Сопряженный элемент (теория поля)
В математике , в частности в теории поля , сопряженные элементы или алгебраические сопряжения алгебраического элемента α над расширением поля L / K являются корнями минимального многочлена pK , α ( x ) от α над K. Сопряженные элементы обычно называют сопряженными в контекстах, где это не является двусмысленным. Обычно α сам входит в множество сопряженных с α .
Эквивалентно, сопряженные α — это образы α при полевых автоморфизмах L , оставляющих на месте элементы K . Эквивалентность двух определений — одна из отправных точек теории Галуа .
Понятие обобщает комплексное сопряжение , поскольку алгебраическое сопряжение над комплексным числом есть само число и его комплексно-сопряженное .
Если K задано внутри алгебраически замкнутого поля C , то сопряженные элементы можно взять внутри C . Если такое C не указано, можно взять сопряженные в некотором относительно небольшом поле L . Наименьший возможный выбор для L состоит в том, чтобы взять поле расщепления над K из p K , α , содержащее α . Если L — любое нормальное расширение K , содержащее α , то по определению оно уже содержит такое разлагающее поле.
Тогда при заданном нормальном расширении L группы K с группой автоморфизмов Aut( L / K ) = G и содержащем α любой элемент g ( α ) для g в G будет сопряжен с α , поскольку автоморфизм g переводит корни p к корням p . Обратно, любое сопряженное β к α имеет эту форму: другими словами, G действует транзитивно на сопряженных. Отсюда следует, что К( α ) является K -изоморфным K ( β ) в силу неприводимости минимального полинома, и любой изоморфизм полей F и F ' , переводящий полином p в p ', может быть продолжен до изоморфизма полей расщепления p над F и p ' над F ' соответственно.
Таким образом, сопряженные элементы α находятся в любом нормальном расширении L поля K , которое содержит K ( α ), как множество элементов g ( α ) для g в Aut( L / K ). Количество повторов в этом списке каждого элемента является отделимой степенью [ L : K ( α )] sep .