В геометрии , чтобы перевести геометрическая фигура , чтобы переместить его из одного места в другое , не поворачивая его. Перевод «сдвигает» вещь на a : T a ( p ) = p + a .
В физике и математике непрерывная трансляционная симметрия - это инвариантность системы уравнений относительно любого сдвига. Дискретная трансляционная симметрия инвариантна относительно дискретной трансляции.
Аналогично, оператор A над функциями называется трансляционно инвариантным по отношению к оператору перевода, если результат после применения A не изменяется, если функция аргумента транслируется. Точнее, он должен утверждать, что
Законы физики трансляционно инвариантны относительно пространственного переноса, если они не различают разные точки в пространстве. Согласно теореме Нётер , пространственная трансляционная симметрия физической системы эквивалентна закону сохранения количества движения .
Трансляционная симметрия объекта означает, что конкретный перевод не меняет объект. Для данного объекта трансляции, к которым это применимо, образуют группу, группу симметрии объекта или, если объект имеет больше видов симметрии, подгруппу группы симметрии.
Геометрия [ править ]
| Группы Ли |
|---|
 |
|
Трансляционная инвариантность означает, что по крайней мере в одном направлении объект бесконечен: для любой данной точки p множество точек с одинаковыми свойствами из-за трансляционной симметрии образует бесконечное дискретное множество { p + n a | n ∈ Z } = p + Z a . Фундаментальные области - это, например, H + [0, 1] a для любой гиперплоскости H, для которой a имеет независимое направление. Это в 1D линейный сегмент, в 2D - бесконечная полоса, а в 3D - плита, так что вектор, начинающийся с одной стороны, заканчивается с другой стороны. Обратите внимание, что полоса и плита не обязательно должны быть перпендикулярны вектору, следовательно, они могут быть уже или тоньше, чем длина вектора.
В пространствах с размерностью больше 1 может быть множественная трансляционная симметрия. Для каждого набора из k независимых векторов трансляции группа симметрии изоморфна Z k . В частности, кратность может быть равна размерности. Это означает, что объект бесконечен во всех направлениях. В этом случае набор всех трансляций образует решетку . Различные основы векторов переноса генерируют ту же решетку тогда и только тогда , когда один превращается в другую матрице целых коэффициентов из которых абсолютное значение из определителя равно 1. Абсолютное значение из детерминантаматрицы, образованной набором векторов трансляций, является гиперобъемом n- мерного параллелепипеда, на который надлагается множество (также называемого коволомом решетки). Этот параллелепипед является фундаментальной областью симметрии: любой узор на нем или внутри него возможен, и это определяет весь объект. См. Также решетку (группу) .
Например, в 2D вместо a и b мы также можем взять a и a - b и т. Д. В общем, в 2D мы можем взять p a + q b и r a + s b для целых чисел p , q , r и s. такое, что ps - qr равно 1 или −1. Это гарантирует, что сами a и b являются целочисленными линейными комбинациями двух других векторов. В противном случае не все переводы возможны с другой парой. Каждая параa , b определяют параллелограмм, все с одинаковой площадью, величиной перекрестного произведения . Один параллелограмм полностью определяет весь объект. Без дополнительной симметрии этот параллелограмм является фундаментальной областью. Векторы a и b могут быть представлены комплексными числами. Для двух заданных точек решетки эквивалентность выбора третьей точки для создания формы решетки представлена модульной группой , см. Решетку (группу) .
В качестве альтернативы, например, прямоугольник может определять весь объект, даже если векторы переноса не перпендикулярны, если он имеет две стороны, параллельные одному вектору переноса, в то время как другой вектор переноса, начинающийся с одной стороны прямоугольника, заканчивается на противоположной стороне.
Например, рассмотрим мозаику из одинаковых прямоугольных плиток с асимметричным узором на них, все ориентированы одинаково, в ряды, со сдвигом для каждой строки доли, а не половины плитки, всегда одинакового, тогда мы имеем только поступательная симметрия, группа обоев p 1 (то же самое без сдвига). При вращательной симметрии второго порядка рисунка на плитке мы имеем p 2 (большая симметрия узора на плитке не меняет этого из-за расположения плиток). Прямоугольник - более удобная единица измерения как фундаментальная область (или набор из двух), чем параллелограмм, состоящий из части плитки и части другой.
В 2D может быть трансляционная симметрия в одном направлении для векторов любой длины. Одна линия, расположенная в разных направлениях, полностью определяет весь объект. Точно так же в 3D может существовать трансляционная симметрия в одном или двух направлениях для векторов любой длины. Одна плоскость ( сечение ) или линия, соответственно, полностью определяет весь объект.
Примеры [ править ]
Текст [ править ]
Пример трансляционной симметрии в одном направлении в 2D nr. 1) это:
Примечание. Этот пример не является примером симметрии вращения.
пример пример пример пример пример пример пример пример
(получите то же самое, переместив одну линию вниз и две позиции вправо) и трансляционной симметрии в двух направлениях в 2D (группа обоев p1):
* | * | * | * | | * | * | * | *| * | * | * | ** | * | * | * | | * | * | * | *| * | * | * | *
(получите то же самое, переместив на три позиции вправо или на одну строку вниз и две позиции вправо; следовательно, получите то же самое, переместившись на три строки вниз).
В обоих случаях нет ни зеркальной симметрии, ни вращательной симметрии.
Для данного перемещения пространства мы можем рассматривать соответствующий перенос объектов. Объекты с, по крайней мере, соответствующей трансляционной симметрией являются неподвижными точками последнего, не путать с неподвижными точками перемещения пространства, которых не существует.
Исчисление [ править ]
- Преобразование Фурье с последующим вычислением абсолютных значений является оператором, инвариантным к трансляции.
- Отображение полиномиальной функции в полиномиальную степень является трансляционно-инвариантным функционалом.
- Мера Лебега является полным переводом-инвариантной мерой .
См. Также [ править ]
- Скользящее отражение
- Смещение
- Периодическая функция
- Решетка (группа)
- Оператор трансляции (квантовая механика)
- Вращательная симметрия
- Симметрия Лоренца
- Мозаика
- математика волн и циклов
Ссылки [ править ]
- Стенджер, Виктор Дж. (2000) и MahouShiroUSA (2007). Вневременная реальность . Книги Прометея. Особенно гл. 12. Нетехнический.
