В физике , квантование (в британском английском квантовании ) процесс перехода от классического понимания физических явлений к более новому пониманию , известное как квантовая механика . Это процедура построения квантовой теории поля, исходя из классической теории поля . Это обобщение процедуры построения квантовой механики из классической механики . Также связано квантование поля , как в «квантовании электромагнитного поля », где фотоны рассматриваются как « кванты поля».«(например, в виде квантов света ). Эта процедура является базовой для теорий физики элементарных частиц , ядерной физики , физики конденсированного состояния и квантовой оптики .
Методы квантования
Квантование преобразует классические поля в операторы, действующие на квантовые состояния теории поля. Состояние с наименьшей энергией называется состоянием вакуума . Причина квантования теории состоит в том, чтобы вывести свойства материалов, объектов или частиц посредством вычисления квантовых амплитуд , что может быть очень сложным. Такие вычисления должны иметь дело с некоторыми тонкостями, называемыми перенормировкой , которые, если пренебречь ими, часто могут приводить к бессмысленным результатам, таким как появление бесконечностей с различными амплитудами. Полная спецификация процедуры квантования требует методов выполнения перенормировки.
Первым методом квантования теорий поля было каноническое квантование . Хотя это чрезвычайно легко реализовать на достаточно простых теориях, существует много ситуаций, когда другие методы квантования дают более эффективные процедуры для вычисления квантовых амплитуд. Однако использование канонического квантования наложило свой отпечаток на язык и интерпретацию квантовой теории поля.
Каноническое квантование
Каноническое квантование теории поля аналогично построению квантовой механики из классической механики . Классическое поле рассматривается как динамическая переменная, называемая канонической координатой , а его производная по времени - каноническим импульсом . Между ними вводится коммутационное соотношение, которое в точности совпадает с коммутационным соотношением между положением и импульсом частицы в квантовой механике . Технически, можно преобразовать поле в оператор с помощью комбинаций операторов создания и уничтожения . Оператор поля действует на квантовые состояния теории. Состояние с наименьшей энергией называется состоянием вакуума . Процедура также называется вторичным квантованием .
Эта процедура может быть применена к квантованию любой теории поля : будь то фермионы или бозоны , и с любой внутренней симметрией . Однако это приводит к довольно простой картине состояния вакуума, и его нелегко использовать в некоторых квантовых теориях поля , таких как квантовая хромодинамика, которая, как известно, имеет сложный вакуум, характеризующийся множеством различных конденсатов .
Схемы квантования
Даже в рамках канонического квантования существует трудность, связанная с квантованием произвольных наблюдаемых в классическом фазовом пространстве. Это неоднозначность порядка : обычно переменные положения и импульса x и p коммутируют, но их квантово-механические аналоги - нет. Для разрешения этой неоднозначности были предложены различные схемы квантования , [1] из которых наиболее популярна схема квантования Вейля . Тем не менее теорема Греневольда – ван Хова утверждает, что не существует идеальной схемы квантования. В частности, если квантования x и p взяты как обычные операторы положения и импульса, то никакая схема квантования не может идеально воспроизвести отношения скобок Пуассона среди классических наблюдаемых. [2] См. Одну версию этого результата в теореме Гроенвольда .
Ковариантное каноническое квантование
Существует способ выполнить каноническое квантование, не прибегая к нековариантному подходу расслоения пространства-времени и выбора гамильтониана . Этот метод основан на классическом действии, но отличается от функционально-интегрального подхода.
Метод не распространяется на все возможные действия (например, действия с непричинной структурой или действия с калибровочными «потоками» ). Он начинается с классической алгебры всех (гладких) функционалов над конфигурационным пространством. Эта алгебра факторизуется по идеалу, порожденному уравнениями Эйлера – Лагранжа . Затем эта фактор-алгебра преобразуется в алгебру Пуассона путем введения скобки Пуассона, выводимой из действия, называемой скобкой Пайерлса . Тогда эта алгебра Пуассона-деформируется так же, как и при каноническом квантовании.
Также существует способ квантования действий с помощью калибровочных «потоков» . Он включает в себя формализм Баталина – Вилковиского , расширение формализма BRST .
Квантование деформации
Геометрическое квантование
В математической физике геометрическое квантование - это математический подход к определению квантовой теории, соответствующей данной классической теории. Он пытается провести квантование, для которого, как правило, нет точного рецепта, таким образом, чтобы определенные аналогии между классической теорией и квантовой теорией оставались очевидными. Например, необходимо учитывать сходство между уравнением Гейзенберга в гейзенберговской картине квантовой механики и уравнением Гамильтона в классической физике.
Одной из первых попыток естественного квантования было квантование Вейля, предложенное Германом Вейлем в 1927 году. Здесь делается попытка связать квантово-механическую наблюдаемую (самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве) с вещественнозначной функцией на классическом фазовом пространстве. Положение и импульс в этом фазовом пространстве отображаются на генераторы группы Гейзенберга, а гильбертово пространство появляется как групповое представление группы Гейзенберга. В 1946 году Х. Дж. Греневольд [3] рассмотрел произведение пары таких наблюдаемых и спросил, какой должна быть соответствующая функция на классическом фазовом пространстве. Это привело его к открытию звездного произведения пары функций в фазовом пространстве. В более общем смысле, этот метод приводит к квантованию деформации, где ★ -произведение рассматривается как деформация алгебры функций на симплектическом многообразии или многообразии Пуассона. Однако как естественная схема квантования (функтор) отображение Вейля не является удовлетворительным. Например, отображение Вейля классического квадрата углового момента - это не просто квантовый оператор квадрата углового момента, но также содержит постоянный член 3ħ2 / 2. (Этот дополнительный член на самом деле является физически значимым, так как он учитывает ненулевой угловой момент орбиты Бора в основном состоянии в атоме водорода. [4] [ требуется пояснение ] Как простое изменение представления, однако, карта Вейля лежит в основе альтернативной фазы космическая формулировка традиционной квантовой механики.
Более геометрический подход к квантованию, в котором классическое фазовое пространство может быть общим симплектическим многообразием, был разработан в 1970-х годах Бертрамом Костантом и Жан-Мари Сурьо . Метод проходит в два этапа. [5] Во-первых, однажды строится «доквантовое гильбертово пространство», состоящее из квадратично интегрируемых функций (или, точнее, сечений линейного расслоения) над фазовым пространством. Здесь можно построить операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям, в точности соответствующие классическим соотношениям скобок Пуассона. С другой стороны, это предквантовое гильбертово пространство слишком велико, чтобы иметь физический смысл. Затем ограничиваются функциями (или секциями), зависящими от половины переменных фазового пространства, что дает квантовое гильбертово пространство.
Циклическое квантование
См. Петлевая квантовая гравитация .
Квантование интегралов по траекториям
Классическая механическая теория задается действием, допустимые конфигурации которого являются экстремальными по отношению к функциональным вариациям действия. Квантово-механическое описание классической системы также может быть построено на основе действия системы с помощью формулировки интеграла по путям .
Подход квантовой статистической механики
См. Принцип неопределенности .
Вариационный подход Швингера
См . Квантовый принцип действия Швингера .
Смотрите также
- Первое квантование
- Интеграл по путям Фейнмана
- Легкое фронтальное квантование
- Поляризация фотона
- Квантовый эффект Холла
- Квантовое число
Рекомендации
- Абрахам Р. и Марсден (1985): Основы механики , изд. Аддисон-Уэсли, ISBN 0-8053-0102-X .
- Дж. Джахетта, Л. Манджиаротти, Г. Сарданашвили , Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике (World Scientific, 2005) ISBN 981-256-129-3 .
- Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer
- М. Пескин, Д. Шредер, Введение в квантовую теорию поля (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2
- Вайнберг, Стивен, Квантовая теория полей (3 тома)
- Али, С.Т., и Энглиш, М. (2005). «Методы квантования: руководство для физиков и аналитиков». Обзоры по математической физике 17 (04), 391-490. arXiv : math-ph / 0405065
- Тодоров, Иван (2012). «Квантование - это загадка». Препринт arXiv arXiv: 1206.3116 (2012).
Заметки
- ^ Холл 2013 Глава 13
- ^ Холл 2013 Теорема 13.13
- ^ Groenewold, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica . 12 (7): 405–460. Bibcode : 1946Phy .... 12..405G . DOI : 10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4 . ISSN 0031-8914 .
- ^ Даль, Йенс Педер; Шлейх, Вольфганг П. (2002). «Представления о радиальной и угловой кинетической энергии». Physical Review . 65 (2): 022109. Arxiv : колич-фот / 0110134 . Bibcode : 2002PhRvA..65b2109D . DOI : 10.1103 / PhysRevA.65.022109 . ISSN 1050-2947 . S2CID 39409789 .
- ^ Холл 2013 Главы 22 и 23