариантом Черна – Саймонса . Как указывалось во введении к статье Черна – Саймонса, инвариант Черна – Саймонса CS ( M ) является граничным членом, который не может быть определен какой-либо чистой комбинаторной формулировкой. Его также можно определить как
где является первым числом и понтрягинского с ( М ) является сечением нормальной ортогонального расслоения P . Более того, член Черна – Саймонса описывается как инвариант эта, определенный Атьей, Патоди и Зингером.
Калибровочную инвариантность и метрическую инвариантность можно рассматривать как инвариантность относительно действия присоединенной группы Ли в теории Черна – Вейля. Интегральное действия ( интеграл пути ) из теории поля в физике рассматриваются как лагранжевый интеграл от формы Черны-Simons и петли Вильсона, голономии векторного расслоения на М . Это объясняет, почему теория Черна – Саймонса тесно связана с топологической теорией поля .
Конфигурации
Теории Черна – Саймонса могут быть определены на любом топологическом трехмерном многообразии M с краем или без него. Поскольку эти теории являются топологическими теориями типа Шварца, метрики на M вводить не нужно .
Черна-Саймонса теория представляет собой калибровочную теорию , что означает , что классическая конфигурация в теории Черна-Simons на М с калибровочной группой G описывается основной G -расслоения на М . Соединение этого расслоения характеризуется соединения одного вида A , который оценивается в алгебре Ли г в группе Ли G . В общем, соединение A определяется только на отдельных участках координат , а значения A на разных участках связаны картами, известными как калибровочные преобразования . Они характеризуется утверждением , что ковариантная производная , которая является суммой внешнего производной оператора D и соединение , прообразы в присоединенном представлении калибровочной группы G . Квадрат ковариантной производной с самим собой можно интерпретировать как 2-форму F со значением g, называемую формой кривизны или напряженностью поля . Он также преобразуется в присоединенное представление.
Динамика
Действие S теории Черна-Simons пропорциональна интегралу от Черна-Simons 3-формы
Постоянная k называется уровнем теории. Классическая физика теории Черна – Саймонса не зависит от выбора уровня k .
Классический система характеризуется ее уравнениями движения , которые являются экстремумами действия по отношению к вариации поля A . По кривизне поля
уравнение поля явно
Следовательно, классические уравнения движения выполняются тогда и только тогда, когда кривизна равна нулю всюду, и в этом случае соединение называется плоским . Таким образом, классические решения G теории Черна-Simons являются плоские связности главных G -расслоений на М . Плоские соединения полностью определяются голономиями вокруг нестягиваемых циклов на базовые М . Точнее, они находятся во взаимно однозначное соответствие с классами эквивалентности гомоморфизмов из фундаментальной группы из М калибровочной группы G с точностью до сопряжения.
Если M имеет граничное N , то есть дополнительные данные , которые описывают выбор банализации главного G -расслоения на N . Такой выбор характеризует отображение из N в G . Динамика этого отображения описывается моделью Весса – Зумино – Виттена (WZW) на N на уровне k .
Квантование
Чтобы канонически квантовать теорию Черна – Саймонса, нужно определить состояние на каждой двумерной поверхности Σ в M. Как и в любой квантовой теории поля, состояния соответствуют лучам в гильбертовом пространстве . В топологической теории поля типа Шварца нет предпочтительного понятия времени, поэтому можно потребовать, чтобы Σ была поверхностью Коши , фактически, состояние может быть определено на любой поверхности.
Σ имеет коразмерность один, поэтому можно разрезать M вдоль Σ. После такого разрезания M будет многообразием с краем, и, в частности, классически динамика Σ будет описываться моделью WZW. Виттен показал, что это соответствие выполняется даже квантово-механически. Точнее, он продемонстрировал, что гильбертово пространство состояний всегда конечномерно и может быть канонически отождествлено с пространством конформных блоков модели G WZW на уровне k.
Например, когда Σ является 2-сферой, это гильбертово пространство одномерно и поэтому имеется только одно состояние. Когда Σ является 2-тором состояний соответствуют интегрируемым представлениям о аффинной алгебре Ли , соответствующей г на уровне к. Для решения Виттена теории Черна – Саймонса характеризации конформных блоков высших родов не требуется.
Наблюдаемые
Петли Вильсона
В наблюдаемыми теории Черна-Саймонса являются п -точечных корреляционные функции калибровочных-инвариантных операторов. Наиболее часто изучаемым классом калибровочно-инвариантных операторов являются лупы Вильсона . Уилсон петля голономия вокруг петли в M , прослежены в данном представлении R из G . Как мы будем заинтересованы в продуктах петель Вильсона, без ограничения общности мы можем ограничиться рассмотрением неприводимых представлений R .
Более конкретно, учитывая неприводимое представление R и петлю K в M , можно определить петлю Вильсона от
где это соединение 1-форма и взять главное значение Коши в интеграле контура и- экспонента, упорядоченная по путям .
Полиномы ХОМФЛИ и Джонса
Рассмотрим зацепление L в M , которое представляет собой набор ℓ непересекающихся петель. Особенно интересным является наблюдаемая ℓ точечное корреляционная функция формируется из продукта Вильсона петли вокруг каждой петли не пересекаются, каждый прослежены в фундаментальном представлении о G . Можно сформировать нормализованную корреляционную функцию, разделив эту наблюдаемую на статистическую сумму Z ( M ), которая является просто нулевой корреляционной функцией.
В частном случае, когда M является 3-сферой, Виттен показал, что эти нормированные корреляционные функции пропорциональны известным полиномам узлов . Например, в теории G = U ( N ) Черна – Саймонса на уровне k нормированная корреляционная функция с точностью до фазы равна
умноженное на многочлен ХОМФЛИ . В частности, когда N = 2, многочлен ХОМФЛИ сводится к многочлену Джонса . В случае SO ( N ) можно найти аналогичное выражение с многочленом Кауфмана .
Неоднозначность фазы отражает тот факт, что, как показал Виттен, квантовые корреляционные функции не полностью определяются классическими данными. Число зацепления петли с самим собой входит в вычисление статистической суммы, но это число не инвариантно при малых деформациях и, в частности, не является топологическим инвариантом. Это число может быть четко определено, если выбрать кадрирование для каждого цикла, который представляет собой выбор предпочтительного ненулевого вектора нормали в каждой точке, вдоль которой происходит деформация цикла, чтобы вычислить его число самосвязывания. Эта процедура является примером процедуры регуляризации точечного расщепления, введенной Полем Дираком и Рудольфом Пайерлсом для определения явно расходящихся величин в квантовой теории поля в 1934 году.
Сэр Майкл Атия показал, что существует канонический выбор 2-обрамления, [ необходима цитата ], который обычно используется в современной литературе и приводит к четко определенному номеру связи. При каноническом обрамлении указанная выше фаза представляет собой экспоненту в 2π i / ( k + N ), умноженную на число связей L с самим собой.
- Проблема (Продолжение многочлена Джонса на трехмерные многообразия общего вида)
«Исходный полином Джонса был определен для 1-звеньев в 3-сфере (3-шар, 3-пространство R3). Можете ли вы определить полином Джонса для 1-звеньев в любом 3-многообразии?»
См. Раздел 1.1 этой статьи [3] для ознакомления с предысторией и историей этой проблемы. Кауфман представил решение в случае многообразия-произведения замкнутой ориентированной поверхности и отрезка, введя виртуальные 1-узлы. [4] В остальных случаях он открыт. Интеграл по путям Виттена для полинома Джонса формально записывается для зацеплений в любом компактном 3-многообразии, но исчисление не выполняется даже на уровне физики в любом случае, кроме 3-сферы (3-шар, 3-пространство R 3 ). . Эта проблема также открыта на уровне физики. В случае полинома Александера эта проблема решена.
Отношения с другими теориями
Топологические теории струн
В контексте теории струн , A U ( N ) Черна-Саймонс теория на ориентированном лагранжевом 3-подмногообразия М 6-многообразие X возникает как струнная теорию поля открытых струн , оканчивающихся на D-бране оберточной X в A -модели топологической теории струн на X . В-модель топологической теории открытых струн поле на spacefilling worldvolume стека D5-бран представляет собой 6-мерный вариант теории Черна-Simons , известной как голоморфному теории Черна-Simons.
WZW и матричные модели
Теории Черна – Саймонса связаны со многими другими теориями поля. Например, если рассматривать теорию Черна – Саймонса с калибровочной группой G на многообразии с краем, то все 3-мерные распространяющиеся степени свободы могут быть откалиброваны, оставляя двумерную конформную теорию поля, известную как G Wess– Модель Зумино – Виттена на границе. Кроме того, теории U ( N ) и SO ( N ) Черна – Саймонса при больших N хорошо аппроксимируются матричными моделями .
Теория гравитации Черна – Саймонса
В 1982 году С. Дезер , Р. Джеки и С. Темплтон предложили теорию гравитации Черна – Саймонса в трех измерениях, в которой действие Эйнштейна – Гильберта в теории гравитации модифицировано путем добавления члена Черна – Саймонса. ( Дезер, Джеки и Темплтон (1982) )
В 2003 году R. Jackiw и SY Pi расширили эту теорию до четырех измерений ( Jackiw & Pi (2003) ), а теория гравитации Черна – Саймонса оказывает значительное влияние не только на фундаментальную физику, но также на теорию конденсированного состояния и астрономию.
Четырехмерный случай очень похож на трехмерный случай. В трех измерениях гравитационный член Черна – Саймонса имеет вид
Эта вариация дает тензор Коттона
Затем выполняется модификация трехмерной гравитации Черна – Саймонса путем добавления вышеупомянутого тензора Коттона к уравнению поля, которое может быть получено как вакуумное решение путем изменения действия Эйнштейна – Гильберта.
Материальные теории Черна – Саймонса
В 2013 году Кеннет А. Интрилигатор и Натан Зайберг решили эти трехмерные калибровочные теории Черна – Саймонса и их фазы, используя монополи, несущие дополнительные степени свободы. Индекс Виттена для множества обнаруженных вакуумов был вычислен путем компактификации пространства путем включения массовых параметров и последующего вычисления индекса. В некоторых вакуумах было вычислено нарушение суперсимметрии . Эти монополи были связаны с вихрями конденсированного состояния . ( Intriligator и Seiberg (2013) )
N = 6 Черна-Саймонс теории материи есть голографический двойные М-теория на.
Члены Черна – Саймонса в других теориях.
Термин Черна – Саймонса также может быть добавлен к моделям, которые не являются топологическими квантовыми теориями поля. В 3D это дает начало массивному фотону, если этот член добавить к действию электродинамической теории Максвелла . Этот член может быть получен интегрированием по массивному заряженному полю Дирака . Это также проявляется, например, в квантовом эффекте Холла . Десятимерные и одиннадцатимерные обобщения членов Черна – Саймонса появляются в действиях всех десятимерных и одиннадцатимерных теорий супергравитации .
Однопетлевые перенормировки уровня
Если добавить материю к калибровочной теории Черна – Саймонса, то она, вообще говоря, перестанет быть топологической. Однако если добавить n майорановских фермионов, то из-за аномалии четности при интегрировании они приводят к чистой теории Черна – Саймонса с однопетлевой перенормировкой уровня Черна – Саймонса на - n / 2, другими словами, Теория уровня k с n фермионами эквивалентна теории уровня k - n / 2 без фермионов.
Смотрите также
- Калибровочная теория (математика)
- Форма Черна – Саймонса
- Топологическая квантовая теория поля
- Полином александра
- Многочлен Джонса
- 2 + 1D топологическая гравитация
Рекомендации
- Черн, С.-С. И Саймонс Дж. (1974). «Характерные формы и геометрические инварианты». Анналы математики . 99 (1): 48–69. DOI : 10.2307 / 1971013 . JSTOR 1971013 .
- Дезер, Стэнли; Джекив, Роман; Темплтон, С. (1982). "Трехмерные массивные калибровочные теории" (PDF) . Письма с физическим обзором . 48 (15): 975–978. Bibcode : 1982PhRvL..48..975D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.48.975 .
- Intriligator, Кеннет; Зайберг, Натан (2013). "Аспекты 3d N = 2 теорий материи Черна – Саймонса". Журнал физики высоких энергий . 2013 : 79. arXiv : 1305.1633 . Bibcode : 2013JHEP ... 07..079I . DOI : 10.1007 / JHEP07 (2013) 079 . S2CID 119106931 .
- Джекив, Роман; Пи, С. -Й (2003). "Модификация общей теории относительности Черна – Саймонса". Physical Review D . 68 (10): 104012. arXiv : gr-qc / 0308071 . Bibcode : 2003PhRvD..68j4012J . DOI : 10.1103 / PhysRevD.68.104012 . S2CID 2243511 .
- Кульшрешта, Уша; Кульшрешта, DS; Мюллер-Кирстен, HJW; Вары, JP (2009). «Гамильтониан, интеграл по путям и БРСТ-формулировки теории Черна-Саймонса-Хиггса при соответствующей фиксации калибровки». Physica Scripta . 79 (4): 045001. Bibcode : 2009PhyS ... 79d5001K . DOI : 10.1088 / 0031-8949 / 79/04/045001 .
- Кульшрешта, Уша; Кульшрешта, DS; Вары, JP (2010). "Гамильтониан светового фронта, интеграл по путям и БРСТ-формулировки теории Черна-Саймонса-Хиггса при соответствующей фиксации калибровки". Physica Scripta . 82 (5): 055101. Bibcode : 2010PhyS ... 82e5101K . DOI : 10.1088 / 0031-8949 / 82/05/055101 .
- Лопес, Ана; Фрадкин, Эдуардо (1991). «Дробный квантовый эффект Холла и калибровочные теории Черна-Саймонса». Physical Review B . 44 (10): 5246–5262. Bibcode : 1991PhRvB..44.5246L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.44.5246 . PMID 9998334 .
- Марино, Маркос (2005). "Теория Черна – Саймонса и топологические струны". Обзоры современной физики . 77 (2): 675–720. arXiv : hep-th / 0406005 . Bibcode : 2005RvMP ... 77..675M . DOI : 10.1103 / RevModPhys.77.675 . S2CID 6207500 .
- Марино, Маркос (2005). Теория Черна – Саймонса, матричные модели и топологические струны . Международная серия монографий по физике. Издательство Оксфордского университета .
- Виттен, Эдвард (1988). «Топологическая квантовая теория поля» . Сообщения по математической физике . 117 (3): 353–386. Bibcode : 1988CMaPh.117..353W . DOI : 10.1007 / BF01223371 . S2CID 43230714 .
- Виттен, Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Сообщения по математической физике . 121 (3): 351–399. Bibcode : 1989CMaPh.121..351W . DOI : 10.1007 / BF01217730 . Руководство по ремонту 0990772 . S2CID 14951363 .
- Виттен, Эдвард (1995). "Теория Черна – Саймонса как теория струн". Успехи в математике . 133 : 637–678. arXiv : hep-th / 9207094 . Bibcode : 1992hep.th .... 7094W .
- Конкретный
- ^ Фридман, Майкл Х .; Китаев, Алексей; Ларсен, Майкл Дж .; Ван, Чжэнхань (20.09.2002). «Топологические квантовые вычисления». arXiv : квант-ph / 0101025 .
- ^ Ван, Чжэнхань. «Топологические квантовые вычисления» (PDF) .
- ^ Кауфман, LH; Огаса, Э; Schneider, J (2018), Прядильная конструкция для виртуальных 1-узлов и 2-узлов, а также послойная и сварная эквивалентность виртуальных 1-узлов , arXiv : 1808.03023
- ^ Кауфман, Л. Е. (1998), Обсуждения на заседании ИИГС в январе 1997 г., Встреча AMS в Университете Мэриленда, Колледж-Парк в марте 1997 г., Лекция Института Исаака Ньютона в ноябре 1997 г., Встреча Узлов в Элладе в Дельфах, Греция в июле 1998 г. Симпозиум NANKAI по системам Янга-Бакстера, нелинейным моделям и приложениям в Сеуле, Корея, октябрь 1998 г., теория виртуальных узлов, European J. Combin. 20 (1999) 663–690 , arXiv : math / 9811028
Внешние ссылки
- "Функционал Черна-Саймонса" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]