Аксиомы Вайтмана

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Аксиомы Вайтмана»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Задний план Эффект Казимира Космическая струна Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Четвертичное взаимодействие Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Теория Черна – Саймонса Море Дирака Ложный вакуум Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория возмущений 6D (2,0) суперконформная теория поля Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая геометрия Теория рассеяния Полуклассическая гравитация Отжим пена Струнная теория Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая космология Квантовая пена Квантовая флуктуация Квантовая гравитация Локальная квантовая теория поля Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Релятивистская квантовая теория поля Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса Теория Янга – Миллса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин
v т е

В физике , в вайтмановские аксиомами (также называемые Гординг-Вайтмана аксиомам ), ^{[1] [2]} назван в честь Ларса Гордингом и Артура Уайтманом , ^[3] являются попыткой математически строгой формулировке квантовой теории поля . Артур Вайтман сформулировал аксиомы в начале 1950-х годов ^[4], но они были впервые опубликованы только в 1964 году ^[5] после того, как теория рассеяния Хаага – Рюэля ^{[6] [7]} подтвердила их значение.

Аксиомы существуют в контексте конструктивной квантовой теории поля , и они призваны обеспечить основу для строгого рассмотрения квантовых полей и строгое обоснование используемых пертурбативных методов. Одна из проблем тысячелетия - реализовать аксиомы Вайтмана в случае полей Янга – Миллса .

Обоснование [ править ]

Одна из основных идей аксиом Вайтмана состоит в том, что существует гильбертово пространство, на котором группа Пуанкаре действует унитарно . Таким образом, реализуются концепции энергии, импульса, углового момента и центра масс (соответствующие ускорениям).

Существует также предположение об устойчивости, которое ограничивает спектр четырехимпульса положительным световым конусом (и его границей). Однако этого недостаточно для реализации локальности . Для этого в аксиомах Вайтмана есть позиционно-зависимые операторы, называемые квантовыми полями, которые образуют ковариантные представления группы Пуанкаре .

Поскольку квантовая теория поля страдает от проблем с ультрафиолетом, значение поля в точке не определено четко. Чтобы обойти это, аксиомы Вайтмана вводят идею размытия по пробной функции, чтобы укротить УФ-расходимости, которые возникают даже в теории свободного поля . Поскольку аксиомы имеют дело с неограниченными операторами , необходимо указать области определения операторов.

Аксиомы Вайтмана ограничивают причинную структуру теории, налагая либо коммутативность, либо антикоммутативность между пространственноподобными разделенными полями.

Они также постулируют существование пуанкаре-инвариантного состояния, называемого вакуумом, и требуют его уникальности. Более того, аксиомы предполагают, что вакуум является «циклическим», т. Е. Что набор всех векторов, которые могут быть получены путем вычисления в вакууме элементов состояния полиномиальной алгебры, порожденной операторами размытого поля, является плотным подмножеством всего гильбертова космос.

Наконец, существует примитивное ограничение причинности, которое гласит, что любой многочлен в размытых полях может быть сколь угодно точно аппроксимирован (т. Е. Является пределом операторов в слабой топологии ) полиномами в размытых полях над пробными функциями с носителем в открытом множестве Минковского. пространство , причинным замыканием которого является все пространство Минковского.

Аксиомы [ править ]

W0 (предположения релятивистской квантовой механики) [ править ]

Квантовая механика описывается по фон Нейману ; в частности, чистые состояния задаются лучами, т. е. одномерными подпространствами некоторого сепарабельного комплексного гильбертова пространства . В дальнейшем скалярное произведение векторов гильбертова пространства Ψ и Φ будет обозначаться через , а норма - через . Вероятность перехода между двумя чистыми состояниями [Ψ] и [Φ] может быть определена в терминах ненулевых векторных представителей Ψ и Φ, которые должны быть${\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle }$${\displaystyle \lVert \Psi \rVert }$

${\displaystyle P([\Psi ],[\Phi ])={\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}}$

и не зависит от того, какие репрезентативные векторы, Ψ и Φ, выбраны.

Теория симметрии описана по Вигнеру. Это сделано для того, чтобы воспользоваться успешным описанием релятивистских частиц Юджином Полем Вигнером в его знаменитой статье 1939 года. См . Классификацию Вигнера . Вигнер постулировал, что вероятность перехода между состояниями одинакова для всех наблюдателей, связанных преобразованием специальной теории относительности . В более общем плане он считал, что утверждение, что теория инвариантна относительно группы G, должно быть выражено в терминах инвариантности вероятности перехода между любыми двумя лучами. Утверждение постулирует, что группа действует на множестве лучей, то есть на проективном пространстве. Пусть ( a , L ) - элементГруппа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца). Таким образом, a - действительный четырехмерный вектор Лоренца, представляющий изменение начала координат пространства-времени x ↦ x - a, где x находится в пространстве Минковского M ^4, а L - преобразование Лоренца , которое может быть определено как линейное преобразование четырехмерного пространства. мерное пространство-время, которое сохраняет расстояние Лоренца c²t² - x ⋅ x каждого вектора ( ct , x). Тогда теория инвариантна относительно группы Пуанкаре, если для каждого луча Ψ гильбертова пространства и каждого элемента группы ( a , L ) задан преобразованный луч Ψ ( a , L ) и вероятность перехода не изменится при преобразовании:

${\displaystyle \left\langle \Psi (a,L),\Phi (a,L)\right\rangle =\left\langle \Psi ,\Phi \right\rangle }$

Теорема Вигнера гласит, что при этих условиях преобразования в гильбертовом пространстве являются либо линейными, либо антилинейными операторами (если, кроме того, они сохраняют норму, то они являются унитарными или антиунитарными операторами); оператор симметрии на проективном пространстве лучей может быть поднят до основного гильбертова пространства. Это делается для каждого элемента группы ( a , L ), и мы получаем семейство унитарных или антиунитарных операторов U ( a , L ) в нашем гильбертовом пространстве, такое что луч Ψ, преобразованный посредством ( a , L ), совпадает с луч, содержащий U ( a , L) ψ. Если ограничиться элементами группы, связанными с тождеством, то антиунитарный случай не наступит.

Пусть ( a , L ) и ( b , M ) - два преобразования Пуанкаре, и обозначим их групповое произведение через ( a , L ). ( B , M ); из физической интерпретации мы видим, что луч, содержащий U ( a , L ) [ U ( b , M ) ψ], должен (для любого psi) быть лучом, содержащим U (( a , L ). ( b , M)) ψ (ассоциативность групповой операции). Возвращаясь от лучей к гильбертову пространству, эти два вектора могут отличаться фазой (а не нормой, потому что мы выбираем унитарные операторы), которая может зависеть от двух элементов группы ( a , L ) и ( b , M ), т.е. у нас есть не представление группы, а скорее проективное представление . Эту фазу не всегда можно отменить, переопределив каждый U (a), например, для частиц со спином 1/2. Вигнер показал, что лучшее, что можно получить для группы Пуанкаре, - это

${\displaystyle U(a,L)U(b,M)=\pm U((a,L).(b,M))}$

т.е. фаза кратна . Для частиц с целочисленным спином (пионы, фотоны, гравитоны ...) можно удалить знак +/- путем дальнейших фазовых переходов, но для представлений полунечетного спина мы не можем, и знак меняется скачкообразно по мере того, как мы движемся по кругу. любую ось на угол 2π. Однако мы можем построить представление накрывающей группы группы Пуанкаре , называемое неоднородной SL (2, C ) ; в нем есть элементы ( a , A ), где, как и раньше, a - четырехмерный вектор, но теперь A - это комплексная матрица 2 × 2 с единичным определителем. Обозначим полученные унитарные операторы через U ( a , A${\displaystyle \pi }$), и они дают нам непрерывное, унитарное и истинное представление в том смысле, что набор U ( a , A ) подчиняется групповому закону неоднородной SL (2, C ).

Из-за смены знака при поворотах на 2π эрмитовы операторы, преобразующиеся как спин 1/2, 3/2 и т. Д., Не могут быть наблюдаемыми . Это проявляется как однолистности суперотборной правило : фазы между состояниями спином 0, 1, 2 и т.д. , и теми , спина 1/2, 3/2 и т.д., не наблюдается. Это правило дополняет ненаблюдаемость общей фазы вектора состояния. Что касается наблюдаемых и состояний | v ), мы получаем представление U ( a , L ) группы Пуанкаре на целочисленных спиновых подпространствах и U ( a , A ) неоднородной SL (2,C ) на подпространствах с половинными нечетными числами, которое действует согласно следующей интерпретации:

Ансамбль , соответствующий U ( , L ) | v ) следует интерпретировать относительно координат точно так же, как ансамбль, соответствующий | v ) интерпретируется относительно координат x ; и аналогично для нечетных подпространств.${\displaystyle x^{\prime }=L^{-1}(x-a)}$

Группа пространственно-временных трансляций коммутативна , поэтому операторы можно одновременно диагонализовать. Генераторы этих групп дают нам четыре оператора самосопряженного , , J = 1, 2, 3, которые преобразуются по однородной группе в четыре вектора, называемой энергия-импульс четыре-вектором.${\displaystyle P_{0},P_{j}}$

Вторая часть нулевой аксиомы Вайтмана состоит в том, что представление U ( a , A ) удовлетворяет спектральному условию - одновременный спектр энергии-импульса содержится в прямом конусе:

${\displaystyle P_{0}\geq 0}$............... ${\displaystyle P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.}$

Третья часть аксиомы состоит в том, что существует единственное состояние, представленное лучом в гильбертовом пространстве, которое инвариантно относительно действия группы Пуанкаре. Это называется вакуумом.

W1 (предположения о предметной области и непрерывности поля) [ править ]

Для каждой пробной функции F , ^{[ разъяснение необходимости ]} существует множество операторов , которые вместе со своими сопряженными, которые определены на плотном подмножестве пространства состояний Гильберта, содержащие вакуум. Поля A - это операторнозначные умеренные распределения . Гильбертово пространство состояний натянуто на полиномы, действующие в вакууме (условие цикличности).${\displaystyle A_{1}(f),\ldots ,A_{n}(f)}$

W2 (закон преобразования поля) [ править ]

Поля ковариантны под действием группы Пуанкаре и преобразуются согласно некоторому представлению S группы Лоренца или SL (2, C ), если спин не целочисленный:

${\displaystyle U(a,L)^{\dagger }A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(x-a)).}$

W3 (локальная коммутативность или микроскопическая причинность) [ править ]

Если носители двух полей пространственно разделены, то поля либо коммутируют, либо антикоммутируют.

Иногда отдельно рассматриваются цикличность вакуума и его уникальность. Кроме того, существует свойство асимптотической полноты - гильбертово пространство состояний натянуто на асимптотические пространства и , появляясь в матрице S столкновений . Другое важное свойство теории поля - это массовая щель, которая не требуется по аксиомам: спектр энергии-импульса имеет щель между нулем и некоторым положительным числом.${\displaystyle H^{\text{in}}}$${\displaystyle H^{\text{out}}}$

Последствия аксиом [ править ]

Из этих аксиом вытекают некоторые общие теоремы:

• Теорема CPT - существует общая симметрия при изменении четности, обращении частица-античастица и обращении времени (как оказалось, ни одна из этих симметрий не существует в природе)
• Связь между спином и статистикой - поля, которые преобразуются согласно полуцелому спину антикоммутируют, в то время как поля с целым спином коммутируют (аксиома W3). На самом деле, эта теорема содержит мелкие технические детали. Это можно исправить с помощью преобразований Клейна . См. Парастатистику . Смотрите также призраков в BRST .
• Невозможность сверхсветовой связи - если два наблюдателя пространственно разделены, то действия одного наблюдателя (включая измерения и изменения гамильтониана) не влияют на статистику измерений другого наблюдателя. ^[8]

Артур Вайтман показал, что распределения значений математического ожидания вакуума , удовлетворяющие определенному набору свойств, которые следуют из аксиом, достаточны для восстановления теории поля - теоремы реконструкции Вайтмана , включая существование вакуумного состояния ; он не нашел условия на ожидаемые значения вакуума, гарантирующего уникальность вакуума; это условие, свойство кластера , было позже обнаружено Рес Йостом , Клаусом Хеппом , Дэвидом Руэлем и Отмаром Штайнманном .

Если в теории существует разрыв масс , т.е. нет масс между 0 и некоторой константой больше нуля, то распределения математических ожиданий в вакууме асимптотически независимы в удаленных областях.

Теорема Хаага гласит, что не может быть картины взаимодействия - что мы не можем использовать пространство Фока невзаимодействующих частиц как гильбертово пространство - в том смысле, что мы бы идентифицировали гильбертовы пространства через полиномы, действующие на вакуум в определенное время.

Связь с другими рамками и концепциями квантовой теории поля [ править ]

Структура Вайтмана не охватывает состояния с бесконечной энергией, такие как состояния с конечной температурой.

В отличие от локальной квантовой теории поля , аксиомы Вайтмана явно ограничивают причинную структуру теории, налагая либо коммутативность, либо антикоммутативность между пространственноподобными разделенными полями, вместо вывода причинной структуры в виде теоремы. Если рассматривать обобщение аксиом Вайтмана на измерения, отличные от 4, этот постулат (анти) коммутативности исключает энионы и статистику кос в более низких измерениях.

Постулат Вайтмана об уникальном вакуумном состоянии не обязательно делает аксиомы Вайтмана непригодными для случая спонтанного нарушения симметрии, потому что мы всегда можем ограничиться сектором суперселекции .

Цикличность вакуума, требуемая аксиомами Вайтмана, означает, что они описывают только сектор сверхотбора вакуума; опять же, это не большая потеря общности. Однако это предположение не учитывает состояния с конечной энергией, такие как солитоны, которые не могут быть сгенерированы полиномом полей, размазанных тестовыми функциями, потому что солитон, по крайней мере, с теоретико-полевой точки зрения, является глобальной структурой, включающей топологические граничные условия на бесконечности.

Структура Вайтмана не охватывает эффективных теорий поля, потому что нет предела тому, насколько мала поддержка тестовой функции. Т.е. шкалы отсечки нет .

Структура Вайтмана также не охватывает калибровочные теории . Даже в абелевых калибровочных теориях традиционные подходы начинаются с «гильбертова пространства» с неопределенной нормой (следовательно, это не совсем гильбертово пространство, которое требует положительно определенной нормы, но, тем не менее, физики называют его гильбертовым пространством) и физических состояний и физических операторы принадлежат когомологиям . Очевидно, это нигде в структуре Вайтмана не рассматривается. (Однако, как показали Швингер, Христос и Ли, Грибов, Цванцигер, Ван Баал и др., Каноническое квантование калибровочных теорий в кулоновской калибровке возможно с обычным гильбертовым пространством, и это может быть способом заставить их подпадать под применимость систематики аксиом.)

Аксиомы Вайтмана можно перефразировать в терминах состояния, называемого функционалом Вайтмана на алгебре Борчерса, равным тензорной алгебре пространства пробных функций.

Существование теорий, удовлетворяющих аксиомам [ править ]

Можно обобщить аксиомы Вайтмана на измерения, отличные от 4. В размерностях 2 и 3 были построены взаимодействующие (т. Е. Несвободные) теории, удовлетворяющие этим аксиомам.

В настоящее время нет доказательств того, что аксиомы Вайтмана могут выполняться для взаимодействующих теорий в размерности 4. В частности, Стандартная модель физики элементарных частиц не имеет математически строгих оснований. Приз в миллион долларов за доказательство того, что аксиомы Вайтмана могут быть выполнены для калибровочных теорий , с дополнительным требованием разрыва в массах.

Теорема восстановления Остервальдера – Шредера [ править ]

При определенных технических предположениях было показано, что евклидова КТП может быть повернута по Вику в КТП Вайтмана. См. Теорему Остервальдера – Шредера . Эта теорема является ключевым инструментом для построения взаимодействующих теорий в размерностях 2 и 3, удовлетворяющих аксиомам Вайтмана.

См. Также [ править ]

• Шестая проблема Гильберта
• Локальная квантовая теория поля
• Аксиомы Хаага-Кастлера

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Артур Вайтман , «Шестая проблема Гильберта: математическое рассмотрение аксиом физики», в FE Browder (ed.): Vol. 28 (часть 1) Proc. Symp. Чистая математика. , Амер. Математика. Soc., 1976, стр. 241–268.
• Res Jost , Общая теория квантованных полей , Amer. Математика. Soc., 1965.