Группа идеального класса

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Идеальная классная группа»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории чисел , то группа классов идеалов (или группы классов ) из поля алгебраических чисел К является фактор - группа J _К / Р _К , где J _K является группа дробных идеалов в кольце целых чисел из К , а Р _К является подгруппа главных идеалов . Группа класса является мерой степени , в которой уникальное разложение терпит неудачу в кольце целых чисел K . заказгруппы, которая конечна, называется число классов из K .

Теория распространяется на дедекиндовы области и их поле дробей , для которых мультипликативные свойства тесно связаны со структурой группы классов. Например, группа классов домена Дедекинда тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо является уникальной областью факторизации .

История и происхождение идеальной классовой группы [ править ]

Группы идеальных классов (или, скорее, то, что фактически было группами идеальных классов) изучались задолго до того, как была сформулирована идея идеала . Эти группы появились в теории квадратичных форм : в случае бинарных целочисленных квадратичных форм, представленных Гауссом в нечто вроде окончательной формы , для некоторых классов эквивалентности форм был определен закон композиции. Это дало конечную абелеву группу , как было признано в то время.

Позже Куммер работал над теорией круговых полей . Было понято (вероятно, несколькими людьми), что неспособность завершить доказательства в общем случае последней теоремы Ферма факторизацией с использованием корней единицы была по очень веской причине: неудача уникальной факторизации, т. Е. Фундаментальной арифметической теоремы. , удерживаться в кольцах, порожденных этими корнями единства, было серьезным препятствием. Из работ Куммера впервые вышло исследование препятствий факторизации. Теперь мы признаем это как часть группы классов идеалов: на самом деле Куммер был выделен р - кручениев этой группе для поля p -корней из единицы для любого простого числа p , как причины неудачи стандартного метода атаки на проблему Ферма (см. обычное простое число ).

Несколько позже Дедекинд снова сформулировал понятие идеала , Куммер действовал иначе. На этом этапе существующие примеры могут быть унифицированы. Было показано, что, хотя кольца целых алгебраических чисел не всегда однозначно разлагаются на простые числа (поскольку они не обязательно должны быть областями главных идеалов ), они обладают тем свойством, что каждый собственный идеал допускает уникальную факторизацию как произведение простых идеалов (т. Е. , каждое кольцо целых алгебраических чисел является дедекиндовской областью). Размер идеальной группы классов можно рассматривать как меру отклонения кольца от главной идеальной области; кольцо является главной областью тогда и только тогда, когда оно имеет тривиальную группу классов идеалов.

Определение [ править ]

Если R является областью целостности , определить отношение ~ на ненулевых дробных идеалов из R по I ~ J всякий раз , когда существуют ненулевые элементы и б из R такой , что ( ) Я = ( б ) J . (Здесь обозначение ( ) означает , что главный идеал из R , состоящий из всех кратных .) Легко показать , что это отношение эквивалентности . В классах эквивалентностиназываются идеальными классы по R . Идеальные классы могут быть умножены: если [ I ] обозначает класс эквивалентности идеала I , то умножение [ I ] [ J ] = [ IJ ] корректно определено и коммутативно . Основные идеалы образуют идеальный класс [ R ], который служит элементом идентичности для этого умножения. Таким образом, класс [ I ] имеет обратный [ J ] тогда и только тогда, когда существует идеал J такой, что IJ является главным идеалом. В общем, такой Jможет не существовать, и, следовательно, множество идеальных классов R может быть только моноидом .

Однако, если R является кольцом целых алгебраических чисел в поле алгебраических чисел , или в более общем случае дедекиндово домена , умножение определено выше витков множество дробных классов идеальных в абелевой группе , в идеальной группе классов из R . Групповое свойство существования обратных элементов легко следует из того факта, что в дедекиндовской области каждый ненулевой идеал (кроме R ) является произведением простых идеалов .

Свойства [ править ]

Группа классов идеалов тривиальна (т.е. имеет только один элемент) тогда и только тогда, когда все идеалы R главны. В этом смысле группа идеальных классов измеряет, насколько далека R от того, чтобы быть областью главных идеалов , и, следовательно, от удовлетворения уникальной факторизации простых чисел (области Дедекинда являются областями уникальной факторизации, если и только если они являются областями главных идеалов).

Число идеальных классов (далее число классов из R ) может быть бесконечным в целом. Фактически, каждая абелева группа изоморфна группе классов идеалов некоторой дедекиндовской области. ^[1] Но если R на самом деле является кольцом целых алгебраических чисел, то число классов всегда конечно . Это один из основных результатов классической алгебраической теории чисел.

Вычисление группы классов, в общем, затруднено; это можно сделать вручную для кольца целых чисел в поле алгебраических чисел с малым дискриминантом , используя оценку Минковского . Этот результат дает оценку, зависящую от кольца, такую, что каждый класс идеалов содержит идеальную норму, меньшую, чем граница. В целом оценка недостаточно точна, чтобы сделать вычисления практичными для полей с большим дискриминантом, но компьютеры хорошо подходят для этой задачи.

Отображение колец целых чисел R в соответствующие им группы классов является функториальным, и группу классов можно отнести к алгебраической K-теории , где K ₀ ( R ) является функтором, сопоставляющим R его идеальную группу классов; точнее, K ₀ ( R ) = Z × C ( R ), где C ( R ) - группа классов. Высшие группы K также могут использоваться и интерпретироваться арифметически в связи с кольцами целых чисел.

Связь с группой единиц [ править ]

Выше было отмечено, что группа идеальных классов дает часть ответа на вопрос о том, насколько идеалы в дедекиндовской области ведут себя как элементы. Другая часть ответа обеспечивается мультипликативной группой из единиц в дедекиндове области, так как переход от главных идеалов к их генераторам требует использования единиц (и это все остальные причин введения понятия дробного идеала, так как Что ж):

Определите отображение из R ^× в множество всех ненулевых дробных идеалов R , отправив каждый элемент в главный (дробный) идеал, который он генерирует. Это гомоморфизм групп ; ее ядро представляет собой группу единиц R , а его коядро является идеальной группой классов R . Неспособность этих групп быть тривиальной - это мера того, что отображение не может быть изоморфизмом: то есть неспособность идеалов действовать как элементы кольца, то есть как числа.

Примеры идеальных групп классов [ править ]

• Кольца Z , Z [ω] и Z [ i ] , где ω - кубический корень из 1, а i - корень четвертой степени из 1 (т. Е. Квадратный корень из −1), являются областями главных идеалов (и фактически - все евклидовы области ), и поэтому имеют класс номер 1: то есть они имеют тривиальные группы классов идеалов.
• Если k - поле, то кольцо многочленов k [ X ₁ , X ₂ , X ₃ , ...] является областью целостности. У него есть счетное бесконечное множество идеальных классов.

Номера классов квадратичных полей [ править ]

Если d является бесквадратно целым числом (произведение различных простых чисел) , отличное от 1, то Q ( √ d ) представляет собой квадратичное расширение Q . Если d <0, то номер класса кольца R целых алгебраических чисел кольца Q ( √ d ) равен 1 точно для следующих значений d : d = −1, −2, −3, −7, −11 , −19, −43, −67 и −163. Этот результат был впервые высказан Гауссом и доказан Куртом Хегнером , хотя доказательству Хегнера не верили до Гарольда Старка.дал более позднее доказательство в 1967 г. (См. теорему Старка-Хегнера ). Это частный случай известной проблемы числа классов .

Если, с другой стороны, d > 0, то неизвестно, существует ли бесконечно много полей Q ( √ d ) с номером класса 1. Результаты вычислений показывают, что таких полей очень много. Однако неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей с номером класса 1. ^{[2] [3]}

Для г <0, идеальная группа классов Q ( √ г ) изоморфна группе классов интегральных бинарных квадратичных форм с дискриминантом , равным дискриминант Q ( √ г ). Для г > 0, идеальный класс группа может быть в два раза меньше , так как класс группа целочисленных бинарных квадратичных форм изоморфна узкой группы классов из Q ( √ г ). ^[4]

Для вещественных квадратичных целочисленных колец номер класса указан в OEIS A003649 ; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924 .

Пример нетривиальной группы классов [ править ]

Квадратичная целое кольцо R = Z [ √ -5 ] является кольцом целых чисел Q ( √ -5 ). Он не обладает уникальной факторизацией; на самом деле группа классов R циклическая порядка 2. Действительно, идеал

J = (2, 1 + √ −5 )

не является главным, что доказывается от противного. имеет нормальную функцию , которая удовлетворяет , и тогда и только тогда, когда является единицей в . Прежде всего, потому что фактор-кольцо по модулю идеала изоморфно , так что фактор-кольцо по модулю изоморфно . Если бы J был порожден элементом x из R , то x делил бы и 2, и 1 + √ −5 . Тогда норма делит оба и , поэтому N${\ displaystyle R}$${\ displaystyle N (a + b {\ sqrt {-5}}) = a ^ {2} + 5b ^ {2}}$${\ Displaystyle N (УФ) = N (u) N (v)}$${\ Displaystyle N (и) = 1}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle J \ neq R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-5}})}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 6 \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle J}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$${\ Displaystyle N (х)}$${\ Displaystyle N (2) = 4}$${\ Displaystyle N (1 + {\ sqrt {-5}}) = 6}$(x) делит 2. Если , то - единица, и противоречие. Но не может быть и 2, потому что R не имеет элементов нормы 2, потому что диофантово уравнение не имеет решений в целых числах, так как оно не имеет решений по модулю 5.${\ Displaystyle N (х) = 1}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle J = R}$${\ Displaystyle N (х)}$ ${\ displaystyle b ^ {2} + 5c ^ {2} = 2}$

Также вычисляется, что J ² = (2), что является главным, поэтому класс J в группе классов идеалов имеет второй порядок. Чтобы показать, что других идеальных классов нет, нужно приложить больше усилий.

Тот факт, что этот J не является главным, также связан с тем фактом, что элемент 6 имеет две различные факторизации в неприводимые:

6 = 2 × 3 = (1 + √ −5 ) × (1 - √ −5 ).

Связь с теорией поля классов [ править ]

Теория поля классов - это ветвь алгебраической теории чисел, которая стремится классифицировать все абелевы расширения данного поля алгебраических чисел, то есть расширения Галуа с абелевой группой Галуа . Особенно красивый пример можно найти в поле классов Гильберта числового поля, которое можно определить как максимальное неразветвленное абелево расширение такого поля. Поле классов Гильберта L числового поля K уникально и обладает следующими свойствами:

• Каждый идеал кольца целых чисел K становится главным в L , то есть, если я целый идеал из К , то образом I является главным идеалом в L .
• L является расширением Галуа K с группой Галуа , изоморфной идеальной группой классов K .

Ни одно из этих свойств не так легко доказать.

См. Также [ править ]

• Формула номера класса
• Проблема с номером класса
• Теорема Брауэра – Зигеля - асимптотическая формула для числа классов
• Список числовых полей с классом номер один
• Основная идеальная область
• Алгебраическая K-теория
• Теория Галуа
• Последняя теорема Ферма
• Узкая классная группа
• Группа Пикара - обобщение группы классов, появляющейся в алгебраической геометрии
• Классная группа Аракелова

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Claborn, Лютер (1966), "Каждая абелева группа является группой классов" , Pacific Journal математики , 18 : 219-222, DOI : 10,2140 / pjm.1966.18.219 , архивируются с оригинала на 2011-06-07
• Фрёлих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1993), алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования в области высшей математики, 27 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6, Руководство по ремонту  1215934
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту  1697859 . Zbl  0956.11021 .