Функция распределения (квантовая теория поля)

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Эффект Казимира Космическая струна Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Четвертичное взаимодействие Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Теория Черна – Саймонса Море Дирака Ложный вакуум Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория возмущений 6D (2,0) суперконформная теория поля Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая геометрия Теория рассеяния Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая космология Квантовая пена Квантовая флуктуация Квантовая гравитация Локальная квантовая теория поля Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Релятивистская квантовая теория поля Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса Теория Янга – Миллса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин
v т е

В квантовой теории поля , то функция распределения является производящий функционал всех функций корреляции , обобщающей характеристической функции теории вероятностей.${\ displaystyle Z [J]}$

Обычно выражается следующим функциональным интегралом :

${\ Displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi \, e ^ {i (S [\ phi] + \ int d ^ {4} xJ (x) \ phi (x))} ~,}$

где S - функционал действия .

Статистическая сумма в квантовой теории поля является частным случаем математической статистической суммы и связана со статистической статистической суммой в статистической механике. Основное отличие состоит в том, что счетный набор случайных величин, замеченный в определении таких более простых функций распределения, был заменен несчетным набором, что требует использования функциональных интегралов по полю .${\ displaystyle \ phi}$

Использует [ редактировать ]

N-точечные корреляционные функции могут быть выражены с использованием формализма интегралов по путям как${\ displaystyle G_ {n}}$

${\displaystyle G_{n}(x_{1},...,x_{n})\equiv \langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\exp(iS[\phi ]/\hbar )}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp(iS[\phi ]/\hbar )}}}$

где левая часть - это упорядоченный по времени продукт, используемый для вычисления элементов S-матрицы . На стороне средства правой проинтегрировать все возможные конфигурации классического поля с фазой , заданной классическим действием оцениваемого в этой конфигурации поля. ^[1]${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi }$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle S[\phi ]}$

Производящий функционал можно использовать для вычисления вышеуказанных интегралов по путям с помощью вспомогательной функции ( в данном контексте называемой током ).${\displaystyle Z[J]}$${\displaystyle J}$

Из определения (в контексте 4D)

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left\{{\frac {i}{\hbar }}\left[S[\phi ]+\int d^{4}xJ(x)\phi (x))\right]\right\}}$

можно увидеть, используя функциональные производные, что n-точечные корреляционные функции задаются выражением${\displaystyle G_{n}(x_{1},...,,x_{n})}$

${\displaystyle G_{n}(x_{1},...,x_{n})=(-i\hbar )^{n}{\frac {1}{Z[0]}}\left.{\frac {\partial ^{n}Z}{\partial J(x_{1})\cdots \partial J(x_{n})}}\right|_{J=0}}$

Связь со статистической механикой [ править ]

Производящий функционал является аналогом статистической суммы статистической механики в квантовой теории поля: он сообщает нам все, что мы могли бы знать о системе. Производящий функционал - это святой Грааль любой конкретной теории поля: если у вас есть точное выражение в замкнутой форме для конкретной теории, вы его полностью решили. ^[2]${\displaystyle Z[J]}$

В отличие от статистической суммы в статистической механике, статистическая сумма в квантовой теории поля содержит дополнительный множитель i перед действием, что делает подынтегральное выражение комплексным, а не действительным. Это я указывает на глубокую связь между квантовой теории поля и статистической теории полей. Эту связь можно увидеть, если Вик поворачивает подынтегральное выражение в экспоненте интеграла по путям. ^[3] я проистекает из того факта , что функция распределения в КТП вычисляет квантовые амплитуды вероятностей между состояниями, которые принимают значения в комплексном проективном пространстве (комплексном гильбертовом пространстве , но акцент делается на словепроективный , потому что амплитуды вероятностей по-прежнему нормированы на единицу). Поля в статистической механике - это вещественные случайные величины, в отличие от операторов в гильбертовом пространстве.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Жан Зинн-Джастин (2009), Scholarpedia , 4 (2): 8674 .
• Кляйнерт, Хаген , Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 4-е издание, World Scientific (Сингапур, 2004 г.); мягкая обложка ISBN  981-238-107-4 (также доступно онлайн: PDF-файлы ) .