Линейный интеграл

В математике , А линейный интеграл является интегралом , где функция будет интегрирована оценивается вдоль кривой . ^[1] Термины пути интегральные , кривая интегральные и криволинейный интеграл также используются; Также используется контурный интеграл , хотя обычно он используется для линейных интегралов в комплексной плоскости .

Интегрируемая функция может быть скалярным полем или векторным полем . Значение линейного интеграла представляет собой сумму значений поля во всех точках кривой, взвешенных некоторой скалярной функцией на кривой (обычно длиной дуги или, для векторного поля, скалярным произведением векторного поля с дифференциалом вектор на кривой). Это взвешивание отличает линейный интеграл от более простых интегралов, определенных на интервалах . Многие простые формулы в физике, такие как определение работы как , имеют естественные непрерывные аналоги в терминах линейных интегралов, в данном случае , которые вычисляют работу${\ Displaystyle W = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {s}}$${\ displaystyle \ textstyle W = \ int _ {L} \ mathbf {F} (\ mathbf {s}) \ cdot d \ mathbf {s}}$выполняется на объекте, движущемся через электрическое или гравитационное поле F по пути s .

Векторное исчисление [ править ]

С качественной точки зрения линейный интеграл в векторном исчислении можно рассматривать как меру общего воздействия данного тензорного поля вдоль данной кривой. Например, линейный интеграл по скалярному полю (тензор ранга 0) можно интерпретировать как площадь под полем, вырезанную определенной кривой. Это можно визуализировать как поверхность, созданную z = f ( x , y ) и кривой C в плоскости xy . Интеграл по линии f будет площадью созданной «завесы» - когда точки поверхности, которые находятся непосредственно над C , вырезаны.

Линейный интеграл скалярного поля [ править ]

Определение [ править ]

Для некоторого скалярного поля линейный интеграл вдоль кусочно гладкой кривой определяется как ^[2]${\ displaystyle f: \ mathbb {U} \ substeq \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} \ subset \ mathbb {U}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} f (\ mathbf {r}) \, ds = \ int _ {a} ^ {b} f \ left (\ mathbf {r} (t) \ right) | \ mathbf {r} '(t) | \, dt.}$

где - произвольная биективная параметризация кривой такая, что r ( a ) и r ( b ) задают концы кривой и a < b . Здесь и в остальной части статьи столбцы абсолютных значений обозначают стандартную (евклидову) норму вектора.${\ displaystyle \ mathbf {r}: [a, b] \ to {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Функция f называется подынтегральным выражением, кривая - областью интегрирования, а символ ds можно интуитивно интерпретировать как длину элементарной дуги . Линейные интегралы скалярных полей над кривой не зависят от выбранной параметризации r of . ^[3]${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Геометрически, когда скалярное поле f определено на плоскости ( n = 2) , его график представляет собой поверхность z = f ( x , y ) в пространстве, а линейный интеграл дает (знаковую) площадь поперечного сечения, ограниченную кривая и график f . Смотрите анимацию справа.${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Вывод [ править ]

Для интеграла линии над скалярным полем, интеграл может быть построен из суммы Римана с использованием вышеуказанных определений F , C и параметризацией г о С . Это можно сделать, разделив интервал [ a , b ] на n подинтервалов [ t _{i −1} , t _i ] длины Δ t = ( b - a ) / n , затем r ( t _i )обозначает некоторую точку, назовем его образец точку, на кривой С . Мы можем использовать множество точек выборки { г ( т _I ): 1 ≤ я ≤ п } для аппроксимации кривой С помощью ломаной , вводя прямую часть между каждой из точек выборки г ( т _{I -1} ) и г ( т _я ) . Затем мы обозначим расстояние между каждой из точек выборки на кривой как Δ s _i . Произведение f (r ( t _i )) и Δ s _i могут быть связаны с подписанной областью прямоугольника с высотой и шириной f ( r ( t _i )) и Δ s _i , соответственно. Принимая лимит в сумме слагаемыхкак длина перегородок приближаетсянулюдает нам

${\ Displaystyle I = \ lim _ {\ Delta s_ {i} \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ mathbf {r} (t_ {i})) \, \ Delta s_ {я}.}$

По теореме о среднем значении расстояние между последующими точками на кривой равно

${\displaystyle \Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t.}$

Подставляя это в приведенную выше сумму Римана, получаем

${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t}$

что является суммой Римана для интеграла

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.}$

Линейный интеграл векторного поля [ править ]

Определение [ править ]

Для векторного поля F  : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ линейный интеграл вдоль кусочно гладкой кривой C ⊂ U в направлении r определяется как ^[2]

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt}$

где · представляет собой скалярное произведение , а г : [ , Ь ] → C является биективен параметризация кривой C таким образом, что г ( ) и г ( б ) дают конечные точки С .

Линия интеграл от скалярного поля, таким образом, криволинейный интеграл от векторного поля, где векторы всегда находятся по касательным к линии.

Линейные интегралы векторных полей не зависят от параметризации r по модулю , но зависят от ее ориентации . В частности, изменение ориентации параметризации меняет знак линейного интеграла. ^[3]

С точки зрения дифференциальной геометрии линейный интеграл векторного поля вдоль кривой является интегралом соответствующей 1-формы при музыкальном изоморфизме (который переводит векторное поле в соответствующее ковекторное поле) по кривой, рассматриваемой как погруженный 1-коллектор.

Вывод [ править ]

Линейный интеграл векторного поля может быть получен способом, очень похожим на случай скалярного поля, но на этот раз с включением скалярного произведения. Снова используя приведенные выше определения F , C и его параметризацию r ( t ) , мы строим интеграл из суммы Римана . Разобьем интервал [ a , b ] (который является диапазоном значений параметра t ) на n интервалов длиной ∆ t = ( b - a ) / n . Позволяя t_i -i-я точка на[ a , b ], тогда r ( t _i )дает нам положениеi-й точки на кривой. Однако вместо того, чтобы вычислять расстояния между последующими точками, нам нужно вычислить ихвекторысмещения,Δ r _i . Как и прежде, оценка F во всех точках кривой и взятие скалярного произведения с каждым вектором смещения дает намбесконечно малыйвклад каждого разбиения F наC. Если уменьшить размер разделов до нуля, получится сумма

${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}}$

По теореме о среднем значении мы видим, что вектор смещения между соседними точками на кривой равен

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.}$

Подставляя это в приведенную выше сумму Римана, получаем

${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,}$

которая является суммой Римана для определенного выше интеграла.

Независимость от пути [ править ]

Если векторное поле F является градиентом из скалярного поля G (то есть , если Р является консервативным ), то есть,

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla G,}$

затем с помощью многофакторной цепи исключает производную от композиции из G и г ( т ) является

${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$

которое оказывается подынтегральным выражением для линейного интеграла от F на r ( t ). Отсюда для пути C следует , что

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}$

Другими словами, интеграл от F по C зависит исключительно от значений G в точках r ( b ) и r ( a ) и, следовательно, не зависит от пути между ними. По этой причине линейный интеграл консервативного векторного поля называется независимым от пути .

Приложения [ править ]

Линейный интеграл имеет множество применений в физике. Например, работа выполняется на бегущей частицу на кривой С внутри силового поля представлена как векторное поле F является линия интегралом F на C . ^[4]

Поток по кривой [ править ]

Для векторного поля , Р ( х , у ) = ( Р ( х , у ), Q ( х , у )) , то линейный интеграл по кривой С ⊂ U , также называемый интегральный поток , определяется в терминах кусочно-гладкая параметризация r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t${\displaystyle \mathbf {F} :U\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ )) , как:

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}(P(x(t),y(t)),Q(x(t),y(t)))\cdot (y'(t),-x'(t))\,dt=\int _{a}^{b}-Q\,dx+P\,dy.}$

Здесь • - скалярное произведение и перпендикуляр к вектору скорости по часовой стрелке .${\displaystyle \mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))}$${\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))}$

Поток вычисляется в ориентированном смысле: кривая C имеет заданное прямое направление от r ( a ) до r ( b ) , и поток считается положительным, когда F ( r ( t )) находится по часовой стрелке. вектор прямой скорости r ' ( t ) .

Комплексный линейный интеграл [ править ]

В комплексном анализе линейный интеграл определяется как умножение и сложение комплексных чисел. Предположим , что U представляет собой открытое подмножество в комплексной плоскости C , F  : U → C является функцией, и является кривой конечной длины, параметризованных гамма  : [ а , Ь ] → L , где γ ( т ) = х ( т ) + iy ( t ) . Интеграл по прямой${\displaystyle L\subset U}$

${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz}$

можно определить, разделив интервал [ a , b ] на a = t ₀ < t ₁ <... < t _n = b и учитывая выражение

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.}$

Тогда интеграл является пределом этой суммы Римана, когда длины интервалов деления приближаются к нулю.

Если параметризация γ является непрерывно дифференцируемой , линейный интеграл можно вычислить как интеграл от функции действительной переменной: ^[2]

${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.}$

Когда L - замкнутая кривая (начальная и конечная точки совпадают), линейный интеграл часто обозначают, иногда называемый в технике циклическим интегралом .${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$

Интеграл по прямой относительно сопряженного комплексного дифференциала определяется ^[5] как${\displaystyle {\overline {dz}}}$

${\displaystyle \int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.}$

Линейные интегралы сложных функций можно вычислить с помощью ряда методов. Самый простой - разделить на действительную и мнимую части, сведя задачу к вычислению двух линейных интегралов с действительными значениями. Интегральная теорема Коши может быть использована , чтобы приравнять интеграл строки в аналитической функции к тому же интеграл по кривой более удобной. Это также означает, что над замкнутой кривой, охватывающей область, где f ( z ) является аналитической без особенностей , значение интеграла просто равно нулю, или, если область включает особенности, теорема о вычетах вычисляет интеграл в терминах особенностей.

Пример [ править ]

Рассмотрим функцию f ( z ) = 1 / z , и пусть контур L представляет собой единичную окружность против часовой стрелки около 0, параметризованную z ( t ) = e ^it с t в [0, 2π] с использованием комплексной экспоненты . Подставляя, находим:

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{L}{\frac {1}{z}}\,dz&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int _{0}^{2\pi }dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}}$

Это типичный результат интегральной формулы Коши и теоремы о вычетах .

Связь комплексного линейного интеграла и линейного интеграла векторного поля [ править ]

Если рассматривать комплексные числа как 2-мерные векторы , линейный интеграл комплекснозначной функции имеет действительные и комплексные части, равные линейному интегралу и интегралу потока векторного поля, соответствующего сопряженной функции В частности, если параметризует L и соответствует векторное поле тогда:${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle {\overline {f(z)}}.}$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))}$${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L}f(z)\,dz&=\int _{L}(u+iv)(dx+i\,dy)\\&=\int _{L}(u,-v)\cdot (dx,dy)+i\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} +i\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }.\end{aligned}}}$

По теореме Коши левый интеграл равен нулю, когда он аналитический (удовлетворяет уравнениям Коши – Римана ). Соответственно, по теореме Грина , правые интегралы равны нуль , когда это безвихревое ( завиток -бесплатно) и несжимаем ( дивергенция -бесплатно). В самом деле, уравнения Коши-Римана для тождественны в нуль ротору и дивергенции для F .${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \mathbf {F} ={\overline {f(z)}}}$${\displaystyle f(z)}$

По теореме Грина площадь области, заключенной в гладкую замкнутую положительно ориентированную кривую , задается интегралом. Этот факт используется, например, в доказательстве теоремы о площади .${\displaystyle L}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$

Квантовая механика [ править ]

Путь в формулировке интеграла по квантовой механике на самом деле относится не к пути интегралам в этом смысле , но до функциональных интегралов , то есть интегралы по пространству путей, функций от возможного пути. Однако интегралы по путям в смысле этой статьи важны в квантовой механике; например, сложное контурное интегрирование часто используется при оценке амплитуд вероятности в квантовой теории рассеяния .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Интеграл по траекториям" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Модули Khan Academy :
  • «Введение в линейный интеграл»
  • «Пример линейной интеграции 1»
  • «Пример линейного интеграла 2 (часть 1)»
  • «Пример линейного интеграла 2 (часть 2)»
• Интеграл по пути в PlanetMath .
• Линейный интеграл векторного поля - Интерактивный