Формулировка интеграла по путям

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Формулировка пути интеграла представляет собой описание в квантовой механике , что обобщает принцип действия по классической механике . Он заменяет классическое понятие единственной уникальной классической траектории для системы с суммой или функциональным интегралом по бесконечному количеству возможных квантово-механических траекторий для вычисления квантовой амплитуды .

Эта формулировка оказалась решающей для последующего развития теоретической физики , поскольку явную лоренцеву ковариацию (временные и пространственные компоненты величин входят в уравнения одинаковым образом) легче достичь, чем в операторном формализме канонического квантования . В отличие от предыдущих методов, интеграл по путям позволяет легко изменять координаты между очень разными каноническими описаниями одной и той же квантовой системы. Еще одно преимущество состоит в том, что на практике легче угадать правильный вид лагранжиана теории, который естественным образом входит в интегралы по путям (для взаимодействий определенного типа это координатное пространство илиИнтегралы по траекториям Фейнмана ), чем гамильтониан . Возможные недостатки подхода включают то, что унитарность (это связано с сохранением вероятности; вероятности всех физически возможных исходов должны составлять один) S-матрицы неясна в формулировке. Доказано, что подход интеграла по путям эквивалентен другим формализмам квантовой механики и квантовой теории поля. Таким образом, выводя один из подходов из другого, исчезают проблемы, связанные с тем или иным подходом (на примере лоренцевской ковариантности или унитарности). ^[1]

Интеграл по путям также связывает квантовые и стохастические процессы, и это послужило основой для грандиозного синтеза 1970-х годов, который объединил квантовую теорию поля со статистической теорией поля флуктуирующего поля вблизи фазового перехода второго рода . Уравнение Шредингера - это уравнение диффузии с мнимой постоянной диффузии, а интеграл по путям является аналитическим продолжением метода суммирования всех возможных случайных блужданий . ^[2]

Основная идея формулировки интеграла по путям восходит к Норберту Винеру , который ввел интеграл Винера для решения задач диффузии и броуновского движения . ^[3] Эта идея была распространена на использование лагранжиана в квантовой механике Полем Дираком в его статье 1933 года. ^{[4] [5]} Полный метод был разработан в 1948 году Ричардом Фейнманом . Некоторые предварительные сведения были разработаны ранее в его докторской работе под руководством Джона Арчибальда Уиллера . Первоначальная мотивация проистекала из желания получить квантово-механическую формулировку дляТеория поглотителя Уиллера – Фейнмана с использованием лагранжиана (а не гамильтониана ) в качестве отправной точки.

Принцип квантового действия [ править ]

В квантовой механике, как и в классической механике, гамильтониан является генератором переводов времени. Это означает, что состояние в несколько более позднее время отличается от состояния в текущий момент в результате действия с оператором Гамильтона (умноженным на отрицательную мнимую единицу , - i ). Для состояний с определенной энергией это утверждение отношения де Бройля между частотой и энергией, и общее соотношение согласуется с этим плюс принципом суперпозиции .

Гамильтониан в классической механике выводится из лагранжиана , который является более фундаментальной величиной по сравнению со специальной теорией относительности . Гамильтониан указывает, как двигаться вперед во времени, но время разное в разных системах отсчета . Лагранжиан - это скаляр Лоренца , а гамильтониан - это временная составляющая четырехвектора . Таким образом, гамильтониан отличается в разных системах отсчета, и этот тип симметрии не проявляется в исходной формулировке квантовой механики.

Гамильтониан является функцией положения и импульса в один момент времени, и он определяет положение и импульс немного позже. Лагранжиан является функцией текущего положения и положения несколько позже (или, что эквивалентно для бесконечно малых временных интервалов, он является функцией положения и скорости). Связь между ними осуществляется преобразованием Лежандра , а условие, определяющее классические уравнения движения ( уравнения Эйлера – Лагранжа ), заключается в том, что действие имеет экстремум.

В квантовой механике преобразование Лежандра трудно интерпретировать, потому что движение не идет по определенной траектории. В классической механике с дискретизацией по времени преобразование Лежандра принимает вид

${\ Displaystyle \ varepsilon Н = п (T) {\ big (} q (t + \ varepsilon) -q (t) {\ big)} - \ varepsilon L}$

и

${\ displaystyle p = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}}}},}$

где частная производная по отношению к имеет д ( т + ε ) фиксированы. Обратное преобразование Лежандра имеет вид${\ displaystyle {\ dot {q}}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon L = \ varepsilon p {\ dot {q}} - \ varepsilon H,}$

куда

${\ displaystyle {\ dot {q}} = {\ frac {\ partial H} {\ partial p}},}$

и частная производная теперь по p при фиксированном q .

В квантовой механике состояние представляет собой суперпозицию разных состояний с разными значениями q или разными значениями p , а величины p и q можно интерпретировать как некоммутирующие операторы. Оператор p определен только на состояниях, неопределенных относительно q . Итак, рассмотрим два состояния, разделенных во времени, и действуем с оператором, соответствующим лагранжиану:

${\ Displaystyle е ^ {я {\ большой [} п {\ большой (} q (т + \ varepsilon) -q (t) {\ big)} - \ varepsilon H (p, q) {\ big]}}. }$

Если умножения, неявные в этой формуле, интерпретируются как матричные умножения, первый множитель будет

${\ displaystyle e ^ {- ipq (t)},}$

и если это также интерпретируется как матричное умножение, сумма по всем состояниям интегрируется по всем q ( t ) , и поэтому требуется преобразование Фурье в q ( t ), чтобы изменить базис на p ( t ) . Это действие в гильбертовом пространстве - сменить базис на p в момент t .

Далее идет

${\ displaystyle e ^ {- я \ varepsilon H (p, q)},}$

или переместите бесконечно малое время в будущее .

Наконец, последний фактор в этой интерпретации -

${\ Displaystyle е ^ {ipq (т + \ varepsilon)},}$

что означает изменение базы обратно на q позже .

Это не сильно отличается от обычной временной эволюции: фактор H содержит всю динамическую информацию - он продвигает состояние вперед во времени. Первая и последняя часть - это просто преобразования Фурье для перехода к чистому базису q из промежуточного базиса p .

Другой способ сказать это: поскольку гамильтониан, естественно, является функцией p и q , возведение этой величины в степень и изменение базиса с p на q на каждом шаге позволяет выразить матричный элемент H как простую функцию на каждом пути. Эта функция является квантовым аналогом классического действия. Это наблюдение принадлежит Полю Дираку . ^[6]

Дирак также отметил, что оператор временной эволюции можно возвести в квадрат в S- представлении:

${\ displaystyle e ^ {я \ varepsilon S},}$

и это дает оператор временной эволюции между временем t и временем t + 2 ε . В то время как в H- представлении сумма, которая суммируется по промежуточным состояниям, является неясным матричным элементом, в S- представлении она интерпретируется как величина, связанная с путем. В пределе, когда этот оператор принимает большую степень, восстанавливается полная квантовая эволюция между двумя состояниями: раннее с фиксированным значением q (0), а второе - с фиксированным значением q ( t ).. Результатом является сумма по путям с фазой, которая является квантовым действием. Важно отметить, что в этой статье Дирак выявил глубокую квантово-механическую причину принципа наименьшего действия, контролирующего классический предел (см. Вставку для цитат).

Интерпретация Фейнмана [ править ]

Работа Дирака не давала точного рецепта для вычисления суммы по путям, и он не показал, что можно восстановить уравнение Шредингера или канонические коммутационные соотношения из этого правила. Это сделал Фейнман. ^{[nb 1]} То есть классический путь возникает естественным образом в классическом пределе.

Фейнман показал, что квантовое действие Дирака для большинства интересных случаев просто равно классическому действию, соответствующим образом дискретизированному. Это означает, что классическое действие - это фаза, полученная в результате квантовой эволюции между двумя фиксированными конечными точками. Он предложил восстановить всю квантовую механику из следующих постулатов:

1. Вероятности для события задается квадратом модуля комплексного числа называется «амплитуда вероятности».
2. Амплитуда вероятности задается путем суммирования вкладов всех путей в конфигурационном пространстве.
3. Вклад пути пропорционален е ^{iş / ħ} , где S представляет собой действие задается временной интеграл из лагранжиана вдоль пути.

Чтобы найти общую амплитуду вероятности для данного процесса, затем суммируют или интегрируют амплитуду 3-го постулата по пространству всех возможных путей системы между начальным и конечным состояниями, включая те, которые абсурдно по классическим меркам. При вычислении амплитуды вероятности перехода отдельной частицы от одной пространственно-временной координаты к другой правильно включать пути, по которым частица описывает сложные завитки , кривые, по которым частица вылетает в космическое пространство и снова летит обратно, и так далее. В пути интеграл правопреемники на все эти амплитуды равны вес , но с изменением фазы , или аргументкомплексное число . Вклады от путей, сильно отличающихся от классической траектории, могут подавляться интерференцией (см. Ниже).

Фейнман показал, что такая формулировка квантовой механики эквивалентна каноническому подходу к квантовой механике, когда гамильтониан не более чем квадратичен по импульсу. Амплитуда, вычисленная в соответствии с принципами Фейнмана, также будет подчиняться уравнению Шредингера для гамильтониана, соответствующего данному действию.

Формулировка интеграла по путям квантовой теории поля представляет амплитуду перехода (соответствующую классической корреляционной функции ) как взвешенную сумму всех возможных историй системы от начального до конечного состояния. Диаграмма Фейнмана представляет собой графическое представление пертурбативного вклада в амплитуду перехода.

Интеграл по путям в квантовой механике [ править ]

Вывод по времени [ править ]

Один из распространенных подходов к выводу формулы интеграла по путям - разделение временного интервала на небольшие части. Как только это будет сделано, формула произведения Троттера говорит нам, что некоммутативностью операторов кинетической и потенциальной энергии можно пренебречь.

Для частицы в гладком потенциале интеграл по путям аппроксимируется зигзагообразными траекториями, которые в одном измерении являются произведением обычных интегралов. Для движения частицы из положения x _a в момент времени t _a в x _b в момент времени t _b временная последовательность

${\ displaystyle t_ {a} = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {n-1} <t_ {n} <t_ {n + 1} = t_ {b}}$

можно разделить на n + 1 меньших сегментов t _j - t _{j - 1} , где j = 1, ..., n + 1 , фиксированной продолжительности

${\ displaystyle \ varepsilon = \ Delta t = {\ frac {t_ {b} -t_ {a}} {n + 1}}.}$

Этот процесс называется квантованием времени .

Приближение для интеграла по путям можно вычислить как пропорциональное

${\ displaystyle \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cdots \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ exp \ left ({\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {b}} L {\ big (} x (t), v (t) {\ big)} \, dt \ right) \, dx_ {0 } \, \ cdots \, dx_ {n},}$

где L ( x , v ) - лагранжиан одномерной системы с рассматриваемой переменной положения x ( t ) и скоростью v = ẋ ( t ) (см. ниже), а dx _j соответствует положению на j- м временном шаге , если интеграл по времени аппроксимирован суммой n членов. ^{[nb 2]}

В пределе п → ∞ , это становится функциональным интегралом , который, помимо несущественным фактора, непосредственно произведение вероятности амплитуд ⟨ х _б , т _б | х , т ⟩ (более точно, так как нужно работать с непрерывным спектром, соответствующие плотности) , чтобы найти квантовомеханическую частицу в т _в в начальном состоянии х и при т _б в конечном состоянии х _б .

Фактически L - классический лагранжиан рассматриваемой одномерной системы,

${\ displaystyle L (x, {\ dot {x}}) = TV = {\ frac {1} {2}} m | {\ dot {x}} | ^ {2} -V (x)}$

и упомянутый выше "зигзаг" соответствует появлению терминов

${\ displaystyle \ exp \ left ({\ frac {i} {\ hbar}} \ varepsilon \ sum _ {j = 1} ^ {n + 1} L \ left ({\ tilde {x}} _ {j}) , {\ frac {x_ {j} -x_ {j-1}} {\ varepsilon}}, j \ right) \ right)}$

в сумме Римана, аппроксимирующей интеграл по времени, которые, наконец, интегрируются по x ₁ до x _n с мерой интегрирования dx ₁ ... dx _n , x̃ _j - произвольное значение интервала, соответствующего j , например его центр,х _j + х _{j −1}/2.

Таким образом, в отличие от классической механики, вклад вносит не только стационарный путь, но и фактически все виртуальные пути между начальной и конечной точкой.

Формула интеграла по путям [ править ]

В терминах волновой функции в позиционном представлении формула интеграла по путям выглядит следующим образом:

${\ displaystyle \ psi (x, t) = {\ frac {1} {Z}} \ int _ {\ mathbf {x} (0) = x} {\ mathcal {D}} \ mathbf {x} \, e ^ {iS [\ mathbf {x}, {\ dot {\ mathbf {x}}}]} \ psi _ {0} (\ mathbf {x} (t)) \,}$

где означает интегрирование по всем путям с, а где - коэффициент нормализации. Вот действие, данное${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} (0) = x}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle S[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]=\int dt\,L(\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t))}$

Бесплатная частица [ править ]

Представление интеграла по путям дает квантовую амплитуду для перехода от точки x к точке y в виде интеграла по всем путям. Для действия свободной частицы (для простоты пусть m = 1 , ħ = 1 )

${\displaystyle S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,dt,}$

интеграл можно вычислить явно.

Для этого удобно начать без множителя i в экспоненте, так что большие отклонения подавляются малыми числами, а не сокращением колебательных вкладов. Амплитуда (или ядро) гласит:

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,dt\right)\,Dx.}$

Разбиение интеграла на временные отрезки:

${\displaystyle K(x,y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}\right)^{2}\varepsilon \right)\,Dx,}$

где Dx интерпретируется как конечный набор интегрирований для каждого целого числа, кратного ε . Каждый множитель в произведении является гауссовским как функция от x ( t + ε ) с центром в x ( t ) с дисперсией ε . Кратные интегралы представляют собой повторную свертку этого гауссова G _ε с его копиями в смежные моменты времени:

${\displaystyle K(x-y;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\cdots *G_{\varepsilon },}$

где количество витков Т/ε. Результат легко оценить, взяв преобразование Фурье обеих сторон, так что свертки становятся умножениями:

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{T/\varepsilon }.}$

Преобразование Фурье гауссова G - это еще один гауссиан обратной дисперсии:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{-{\frac {\varepsilon p^{2}}{2}}},}$

и результат

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)=e^{-{\frac {Tp^{2}}{2}}}.}$

Преобразование Фурье дает K , и оно снова является гауссовым с обратной дисперсией:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{2T}}}.}$

Константа пропорциональности на самом деле не определяется подходом с квантованием времени, определяется только соотношение значений для различных вариантов конечной точки. Константу пропорциональности следует выбирать так, чтобы гарантировать, что между каждыми двумя временными отрезками эволюция во времени является квантово-механически унитарной, но более понятный способ исправить нормализацию - это рассматривать интеграл по путям как описание случайного процесса.

Результат имеет вероятностную интерпретацию. Сумму по всем путям экспоненциального фактора можно рассматривать как сумму по каждому пути вероятности выбора этого пути. Вероятность - это произведение по каждому сегменту вероятности выбора этого сегмента, так что каждый сегмент выбирается вероятностно независимо. Тот факт, что ответом является гауссово линейное распространение во времени, является центральной предельной теоремой , которую можно интерпретировать как первую историческую оценку статистического интеграла по путям.

Вероятностная интерпретация дает естественный выбор нормализации. Интеграл по путям следует определять так, чтобы

${\displaystyle \int K(x-y;T)\,dy=1.}$

Это условие нормализует гауссиану и дает ядро, которое подчиняется уравнению диффузии:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

Для осциллирующих интегралов по траекториям, имеющих в числителе i , квантование времени дает свернутые гауссианы, как и раньше. Однако теперь свертка является незначительно сингулярной, поскольку требует точных ограничений для вычисления осциллирующих интегралов. Чтобы факторы были хорошо определены, проще всего добавить небольшую мнимую часть к приращению времени ε . Это тесно связано с вращением Вика . Затем тот же аргумент свертки, что и раньше, дает ядро ​​распространения:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2T}},}$

которое с той же нормализацией, что и раньше (не нормализация на сумму квадратов - эта функция имеет расходящуюся норму), подчиняется свободному уравнению Шредингера:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)=i{\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

Это означает, что любая суперпозиция K s также будет подчиняться тому же уравнению по линейности. Определение

${\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t)\,dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}\,Dx,}$

тогда ψ _t подчиняется свободному уравнению Шредингера так же, как K :

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\psi _{t}.}$

Простой гармонический осциллятор [ править ]

Лагранжиан для простого гармонического осциллятора равен ^[7]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$

Запишем его траекторию x ( t ) как классическую траекторию плюс некоторое возмущение, x ( t ) = x _c ( t ) + δx ( t ) и действие как S = S _c + δS . Классическую траекторию можно записать как

${\displaystyle x_{\text{c}}(t)=x_{i}{\frac {\sin \omega (t_{f}-t)}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}+x_{f}{\frac {\sin \omega (t-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}.}$

Эта траектория дает классическое действие

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{c}}&=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\,dt=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{2}}m\omega \left({\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega (t_{f}-t_{i})-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}\right)~.\end{aligned}}}$

Затем разложите отклонение от классического пути в ряд Фурье и вычислите вклад в действие δS , которое дает

${\displaystyle S=S_{\text{c}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right).}$

Это означает, что пропагатор

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int da_{j}\exp {\left({\frac {i}{2\hbar }}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right)}\\[6pt]&=e^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}Q\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

для некоторой нормализации

${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}~.}$

Используя представление функции sinc в виде бесконечного произведения ,

${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$

пропагатор можно записать как

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}=e^{\frac {iS_{c}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}.}$

Пусть T = t _f - t _i . Этот пропагатор в терминах собственных состояний энергии можно записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega T}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}{\tfrac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega T-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega T}}\right)}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})\psi _{n}(x_{i})^{*}~.\end{aligned}}}$

Используя тождества i sin ωT =1/2e ^iωT (1 - e ^{−2 iωT} ) и cos ωT =1/2e ^iωT (1 + e ^{−2 iωT} ) , это составляет

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\exp {\left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(\left(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}\right){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right)\right)}.}$

Можно поглотить все члены после первого e ^{- iωT / 2} в R ( T ) , получив, таким образом,

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\cdot R(T).}$

Наконец, можно разложить R ( T ) по степеням e ^{- iωT} : все члены в этом разложении умножаются на множитель e ^{- iωT / 2} спереди, давая члены вида

${\displaystyle e^{\frac {-i\omega T}{2}}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T\left({\frac {1}{2}}+n\right)}\quad {\text{for }}n=0,1,2,\ldots .}$

Сравнение с приведенным выше разложением по собственным состояниям дает стандартный энергетический спектр для простого гармонического осциллятора,

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega ~.}$

Кулоновский потенциал [ править ]

Однако приближение Фейнмана с временным интервалом не существует для наиболее важных квантово-механических интегралов по траекториям атомов из-за сингулярности кулоновского потенциала e ²/рв происхождении. Только после замены времени t другим параметром псевдовремени, зависящим от пути

${\displaystyle s=\int {\frac {dt}{r(t)}}}$

сингулярность удаляется, и существует аппроксимация с временным разрезом, которая является точно интегрируемой, поскольку ее можно сделать гармонической с помощью простого преобразования координат, как было обнаружено в 1979 году Исмаилом Хакки Дуру и Хагеном Кляйнертом . ^[8] Комбинация преобразования времени, зависящего от траектории, и преобразования координат является важным инструментом для решения многих интегралов по траекториям и обычно называется преобразованием Дуру-Клейнерта .

Уравнение Шредингера [ править ]

Интеграл по путям воспроизводит уравнение Шредингера для начального и конечного состояния даже при наличии потенциала. Это легче всего увидеть, взяв интеграл по путям за бесконечно малые промежутки времени.

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}e^{i\int _{t}^{t+\varepsilon }{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x){\bigr )}dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

Поскольку временное разделение бесконечно мало , а подавляющие колебания становятся серьезными для больших значений ẋ , интеграл по путям имеет наибольший вес для y, близкого к x . В этом случае до низшего порядка потенциальная энергия постоянна, и только вклад кинетической энергии нетривиален. (Это разделение членов кинетической и потенциальной энергии в показателе экспоненты по сути является формулой произведения Троттера .) Показатель действия равен

${\displaystyle e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\varepsilon }}$

Первый член поворачивает фазу ψ ( x ) локально на величину, пропорциональную потенциальной энергии. Второй член - это пропагатор свободных частиц, соответствующий i раз процессу диффузии. До самого низкого порядка по ε они аддитивны; в любом случае с (1):

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\varepsilon }}\,dx\,.}$

Как уже упоминалось, разброс ψ является диффузным из-за распространения свободных частиц с дополнительным бесконечно малым вращением по фазе, которое медленно изменяется от точки к точке в зависимости от потенциала:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi \,}$

и это уравнение Шредингера. Нормировку интеграла по путям необходимо зафиксировать точно так же, как и в случае свободных частиц. Произвольный непрерывный потенциал не влияет на нормализацию, хотя сингулярные потенциалы требуют осторожного обращения.

Уравнения движения [ править ]

Поскольку состояния подчиняются уравнению Шредингера, интеграл по путям должен воспроизводить уравнения движения Гейзенберга для средних значений переменных x и , но поучительно увидеть это напрямую. Прямой подход показывает, что математические ожидания, вычисленные с помощью интеграла по путям, воспроизводят обычные значения квантовой механики.

Начнем с рассмотрения интеграла по путям с некоторым фиксированным начальным состоянием

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{iS(x,{\dot {x}})}\,Dx\,}$

Теперь x ( t ) в каждый отдельный момент времени является отдельной переменной интегрирования. Таким образом, можно изменить переменные в интеграле путем сдвига: x ( t ) = u ( t ) + ε ( t ), где ε ( t ) - это другой сдвиг в каждый момент времени, но ε (0) = ε ( T ) = 0 , поскольку конечные точки не интегрированы:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{iS(u+\varepsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\varepsilon }})}\,Du\,}$

Изменение интеграла от сдвига до первого бесконечно малого порядка по ε :

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\frac {\partial S}{\partial u}}\varepsilon +{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}{\dot {\varepsilon }}\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

что при интегрировании по частям по t дает:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}-{\frac {\partial S}{\partial u}}\right)\varepsilon (t)\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

Но это был просто сдвиг переменных интегрирования, который не меняет значения интеграла при любом выборе ε ( t ) . Вывод состоит в том, что это изменение первого порядка равно нулю для произвольного начального состояния и в любой произвольный момент времени:

${\displaystyle \left\langle \psi _{0}\left|{\frac {\delta S}{\delta x}}(t)\right|\psi _{0}\right\rangle =0}$

это уравнение движения Гейзенберга.

Если действие содержит термины , которые многократно х и х , в тот же момент времени, манипуляции выше являются только эвристическими, потому что правила умножения для этих величин как некоммутирующие в интеграле пути , как в операторном формализме.

Приближение стационарной фазы [ править ]

Если изменение в действии превышает ħ на много порядков величины, мы обычно имеем деструктивную интерференцию, кроме в непосредственной близости от этих траекторий , удовлетворяющих уравнение Эйлера-Лагранж , которая в настоящее время переосмысленное в качестве условия для конструктивного вмешательства. Это можно показать с помощью метода стационарной фазы, примененного к пропагатору. При уменьшении ħ экспонента в интеграле быстро осциллирует в комплексной области при любом изменении действия. Таким образом, в пределе, когда ħ стремится к нулю, только точки, в которых классическое действие не меняется, вносят вклад в пропагатор.

Канонические коммутационные соотношения [ править ]

Формулировка интеграла по путям с первого взгляда не дает понять, что величины x и p не коммутируют. В интеграле по путям это просто переменные интегрирования, и они не имеют очевидного порядка. Фейнман обнаружил, что некоммутативность все еще присутствует. ^[9]

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим простейший интеграл по путям - броуновское блуждание. Это еще не квантовая механика, поэтому в интеграле по путям действие не умножается на i :

${\displaystyle S=\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\,dt}$

Величина x ( t ) колеблется, а производная определяется как предел дискретной разности.

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

Расстояние, которое проходит случайное блуждание, пропорционально √ t , так что:

${\displaystyle x(t+\varepsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\varepsilon }}}$

Это показывает, что случайное блуждание не дифференцируемо, поскольку отношение, определяющее производную, расходится с вероятностью единица.

Величина xẋ неоднозначна, имеет два возможных значения:

${\displaystyle [1]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle [2]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t+\varepsilon ){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

В элементарном исчислении эти два значения различаются только величиной, которая стремится к 0, когда ε становится равным 0. Но в этом случае разница между ними не равна 0:

${\displaystyle [2]-[1]={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon }}}$

Позволять

${\displaystyle f(t)={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}}$

Тогда f ( t ) - это быстро флуктуирующая статистическая величина, среднее значение которой равно 1, то есть нормализованный «гауссовский процесс». Колебания такой величины можно описать статистическим лагранжианом

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,}$

а уравнения движения для f, полученные в результате экстремизации действия S, соответствующего L, просто устанавливают его равным 1. В физике такая величина «равна 1 как операторное тождество». В математике он «слабо сходится к 1». В любом случае он равен 1 для любого ожидаемого значения, или при усреднении по любому интервалу, или для всех практических целей.

Определение порядка времени , чтобы быть порядок оператора:

${\displaystyle [x,{\dot {x}}]=x{\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}x=1}$

Это называется леммой Ито в стохастическом исчислении и (евклидовыми) каноническими коммутационными соотношениями в физике.

Для общего статистического действия аналогичный аргумент показывает, что

${\displaystyle \left[x,{\frac {\partial S}{\partial {\dot {x}}}}\right]=1}$

и в квантовой механике дополнительная мнимая единица действия преобразует это в каноническое коммутационное соотношение,

${\displaystyle [x,p]=i}$

Частица в искривленном пространстве [ править ]

Для частицы в искривленном пространстве кинетический член зависит от положения, и вышеупомянутый временной интервал не может быть применен, что является проявлением печально известной проблемы упорядочения операторов в квантовой механике Шредингера. Однако можно решить эту проблему, преобразовав временной интеграл по траекториям плоского пространства в искривленное пространство с помощью многозначного преобразования координат ( неголономное отображение объясняется здесь ).

Факторы теории меры [ править ]

Иногда (например, частица, движущаяся в искривленном пространстве) в функциональный интеграл также входят факторы теории меры:

${\displaystyle \int \mu [x]e^{iS[x]}\,{\mathcal {D}}x.}$

Этот фактор нужен для восстановления унитарности.

Например, если

${\displaystyle S=\int \left({\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right)\,dt,}$

тогда это означает, что каждый пространственный слой умножается на меру √ g . Эта мера не может быть выражена как функциональное умножение меры D x, потому что они принадлежат к совершенно разным классам.

Ожидаемые значения и элементы матрицы [ править ]

Такие матричные элементы имеют вид${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t')}F({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t')}|x_{i}\rangle }$

${\displaystyle \int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F(x(t'))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$.

Это обобщается на несколько операторов, например

${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{1})}F_{1}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{1}-t_{2})}F_{2}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{2})}|x_{i}\rangle =\int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F_{1}(x(t_{1}))F_{2}(x(t_{2}))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$,

и к общему математическому ожиданию

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}[\phi ]F(\phi )e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}[\phi ]e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}}}$.

Евклидовы интегралы по путям [ править ]

В интегралах по траекториям очень часто выполняется вращение Вика от реального времени к мнимому. В контексте квантовой теории поля вращение Вика изменяет геометрию пространства-времени с лоренцевой на евклидову; в результате интегралы по траекториям с поворотом Вика часто называют евклидовыми интегралами по траекториям.

Вращение Вика и формула Фейнмана – Каца [ править ]

Если мы заменим на , оператор временной эволюции будет заменен на . (Это изменение известно как вращение Вика .) Если мы повторим вывод формулы интеграла по путям в этом случае, мы получим ^[10]${\displaystyle t}$${\displaystyle -it}$${\displaystyle e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$${\displaystyle e^{-t{\hat {H}}/\hbar }}$

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}e^{-S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})/\hbar }\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$,

где - евклидово действие, задаваемое формулой${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }}$

${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})=\int \left[{\frac {m}{2}}|{\dot {\mathbf {x} }}(t)|^{2}+V(\mathbf {x} (t))\right]\,dt}$.

Обратите внимание на изменение знака между этим и нормальным действием, когда член потенциальной энергии отрицательный. (Термин евклидово взят из контекста квантовой теории поля, где переход от реального к мнимому времени изменяет геометрию пространства-времени с лоренцевой на евклидову.)

Теперь вклад кинетической энергии в интеграл по путям выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}f(\mathbf {x} )e^{-{\frac {m}{2}}\int |{\dot {\mathbf {x} }}|^{2}dt}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$

где включает всю оставшуюся зависимость подынтегрального выражения от пути. Этот интеграл имеет строгую математическую интерпретацию как интегрирование относительно меры Винера , обозначенной . Мера Винера, построенная Норбертом Винером, дает строгое обоснование математической модели броуновского движения Эйнштейна . Нижний индекс указывает, что мера поддерживается на путях с .${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mu _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu _{x}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$

Тогда у нас есть строгая версия интеграла по путям Фейнмана, известная как формула Фейнмана – Каца : ^[11]

${\displaystyle \psi (x,t)=\int e^{-\int V(\mathbf {x} (t)\,dt/\hbar }\,\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,d\mu _{x}(\mathbf {x} )}$,

где теперь удовлетворяет повернутой по Вику версии уравнения Шредингера,${\displaystyle \psi (x,t)}$

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\hat {H}}\psi (x,t)}$.

Хотя уравнение Шредингера с вращением Вика не имеет прямого физического смысла, интересные свойства оператора Шредингера могут быть извлечены путем его изучения. ^[12]${\displaystyle {\hat {H}}}$

Большая часть исследований квантовых теорий поля с точки зрения интеграла по путям, как в математической, так и в физической литературе, проводится в евклидовой обстановке, то есть после вращения Вика. В частности, есть различные результаты, показывающие, что, если можно построить евклидову теорию поля с подходящими свойствами, можно отменить вращение Вика, чтобы восстановить физическую, лоренцеву теорию. ^[13] С другой стороны, гораздо труднее придать смысл интегралам по путям (даже евклидовым интегралам по траекториям) в квантовой теории поля, чем в квантовой механике. ^[14]

Интеграл по путям и статистическая сумма [ править ]

Интеграл по путям - это просто обобщение указанного выше интеграла на все квантово-механические задачи:

${\displaystyle Z=\int e^{\frac {i{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]}{\hbar }}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \quad {\text{where }}{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]=\int _{0}^{T}L[\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t)]\,dt}$

- это действие классической задачи, в которой исследуется путь, начинающийся в момент времени t = 0 и заканчивающийся в момент времени t = T , и обозначает интегрирование по всем путям. В классическом пределе путь минимального действия доминирует над интегралом, потому что фаза любого пути от него быстро флуктуирует, и различные вклады сокращаются. ^[15]${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]\gg \hbar }$

Связь со статистической механикой следует. Рассматривая только пути, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же конфигурации, выполните вращение фитиля it = τ , то есть сделайте время воображаемым и интегрируйте по всем возможным конфигурациям начала и конца. Интеграл по траекториям с вращением Вика, описанный в предыдущем подразделе, где обычное действие заменено его «евклидовым» аналогом, теперь напоминает статистическую сумму статистической механики, определенную в каноническом ансамбле с обратной температурой, пропорциональной мнимому времени,1/Т знак равно k _B τ/час. Однако, строго говоря, это статистическая сумма статистической теории поля .

Ясно, что такая глубокая аналогия между квантовой механикой и статистической механикой не может зависеть от формулировки. В канонической формулировке видно, что унитарный оператор эволюции состояния задается выражением

${\displaystyle |\alpha ;t\rangle =e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}|\alpha ;0\rangle }$

где состояние α эволюционирует с момента t = 0 . Если сделать здесь вращение по фитилю и найти амплитуду перехода из любого состояния обратно в то же состояние за (мнимое) время, iT определяется как

${\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \left[e^{\frac {-HT}{\hbar }}\right]}$

что и есть статистическая сумма статистической механики для той же системы при температуре, указанная ранее. Один аспект этой эквивалентности был также известен Эрвину Шредингеру, который заметил, что уравнение, названное в его честь, выглядело как уравнение диффузии после вращения Вика. Заметим, однако, что евклидов интеграл по путям на самом деле имеет форму классической модели статистической механики.

Квантовая теория поля [ править ]

Оба подхода Шредингера и Гейзенберга к квантовой механике выделяют время и не соответствуют духу теории относительности. Например, подход Гейзенберга требует, чтобы операторы скалярного поля подчинялись коммутационному соотношению

${\displaystyle [\varphi (x),\partial _{t}\varphi (y)]=i\delta ^{3}(x-y)}$

для двух одновременных пространственных положений x и y , и это не релятивистски инвариантное понятие. Результаты расчета являются ковариантными, но симметрия не проявляется в промежуточном стадии. Если бы наивные теоретико-полевые расчеты не давали бесконечных ответов в континуальном пределе, это не было бы такой большой проблемой - это был бы просто неправильный выбор координат. Но отсутствие симметрии означает, что бесконечные величины должны быть отрезаны, а плохие координаты делают практически невозможным отрезание теории без нарушения симметрии. Это затрудняет получение физических предсказаний, которые требуют тщательной процедуры ограничения .

Проблема утраченной симметрии также возникает в классической механике, где гамильтонова формулировка также поверхностно выделяет время. Лагранжева формулировка делает очевидной релятивистскую инвариантность. Точно так же интеграл по путям явно релятивистский. Он воспроизводит уравнение Шредингера, уравнения движения Гейзенберга и канонические коммутационные соотношения и показывает, что они совместимы с теорией относительности. Он расширяет операторную алгебру типа Гейзенберга до правил произведения операторов , которые представляют собой новые отношения, которые трудно увидеть в старом формализме.

Кроме того, разный выбор канонических переменных приводит к очень разным формулировкам одной и той же теории. Преобразования между переменными могут быть очень сложными, но интеграл по путям превращает их в достаточно простые изменения переменных интегрирования. По этим причинам интеграл по путям Фейнмана сделал более ранние формализмы в значительной степени устаревшими.

Цена представления интеграла по путям состоит в том, что унитарность теории больше не является самоочевидной, но ее можно доказать, заменив переменные на некоторое каноническое представление. Сам интеграл по путям также имеет дело с более крупными математическими пространствами, чем обычно, что требует более тщательной математики, не все из которых были полностью разработаны. Исторически сложилось так, что интеграл по путям не был принят сразу, отчасти потому, что на правильное включение фермионов ушло много лет. Это потребовало от физиков изобрести совершенно новый математический объект - переменную Грассмана, - который также позволял изменять переменные естественным образом, а также допускал ограниченное квантование .

Переменные интегрирования в интеграле по путям слегка не коммутируют. Значение произведения двух операторов поля в том, что выглядит как одна и та же точка, зависит от того, как эти две точки упорядочены в пространстве и времени. Это приводит к тому, что некоторые наивные идентичности терпят неудачу .

Распространитель [ править ]

В релятивистских теориях для каждой теории есть как частица, так и поле. Представление поля - это сумма по всем конфигурациям поля, а представление частицы - это сумма по различным траекториям частиц.

Нерелятивистская формулировка традиционно дается в терминах траекторий частиц, а не полей. Там интеграл по путям в обычных переменных с фиксированными граничными условиями дает амплитуду вероятности перехода частицы из точки x в точку y за время T :

${\displaystyle K(x,y;T)=\langle y;T\mid x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}\,Dx.}$

Это называется пропагатором . Наложение различных значений начальной позиции x с произвольным начальным состоянием ψ ₀ ( x ) создает конечное состояние:

${\displaystyle \psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)\,dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}\,Dx.}$

Для пространственно однородной системы, где K ( x , y ) является только функцией ( x - y ) , интеграл представляет собой свертку , а конечное состояние - это начальное состояние, свернутое с пропагатором:

${\displaystyle \psi _{T}=\psi _{0}*K(;T).}$

Для свободной частицы массы m пропагатор может быть вычислен либо явно из интеграла по путям, либо с учетом того, что уравнение Шредингера является уравнением диффузии в мнимом времени, и решение должно быть нормализованным гауссовым:

${\displaystyle K(x,y;T)\propto e^{\frac {im(x-y)^{2}}{2T}}.}$

Взятие преобразования Фурье в ( x - y ) дает еще один гауссиан:

${\displaystyle K(p;T)=e^{\frac {iTp^{2}}{2m}},}$

а в p- пространстве коэффициент пропорциональности здесь постоянен во времени, что мы сейчас проверим. Преобразование Фурье по времени, расширяющее K ( p ; T ) до нуля для отрицательных времен, дает функцию Грина или пропагатор частотного пространства:

${\displaystyle G_{\text{F}}(p,E)={\frac {-i}{E-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }},}$

который является обратным оператору, аннулирующему волновую функцию в уравнении Шредингера, которое не получилось бы правильным, если бы коэффициент пропорциональности не был постоянным в представлении p- пространства.

Бесконечно малый член в знаменателе - это небольшое положительное число, которое гарантирует, что обратное преобразование Фурье в E будет отличным от нуля только в будущем. В прошлые времена контур обратного преобразования Фурье замыкается в направлении значений E, где нет сингулярности. Это гарантирует , что K распространяется на частицу в будущем и является причиной подстрочный «F» на G . Бесконечно малый член можно интерпретировать как бесконечно малое вращение к мнимому времени.

Также возможно повторно выразить нерелятивистскую эволюцию во времени в терминах пропагаторов, идущих в прошлое, поскольку уравнение Шредингера обратимо во времени. Прошлый распространитель такой же , как в будущем пропагаторе для очевидной разницы , что она исчезает в будущем , за исключением, и в гауссовском т заменяется - т . В этом случае интерпретация заключается в том, что это величины, которые сворачивают окончательную волновую функцию, чтобы получить начальную волновую функцию:

${\displaystyle G_{\text{B}}(p,E)={\frac {-i}{-E-{\frac {i{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }}.}$

Учитывая почти идентичное изменение только знака E и ε , параметр E в функции Грина может быть либо энергией, если пути идут в будущее, либо отрицательной величиной энергии, если пути идут в прошлое.

Для нерелятивистской теории время, измеренное на пути движущейся частицы, и время, измеренное сторонним наблюдателем, одинаковы. В теории относительности это уже неверно. Для релятивистской теории пропагатор должен быть определен как сумма всех путей, которые проходят между двумя точками за фиксированное собственное время, измеренное вдоль пути (эти пути описывают траекторию частицы в пространстве и во времени):

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T} }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}}}-\alpha \,d\tau }.}$

Приведенный выше интеграл нетривиально интерпретировать из-за квадратного корня. К счастью, есть эвристический трюк. Сумма находится по релятивистской длине дуги пути колеблющейся величины, и, как и нерелятивистский интеграл по путям, следует интерпретировать как слегка повернутый в мнимое время. Функция K ( x - y , τ ) может быть вычислена, когда сумма идет по путям в евклидовом пространстве:

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{-L}.}$

Это описывает сумму по всем путям длины Τ экспоненты минус длина. Этому можно дать вероятностную интерпретацию. Сумма по всем путям - это средняя вероятность по пути, построенному шаг за шагом. Общее количество шагов пропорционально Т , и каждый шаг, менее вероятно , тем дольше он. К центральной предельной теореме , результат многих самостоятельных шагов является гауссовским дисперсионным пропорциональным Т :

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}}.}$

Обычное определение релятивистского пропагатора требует, чтобы амплитуда перемещалась от x до y после суммирования всех возможных подходящих времен, которые это могло пройти:

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }K(x-y,\mathrm {T} )W(\mathrm {T} )\,d\mathrm {T} ,}$

где W (Τ) - весовой коэффициент, относительная важность путей разного собственного времени. Благодаря трансляционной симметрии в собственное время этот вес может быть только экспоненциальным множителем и может быть поглощен константой α :

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}-\alpha \mathrm {T} }\,d\mathrm {T} .}$

Это представление Швингера . Сделав преобразование Фурье по переменной ( х - у ) может быть сделано для каждого значения Т по отдельности, а потому , что каждый отдельный Τ вклад является гауссовским, дает преобразование Фурье которой является еще одним гауссовым с обратной шириной. Итак, в p- пространстве пропагатор можно просто перевыразить:

${\displaystyle K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }\,d\mathrm {T} ={\frac {1}{p^{2}+\alpha }},}$

который является евклидовым пропагатором для скалярной частицы. Вращение p ₀ как мнимого дает обычный релятивистский пропагатор с точностью до - i и неоднозначность, которая будет разъяснена ниже:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}.}$

Это выражение можно интерпретировать в нерелятивистском пределе, где его удобно разбить на частичные дроби :

${\displaystyle 2p_{0}K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}+{\frac {i}{p_{0}+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}.}$

Для состояний, в которых присутствует одна нерелятивистская частица, исходная волновая функция имеет частотное распределение, сосредоточенное около p ₀ = m . При свертке с пропагатором, что в пространстве p просто означает умножение на пропагатор, второй член подавляется, а первый член усиливается. Для частот вблизи p ₀ = m доминирующий первый член имеет вид

${\displaystyle 2mK_{\text{NR}}(p)={\frac {i}{(p_{0}-m)-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}}}.}$

Это выражение для нерелятивистской функции Грина свободной частицы Шредингера.

Второй член также имеет нерелятивистский предел, но этот предел сосредоточен на отрицательных частотах. Во втором полюсе преобладают вклады от траекторий, где собственное время и координатное время идут в противоположном смысле, что означает, что второй член следует интерпретировать как античастица. Нерелятивистский анализ показывает, что в этой форме античастица все еще имеет положительную энергию.

Правильный способ выразить это математически: при добавлении небольшого коэффициента подавления в собственное время предел, при котором t → −∞ первого члена, должен исчезнуть, а предел t → + ∞ второго члена должен исчезнуть. В преобразовании Фурье это означает небольшой сдвиг полюса в p ₀ , так что обратное преобразование Фурье будет улавливать небольшой коэффициент затухания в одном из направлений времени:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\varepsilon }}+{\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\varepsilon }}.}$

Без этих членов нельзя было бы однозначно оценить полюсный вклад при выполнении обратного преобразования Фурье для p ₀ . Термины можно перекомбинировать:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }},}$

который при факторизации дает бесконечно малые члены противоположного знака в каждом множителе. Это математически точная форма пропагатора релятивистских частиц, лишенная каких-либо двусмысленностей. В & epsi термин представляет малую мнимая часть к & alpha ; = м ² , который в варианте Минковского является небольшим экспоненциальным подавлением длинных путей.

Таким образом, в релятивистском случае представление пропагатора в виде интеграла по путям Фейнмана включает в себя пути, идущие назад во времени, которые описывают античастицы. Пути, которые вносят вклад в релятивистский пропагатор, идут вперед и назад во времени, и интерпретация этого заключается в том, что амплитуда для свободной частицы, перемещающейся между двумя точками, включает в себя амплитуды для частицы, которая флуктуирует в античастицу, перемещается назад во времени, а затем снова вперед.

В отличие от нерелятивистского случая, релятивистскую теорию локального распространения частиц невозможно построить без включения античастиц. Все локальные дифференциальные операторы имеют инверсии, отличные от нуля вне светового конуса, а это означает, что невозможно удержать частицу от движения со скоростью, превышающей скорость света. Такая частица не может иметь функцию Грина, которая будет отличаться от нуля только в будущем в релятивистски инвариантной теории.

Функционалы полей [ править ]

Однако формулировка интеграла по путям также чрезвычайно важна в прямом приложении к квантовой теории поля, в которой рассматриваемые «траектории» или истории являются не движениями отдельной частицы, а возможными временными эволюциями поля во всем пространстве. Технически действие называется функционалом поля: S [ ϕ ] , где поле ϕ ( x ^μ ) само является функцией пространства и времени, а квадратные скобки напоминают, что действие зависит от всех параметров поля. ценности везде, а не только какую-то конкретную ценность. Одна такая заданная функция ϕ (х ^μ ) из пространства - времени , называется конфигурация поля . В принципе, интегрируют амплитуду Фейнмана по классу всех возможных конфигураций поля.

Большая часть формального изучения КТП посвящена свойствам получаемого функционального интеграла, и было приложено много усилий (пока не совсем успешных) для того, чтобы сделать эти функциональные интегралы математически точными.

Такой функциональный интеграл очень похож на статсумму в статистической механике . Действительно, иногда называют статсуммой , и два, по существу , математически идентичны для фактора , кроме I в показателе в постулате Фейнман 3. Аналитический продолжая интеграл к мнимому переменному времени ( так называемому поворотом Wick ) делаешь функциональный интеграл даже больше похоже на статистическую статистическую сумму, а также устраняет некоторые математические трудности работы с этими интегралами.

Ожидаемые значения [ править ]

В квантовой теории поля , если действие определяется функциональной S полевых конфигураций (который зависит только локально на полях), то время упорядоченные вакуумное среднее из полиномиально ограниченного функционала F , ⟨ F ⟩ , задаются

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}}.}$

Символ ∫ D ϕ здесь представляет собой краткий способ представить бесконечномерный интеграл по всем возможным конфигурациям поля во всем пространстве-времени. Как указано выше, простой интеграл по путям в знаменателе обеспечивает правильную нормализацию.

Как вероятность [ править ]

Строго говоря, единственный вопрос, который можно задать в физике: какая доля состояний, удовлетворяющих условию A, также удовлетворяет условию B ? Ответом на это будет число от 0 до 1, которое можно интерпретировать как условную вероятность , записанную как P ( B | A ) . В терминах интегрирования по путям, поскольку P ( B | A ) =P ( A ∩ B ) / P ( А ), это означает

${\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A)={\frac {\sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}{\sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}},}$

где функционал O _в [ ϕ ] - это суперпозиция всех входящих состояний, которые могут привести к состояниям, которые нас интересуют. В частности, это может быть состояние, соответствующее состоянию Вселенной сразу после Большого взрыва , хотя на самом деле Расчет этого можно упростить с помощью эвристических методов. Поскольку это выражение является частным интегралов по путям, оно естественно нормализуется.

Уравнения Швингера – Дайсона [ править ]

Поскольку эта формулировка квантовой механики аналогична классическому принципу действия, можно ожидать, что тождества, касающиеся действия в классической механике, будут иметь квантовые аналоги, выводимые из функционального интеграла. Так бывает часто.

На языке функционального анализа уравнения Эйлера – Лагранжа можно записать в виде

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}=0}$

(левая часть - функциональная производная ; уравнение означает, что действие стационарно при небольших изменениях конфигурации поля). Квантовые аналоги этих уравнений называются уравнениями Швингера – Дайсона .

Если функциональная мера D ϕ оказывается трансляционно-инвариантной (мы будем предполагать это до конца статьи, хотя это не так, скажем, для нелинейных сигма-моделей ), и если мы предположим, что после вращения Вика

${\displaystyle e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]},}$

который теперь становится

${\displaystyle e^{-H[\varphi ]}}$

для некоторого H он стремится к нулю быстрее, чем обратная величина любого полинома для больших значений φ , тогда мы можем интегрировать по частям (после вращения Вика, а затем обратного вращения Вика), чтобы получить следующие уравнения Швингера-Дайсона для ожидание:

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta F[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\varphi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle }$

для любого полиномиально-ограниченного функционала F . В обозначениях ДеВитта это выглядит так ^[16]

${\displaystyle \left\langle F_{,i}\right\rangle =-i\left\langle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle .}$

Эти уравнения являются аналогом уравнений ЭЛ на оболочке . Упорядочение по времени берется перед производными по времени внутри S _{, i} .

Если J (называемый исходным полем ) является элементом дуального пространства конфигураций полей (которое имеет по крайней мере аффинную структуру из-за предположения о трансляционной инвариантности функциональной меры), то производящий функционал Z исходных полей это определяется как

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}.}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,\left\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\right\rangle _{J},}$

или же

${\displaystyle Z^{,i_{1}\cdots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]\left\langle \varphi ^{i_{1}}\cdots \varphi ^{i_{n}}\right\rangle _{J},}$

куда

${\displaystyle \langle F\rangle _{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}}.}$

По сути, если D φ e ^{i S [ φ ]} рассматривается как функциональное распределение (это не следует воспринимать слишком буквально как интерпретацию QFT , в отличие от ее аналога статистической механики с вращением Вика , потому что здесь возникают сложности с упорядочением времени !) , то ⟨ ф ( х ₁ ) ... ф ( х _п )⟩ являются его моментами , и Z является его преобразование Фурье .

Если Р есть функционал ф , то для оператора К , Р [ К ] определяется как оператор , который заменяет K для ф . Например, если

${\displaystyle F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n}),}$

и G функционал от J , то

${\displaystyle F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].}$

Тогда из свойств функциональных интегралов

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}[\varphi ]+J(x)\right\rangle _{J}=0}$

мы получаем «основное» уравнение Швингера – Дайсона:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0,}$

или же

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{,i}[-i\partial ]Z+J_{i}Z=0.}$

Если функциональная мера не является трансляционно-инвариантной, ее можно было бы выразить как произведение M [ φ ] D φ , где M - функционал, а D φ - трансляционно-инвариантная мера. Это верно, например, для нелинейных сигма-моделей, где целевое пространство диффеоморфно R ⁿ . Однако, если целевое многообразие является топологически нетривиальным пространством, понятие сдвига даже не имеет смысла.

В этом случае нам пришлось бы заменить S в этом уравнении другим функционалом

${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}={\mathcal {S}}-i\ln M.}$

Если мы разложим это уравнение в ряд Тейлора относительно J = 0, мы получим всю систему уравнений Швингера – Дайсона.

Локализация [ править ]

Интегралы по путям обычно считаются суммой всех путей в бесконечном пространстве-времени. Однако в локальной квантовой теории поля мы бы ограничили все, чтобы все находилось в пределах конечной причинно полной области, например, внутри двойного светового конуса. Это дает более математически точное и физически строгое определение квантовой теории поля.

Личности Уорда-Такахаши [ править ]

А как насчет теоремы Нётер о оболочке для классического случая? Есть ли у него квантовый аналог? Да, но с одной оговоркой. Функциональная мера также должна быть инвариантной относительно однопараметрической группы преобразования симметрии.

Давайте для простоты предположим, что рассматриваемая симметрия является локальной (не локальной в смысле калибровочной симметрии , а в том смысле, что преобразованное значение поля в любой заданной точке при бесконечно малом преобразовании будет зависеть только от конфигурации поля. над сколь угодно малой окрестностью рассматриваемой точки). Предположим также, что действие является локальным в том смысле, что оно является интегралом по пространству-времени лагранжиана , и что

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

для некоторой функции f, где f зависит только локально от φ (и, возможно, от положения в пространстве-времени).

Если мы не предполагаем каких-либо специальных граничных условий, это не будет «истинной» симметрией в истинном смысле этого слова вообще, если только f = 0 или что-то в этом роде. Здесь Q - это производное, которое генерирует рассматриваемую группу с одним параметром. У нас также могут быть антидеривации , такие как BRST и суперсимметрия .

Также предположим

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q[F][\varphi ]=0}$

для любого полиномиально-ограниченного функционала F . Это свойство называется инвариантностью меры. И это в целом не выполняется. Подробнее см. Аномалия (физика) .

Потом,

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q\left[Fe^{iS}\right][\varphi ]=0,}$