В математике , то ета инвариант из самосопряженного эллиптического дифференциального оператора на компактном многообразии формально число положительных чисел минус число отрицательных собственных значений. На практике оба числа часто бесконечны, поэтому они определяются с использованием регуляризации дзета-функции . Он был введен Атьей , Патоди и Зингером ( 1973 , 1975 ), которые использовали его для распространения сигнатурной теоремы Хирцебруха на многообразия с краем. Название происходит от того факта, что это обобщениеЭта функция Дирихле .
Позднее они также использовали эта-инвариант самосопряженного оператора для определения эта-инварианта компактного нечетномерного гладкого многообразия.
Майкл Фрэнсис Атья , Х. Доннелли и И. М. Сингер ( 1983 ) определили сигнатурный дефект границы многообразия как эта-инвариант и использовали это, чтобы показать, что сигнатурный дефект Хирцебруха каспа гильбертова модулярной поверхности может быть выражен в виде члены значения при s = 0 или 1 L-функции Симидзу .
Определение
Эта-инвариант самосопряженного оператора A задается формулой η A (0), где η - аналитическое продолжение оператора
и сумма берется по ненулевые собственные значения λ из A .
Рекомендации
- Атия, Майкл Фрэнсис ; Патоди, ВК; Певец, И. М. (1973), "Спектральный асимметрия и римановой геометрии", Бюллетень Лондонского математического общества , 5 (2): 229-234, CiteSeerX 10.1.1.597.6432 , DOI : 10,1112 / БЛМ / 5.2.229 , ISSN 0024-6093 , MR 0331443
- Атия, Майкл Фрэнсис ; Патоди, ВК; Зингер, И.М. (1975), "Спектральная асимметрия и риманова геометрия. I", Математические материалы Кембриджского философского общества , 77 : 43–69, DOI : 10.1017 / S0305004100049410 , ISSN 0305-0041 , MR 0397797
- Атия, Майкл Фрэнсис ; Donnelly, H .; Певец, IM (1983), "Eta инварианты, подписные дефекты остриев, а значения L-функций", Анналы математики , вторая серия, 118 (1): 131-177, DOI : 10,2307 / 2006957 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2006957 , Руководство по ремонту 0707164