Модульное многообразие Гильберта

В математике модулярная поверхность Гильберта или поверхность Гильберта – Блюменталя - это алгебраическая поверхность, полученная путем факторизации произведения двух копий верхней полуплоскости на модулярную группу Гильберта . В более общем смысле, модулярное многообразие Гильберта - это алгебраическое многообразие, полученное путем факторизации произведения кратных копий верхней полуплоскости на модулярную группу Гильберта.

Модульные поверхности Гильберта были впервые описаны Отто Блюменталем ( 1903 , 1904 ) с использованием некоторых неопубликованных заметок, написанных Дэвидом Гильбертом около 10 лет назад.

Определения [ править ]

Если R представляет собой кольцо целых вещественного квадратичного поля , то группа Гильберта модульной SL ₂ ( R ) действует на продукт Н × H двух копий верхней полуплоскости H . С этим действием связано несколько бирационально эквивалентных поверхностей, любую из которых можно назвать гильбертовыми модулярными поверхностями :

Поверхность X является фактором H × H по SL ₂ ( R ); он не компактен и обычно имеет фактор-особенности, происходящие из точек с нетривиальными группами изотропии.
Поверхность X ^* получается из X добавлением конечного числа точек, соответствующих точкам возврата действия. Он компактен и имеет не только фактор-особенности X , но и особенности на его вершинах.
Поверхность Y получается из X ^* минимальным разрешением особенностей. Это компактная гладкая алгебраическая поверхность , но, вообще говоря, не является минимальной.
Поверхность Y ⁰ получается из Y путем сдувания некоторых исключительных −1-кривых. Он гладкий и компактный, часто (но не всегда) минимальный.

Есть несколько вариаций этой конструкции:

Модулярная группа Гильберта может быть заменена некоторой подгруппой конечного индекса, такой как подгруппа конгруэнции .
Можно расширить модулярную группу Гильберта группой порядка 2, действуя на модулярную группу Гильберта через действие Галуа и поменяв местами две копии верхней полуплоскости.

Особенности [ править ]

Хирцебрух (1953) показал, как разрешить фактор-сингулярности, а Хирцебрух (1971) показал, как разрешить их точки возврата.

Классификация поверхностей [ править ]

В статьях Hirzebruch (1971) , Hirzebruch & Van de Ven (1974) и Hirzebruch & Zagier (1977) был определен их тип в классификации алгебраических поверхностей . Большинство из них являются поверхностями общего типа , но некоторые являются рациональными поверхностями или взорванными поверхностями К3 или эллиптическими поверхностями .

Примеры [ править ]

ван дер Гир (1988) приводит длинную таблицу примеров.

Поверхность Клебша- взорван на своих 10 Eckardt точек представляет собой модульную поверхность Гильберта.

Связано с расширением квадратичного поля [ править ]

Учитывая квадратичное расширение поля для есть связанный Гильберт модульное многообразие получается из компактификации определенного разнообразия фактора и его решения в особенности. Обозначим через верхнюю полуплоскость и действуем через ${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {p}})}$ ${\ displaystyle p = 4k + 1}$ ${\ Displaystyle Y (p)}$ ${\ Displaystyle X (p)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$ ${\ displaystyle SL (2, {\ mathcal {O}} _ {K}) / \ {\ pm {\ text {Id}} _ {2} \}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} \ times {\ mathfrak {H}}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} (z_ {1}, z_ {2}) = \ left ({\ frac {az_ {1} + bz_ {2}} {cz_ {1} + dz_ {2}}}, {\ frac {a'z_ {1} + b'z_ {2}} {c'z_ {1} + d'z_ {2}}} \ right)}$

где - конъюгаты Галуа . ^[1] Соответствующее фактормногообразие обозначается ${\ displaystyle a ', b', c ', d'}$

$X(p)=G\backslash {\mathfrak {H}}\times {\mathfrak {H}}$

и может быть компактифицирован до множества , называемого куспидами , которые взаимно однозначно соответствуют идеальным классам в . Разрешение его особенностей дает многообразие, называемое гильбертовым модулярным многообразием расширения поля . Из теоремы Бейли-Бореля о компактификации существует вложение этой поверхности в проективное пространство. ^[2] ${\overline {X}}(p)$ ${\text{Cl}}({\mathcal {O}}_{K})$ $Y(p)$

См. Также [ править ]

Модульная форма Гильберта
Модульная поверхность Picard
Модульное разнообразие Siegel

Ссылки [ править ]

^ Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Достопочтенный Антониус (2004). Компактные сложные поверхности . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. п. 231. DOI : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 . ISBN 978-3-540-00832-3.
^ Бейли, WL; Борель, А. (ноябрь 1966 г.). «Компактификация арифметических факторов ограниченных симметричных областей». Анналы математики . 84 (3): 442. DOI : 10,2307 / 1970457 . JSTOR 1970457 .

Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
Блюменталь, Отто (1903), "Убер Modulfunktionen фон mehreren Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 56 (4): 509-548, DOI : 10.1007 / BF01444306 , S2CID 122293576
Блюменталь, Отто (1904), "Убер Modulfunktionen фон mehreren Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 58 (4): 497-527, DOI : 10.1007 / BF01449486 , S2CID 179178108
Хирцебрух, Ф. (1953), "Убер vierdimensionale римановых Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen фон Zwei komplexen Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 126 (1): 1-22, DOI : 10.1007 / BF01343146 , ЛВП : 21,11116 / 0000-0004-3A47-С , ISSN 0025-5831 , MR 0062842 , S2CID 122862268
Хирцебрух, Фридрих (1971), "Модулярная группа Гильберта, разрешение особенностей на каспах и связанные проблемы", Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Exp. No. 396 , Lecture Notes в математике, 244 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag ., С. 275-288, DOI : 10.1007 / BFb0058707 , ISBN 978-3-540-05720-8, Руководство по ремонту 0417187
Хирцебрух, Фридрих ЕР (1973), "гильбертовыми модульные поверхности", L'Enseignement Mathematique , IIe Serie, 19 : 183-281, DOI : 10.5169 / прокладки-46292 , ISSN 0013-8584 , МР 0393045
Хирцебрух, Фридрих ; Ван де Вен, Антониус (1974), "гильбертовая модульные поверхности и классификация алгебраических поверхностей" , Inventiones Mathematicae (Представлено рукопись), 23 (1): 1-29, DOI : 10.1007 / BF01405200 , ЛВП : 21,11116 / 0000-0004 -39A4-3 , ISSN 0020-9910 , Руководство по эксплуатации 0364262 , S2CID 73577779
Хирцебрух, Фридрих ; Загьер, Дон (1977), "Классификация гильбертовых модулярных поверхностей", в Baily, WL; Шиода. Т. (ред.), Комплексный анализ и алгебраическая геометрия , Токио: Iwanami Shoten, стр. 43–77, ISBN 978-0-521-09334-7, Руководство по ремонту 0480356
van der Geer, Gerard (1988), модульные поверхности Гильберта , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 16 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978 -3-642-61553-5 , ISBN 978-3-540-17601-5, Руководство по ремонту 0930101

Внешние ссылки [ править ]

Элен С. Краткое введение в модулярные поверхности Гильберта и циклы Хирцебруха-Загьера (PDF)

[1] Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Достопочтенный Антониус (2004). Компактные сложные поверхности . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. п. 231. DOI : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 . ISBN 978-3-540-00832-3.

[2] Бейли, WL; Борель, А. (ноябрь 1966 г.). «Компактификация арифметических факторов ограниченных симметричных областей». Анналы математики . 84 (3): 442. DOI : 10,2307 / 1970457 . JSTOR 1970457 .

[1]