Конформная теория поля

Конформная теория поля ( CFT ) является квантовой теорией поля , которая инвариантна при конформных преобразованиях . В двух измерениях существует бесконечномерная алгебра локальных конформных преобразований, и конформные теории поля иногда могут быть точно решены или классифицированы.

Конформная теория поля имеет важные приложения ^[1] в физике конденсированного состояния , статистической механике , квантовой статистической механике и теории струн . Статистические системы и системы конденсированного состояния действительно часто конформно инвариантны в своих термодинамических или квантовых критических точках .

Масштабная инвариантность против конформной инвариантности [ править ]

В квантовой теории поля , масштабная инвариантность является общей и естественной симметрией, потому что любая неподвижной точка ренормгруппы является масштабным определением инварианта. Конформная симметрия сильнее масштабной инвариантности, и нужны дополнительные предположения, чтобы утверждать, что она должна появляться в природе. Основная идея, лежащая в основе его правдоподобия, заключается в том, что в теориях, инвариантных к локальному масштабу, токи задаются выражением где - вектор Киллинга и является сохраняющимся оператором (тензором напряжений) размерности . Чтобы связанные симметрии включали масштабные, но не конформные преобразования, след${\ Displaystyle Т _ {\ му \ ню} \ хи ^ {\ ню}}$${\ Displaystyle \ хи ^ {\ ню}}$${\ Displaystyle Т _ {\ му \ ню}}$${\ displaystyle d}$${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}$должна быть ненулевой полной производной, что означает, что существует точно несохраняющийся оператор размерности .${\displaystyle d-1}$

При некоторых предположениях можно полностью исключить этот тип неперенормировки и, следовательно, доказать, что масштабная инвариантность подразумевает конформную инвариантность в квантовой теории поля, например, в унитарных компактных конформных теориях поля в двух измерениях.

Хотя квантовая теория поля может быть масштабно-инвариантной, но не конформно-инвариантной, примеры редки. ^[2] По этой причине эти термины часто используются как синонимы в контексте квантовой теории поля.

Два измерения против более высоких измерений [ править ]

Число независимых конформных преобразований бесконечно в двух измерениях и конечно в более высоких измерениях. Это делает конформную симметрию гораздо более ограничивающей в двух измерениях. Все теории конформного поля разделяют идеи и методы конформного бутстрапа . Но полученные уравнения более эффективны в двух измерениях, где они иногда точно решаются (например, в случае минимальных моделей ), чем в более высоких измерениях, где преобладают численные подходы.

Развитие конформной теории поля шло раньше и глубже в двумерном случае, в частности, после статьи Белавина, Полякова и Замолодчикова в 1983 году. ^[3] Термин конформная теория поля иногда использовался в значении двумерной конформной теории поля , как в названии учебника 1997 года. ^[4] Многомерные конформные теории поля стали более популярными в связи с соответствием AdS / CFT в конце 1990-х и развитием численных методов конформного бутстрапа в 2000-х.

Глобальная и локальная конформная симметрия в двух измерениях [ править ]

Глобальная конформная группа сферы Римана - это группа преобразований Мёбиуса , которая конечномерна. С другой стороны, бесконечно малые конформные преобразования образуют бесконечномерную алгебру Витта : конформные уравнения Киллинга в двух измерениях сводятся только к уравнениям Коши-Римана , бесконечность режимов произвольных аналитических преобразований координат дает бесконечность векторных полей Киллинга .${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu },~}$${\displaystyle \partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})}$${\displaystyle \xi (z)}$ ${\displaystyle z^{n}\partial _{z}}$

Строго говоря, двумерная конформная теория поля может быть локальной (в смысле наличия тензора напряжений), в то же время проявляя инвариантность только относительно глобального . Это оказывается уникальным для неунитарных теорий; примером является бигармонический скаляр. ^[5] Это свойство следует рассматривать как еще более особенное, чем масштаб без конформной инвариантности, поскольку оно требует полной второй производной.${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}$

Глобальная конформная симметрия в двух измерениях является частным случаем конформной симметрии в более высоких измерениях и изучается с помощью тех же методов. Это делается не только в теориях, которые обладают глобальной, но не локальной конформной симметрией, но также и в теориях, которые действительно обладают локальной конформной симметрией, с целью проверки методов или идей из многомерной CFT. В частности, методы численного бутстрапа могут быть протестированы путем применения их к минимальным моделям и сравнения результатов с известными аналитическими результатами, вытекающими из локальной конформной симметрии.

Конформные теории поля с алгеброй симметрии Вирасоро [ править ]

В конформно-инвариантной двумерной квантовой теории алгебра Витта инфинитезимальных конформных преобразований должна быть централизованно расширена . Таким образом, квантовая алгебра симметрии - это алгебра Вирасоро , которая зависит от числа, называемого центральным зарядом . Это центральное расширение также можно понять в терминах конформной аномалии .

Александр Замолодчиков показал, что существует функция, которая монотонно убывает под потоком ренормгруппы в двумерной квантовой теории поля и равна центральному заряду в двумерной конформной теории поля. Это известно как C-теорема Замолодчикова , и она говорит нам, что поток ренормгруппы в двух измерениях необратим.

Помимо централизованного расширения, алгебра симметрий конформно-инвариантной квантовой теории должна быть комплексифицирована, что приведет к появлению двух копий алгебры Вирасоро. В евклидовом КТП эти копии называются голоморфными и антиголоморфными. В лоренцевой КФТ они называются левосторонними и правосторонними. Обе копии имеют одинаковую центральную плату.

Пространство состояний в теории является представлением произведения двух алгебр Вирасора. Это пространство является гильбертовым пространством, если теория унитарна. Это пространство может содержать состояние вакуума или, в статистической механике, тепловое состояние. Пока центральный заряд не обращается в ноль, не может существовать состояния, которое не нарушает всю бесконечномерную конформную симметрию. Лучшее, что мы можем иметь, - это состояние, инвариантное относительно генераторов алгебры Вирасоро, базис которых является . Он содержит генераторы глобальных конформных преобразований. Остальная часть конформной группы разрушается самопроизвольно.${\displaystyle L_{n\geq -1}}$${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle L_{-1},L_{0},L_{1}}$

Конформная симметрия [ править ]

Определение и якобиан [ править ]

Для данного пространства-времени и метрики конформное преобразование - это преобразование, которое сохраняет углы. Мы сосредоточимся на конформных преобразованиях плоско- мерного евклидова пространства или пространства Минковского .${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,d-1}}$

Если - конформное преобразование, якобиан имеет вид ${\displaystyle x\to f(x)}$${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}}$

${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)=\Omega (x)R_{\nu }^{\mu }(x),}$

где - коэффициент масштабирования, а - вращение (т.е. ортогональная матрица) или преобразование Лоренца.${\displaystyle \Omega (x)}$${\displaystyle R_{\nu }^{\mu }(x)}$

Конформная группа [ править ]

Конформная группа локально изоморфна (евклидовой) или (Минковский). Сюда входят переводы, вращения (евклидовы) или преобразования Лоренца (Минковский), а также растяжения, то есть масштабные преобразования. ${\displaystyle SO(1,d+1)}$${\displaystyle SO(2,d)}$

${\displaystyle x^{\mu }\to \lambda x^{\mu }.}$

Это также включает специальные конформные преобразования. Для любого перевода существует специальное конформное преобразование${\displaystyle T_{a}(x)=x+a}$

${\displaystyle S_{a}=I\circ T_{a}\circ I,}$

где такое обращение , что ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I\left(x^{\mu }\right)={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}.}$

В сфере инверсия меняется на . Переводы остаются неизменными, а специальные конформные преобразования - фиксированными.${\displaystyle S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 0}$

Конформная алгебра [ править ]

Коммутационные соотношения соответствующей алгебры Ли следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0,\\[][D,K_{\mu }]&=-K_{\mu },\\[][D,P_{\mu }]&=P_{\mu },\\[][K_{\mu },K_{\nu }]&=0,\\[][K_{\mu },P_{\nu }]&=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu },\end{aligned}}}$

где генерировать переводы , генерировать расширения, генерировать специальные конформные преобразования и генерировать вращения или преобразования Лоренца. Тензор - это плоская метрика.${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle K_{\mu }}$${\displaystyle M_{\mu \nu }}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

Глобальные проблемы в пространстве Минковского [ править ]

В пространстве Минковского конформная группа не сохраняет причинности . Наблюдаемые, такие как корреляционные функции, инвариантны относительно конформной алгебры, но не под конформной группой. Как показали Люшер и Мак, можно восстановить инвариантность относительно конформной группы, расширив плоское пространство Минковского до лоренцевского цилиндра. ^[6] Исходное пространство Минковского конформно эквивалентно области цилиндра, называемой пятном Пуанкаре. В цилиндре глобальные конформные преобразования не нарушают причинно-следственную связь: вместо этого они могут перемещать точки за пределы участка Пуанкаре.

Корреляционные функции и конформный бутстрап [ править ]

В конформном бутстраповском подходе конформная теория поля представляет собой набор корреляционных функций, которые подчиняются ряду аксиом.

Функция корреляции точек является функцией положений и других параметров полей . В бутстраповском подходе сами поля имеют смысл только в контексте корреляционных функций и могут рассматриваться как эффективные обозначения для записи аксиом для корреляционных функций. В частности, корреляционные функции линейно зависят от полей .${\displaystyle n}$${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle }$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle O_{1},\dots ,O_{n}}$${\displaystyle \partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle }$

Мы фокусируемся на CFT на евклидовом пространстве . В этом случае корреляционные функции являются функциями Швингера . Они определены для и не зависят от порядка полей. В пространстве Минковского корреляционные функции - это функции Вайтмана . Они могут зависеть от порядка полей, поскольку поля коммутируют, только если они разделены пространственноподобным образом. Евклидова CFT может быть связана с CFT Минковского вращением Вика , например, благодаря теореме Остервальдера-Шредера . В таких случаях корреляционные функции Минковского получаются из евклидовых корреляционных функций с помощью аналитического продолжения, которое зависит от порядка полей.${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$

Поведение при конформных преобразованиях [ править ]

Любое конформное преобразование действует линейно на поля , так что это представление конформной группы, а корреляционные функции инвариантны:${\displaystyle x\to f(x)}$${\displaystyle O(x)\to \pi _{f}(O)(x)}$${\displaystyle f\to \pi _{f}}$

${\displaystyle \left\langle \pi _{f}(O_{1})(x_{1})\cdots \pi _{f}(O_{n})(x_{n})\right\rangle =\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle .}$

Первичные поля - это поля, которые трансформируются сами в себя через . Поведение первичного поля характеризуется числом, называемым его конформной размерностью , и представлением вращения или группы Лоренца. Тогда для первичного поля мы имеем ${\displaystyle \pi _{f}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }\rho (R(x'))O(x'),\quad {\text{where}}\ x'=f^{-1}(x).}$

Здесь и - коэффициент масштабирования и поворот, связанные с конформным преобразованием . Представление тривиально в случае скалярных полей, которые преобразуются как . Для векторных полей представление является фундаментальным представлением, и мы бы это сделали .${\displaystyle \Omega (x)}$${\displaystyle R(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')}$

Первичное поле, которое характеризуется конформной размерностью и представлением, ведет себя как вектор старшего веса в индуцированном представлении конформной группы из подгруппы, порожденной растяжениями и вращениями. В частности, конформная размерность характеризует представление подгруппы растяжений. В двух измерениях тот факт, что это индуцированное представление является модулем Верма, встречается во всей литературе. Для многомерных CFT (в которых максимально компактная подалгебра больше, чем подалгебра Картана ), недавно было признано, что это представление является параболическим или обобщенным модулем Верма . ^[7]${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Delta }$

Производные (любого порядка) первичных полей называются полями-потомками . Их поведение при конформных преобразованиях сложнее. Например, если это первичное поле, то это линейная комбинация и . Корреляционные функции дочерних полей могут быть выведены из корреляционных функций первичных полей. Однако даже в общем случае, когда все поля являются либо первичными, либо их потомками, поля-потомки играют важную роль, потому что конформные блоки и расширения произведения операторов включают суммы по всем полям-потомкам.${\displaystyle O}$${\displaystyle \pi _{f}(\partial _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)}$${\displaystyle \partial _{\mu }O}$${\displaystyle O}$

Совокупность всех первичных полей , характеризуемых их масштабными размерностями и представлениями , называется спектром теории.${\displaystyle O_{p}}$${\displaystyle \Delta _{p}}$${\displaystyle \rho _{p}}$

Зависимость от полевых позиций [ править ]

Инвариантность корреляционных функций относительно конформных преобразований сильно ограничивает их зависимость от положения полей. В случае двух- и трехточечных функций эта зависимость определяется с точностью до конечного числа постоянных коэффициентов. Функции более высоких точек имеют большую свободу и определяются только с точностью до функций конформно-инвариантных комбинаций позиций.

Двухточечная функция двух первичных полей обращается в нуль, если их конформные размеры различаются.

${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}\implies \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\right\rangle =0.}$

Если оператор растяжения диагонализуем (т. Е. Если теория не логарифмическая), существует такой базис первичных полей, что двухточечные функции диагональны, т . Е. В этом случае двухточечная функция скалярного первичного поля равна ${\displaystyle i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle O(x_{1})O(x_{2})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

где мы выбираем нормировку поля так, чтобы постоянный коэффициент, не определяемый конформной симметрией, был равен единице. Точно так же двухточечные функции нефалярных первичных полей определяются с точностью до коэффициента, который может быть установлен равным единице. В случае симметричного бесследового тензора ранга двухточечная функция имеет вид ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \left\langle O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{1})O_{\nu _{1},\dots ,\nu _{\ell }}(x_{2})\right\rangle ={\frac {\prod _{i=1}^{\ell }I_{\mu _{i},\nu _{i}}(x_{1}-x_{2})-{\text{traces}}}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

где тензор определяется как ${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)}$

${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)=\eta _{\mu \nu }-{\frac {2x_{\mu }x_{\nu }}{x^{2}}}.}$

Трехточечная функция трех скалярных первичных полей есть

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{3}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

где , - трехточечная структурная постоянная . С первичными полями, которые не обязательно являются скалярами, конформная симметрия допускает конечное число тензорных структур, и для каждой тензорной структуры существует структурная константа. В случае двух скалярных полей и симметричного бесследового тензора ранга существует только одна тензорная структура, и трехточечная функция имеет вид ${\displaystyle x_{ij}=x_{i}-x_{j}}$${\displaystyle C_{123}}$${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}\left(\prod _{i=1}^{\ell }V_{\mu _{i}}-{\text{traces}}\right)}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

где мы вводим вектор

${\displaystyle V_{\mu }={\frac {x_{13}^{\mu }x_{23}^{2}-x_{23}^{\mu }x_{13}^{2}}{|x_{12}||x_{13}||x_{23}|}}.}$

Четырехточечные функции скалярных первичных полей определяются с точностью до произвольных функций двух перекрестных отношений${\displaystyle g(u,v)}$

${\displaystyle u={\frac {x_{12}^{2}x_{34}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}\ ,\ v={\frac {x_{14}^{2}x_{23}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}.}$

Тогда четырехточечная функция будет ^[8]

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle ={\frac {\left({\frac {|x_{24}|}{|x_{14}|}}\right)^{\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left({\frac {|x_{14}|}{|x_{13}|}}\right)^{\Delta _{3}-\Delta _{4}}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}}|x_{34}|^{\Delta _{3}+\Delta _{4}}}}g(u,v).}$

Расширение продукта оператора [ править ]

Операторное разложение продукта (ОПЭ) является более мощным в конформной теории поля , чем в более общих теориях квантового поля. Это связано с тем, что в конформной теории поля радиус сходимости операторного разложения конечен (т. Е. Не равен нулю). Если позиции двух полей достаточно близки, оператор расширения продукта переписывает произведение этих двух полей как линейную комбинацию полей в заданной точке, которую можно выбрать для технического удобства.${\displaystyle x_{1},x_{2}}$${\displaystyle x_{2}}$

Операторное разложение продукта двух полей принимает вид

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{k}c_{12k}(x_{1}-x_{2})O_{k}(x_{2}),}$

где - некоторая коэффициентная функция, а сумма в принципе проходит по всем полям теории. (Эквивалентно, из-за соответствия поля состояния, сумма проходит по всем состояниям в пространстве состояний.) Некоторые поля могут фактически отсутствовать, в частности, из-за ограничений симметрии: конформной симметрии или дополнительных симметрий.${\displaystyle c_{12k}(x)}$

Если все поля являются первичными или дочерними, сумма по полям может быть уменьшена до суммы по первичным, переписав вклад любого потомка в терминах вклада соответствующего первичного:

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{p}C_{12p}P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})O_{p}(x_{2}),}$

где все поля являются первичными, а - трехточечная структурная константа (которая по этой причине также называется коэффициентом OPE ). Дифференциальный оператор представляет собой бесконечный ряд по производным, который определяется конформной симметрией и поэтому в принципе известен.${\displaystyle O_{p}}$${\displaystyle C_{12p}}$${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$

Рассмотрение OPE как отношения между корреляционными функциями показывает, что OPE должен быть ассоциативным. Кроме того, если пространство евклидово, OPE должен быть коммутативным, потому что корреляционные функции не зависят от порядка полей, т . Е.${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})}$

Существование операторного разложения - фундаментальная аксиома конформного бутстрапа. Однако, как правило, нет необходимости вычислять операторные разложения и, в частности, дифференциальные операторы . Скорее, требуется разложение корреляционных функций на структурные константы и конформные блоки. OPE в принципе можно использовать для вычисления конформных блоков, но на практике есть более эффективные методы.${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$

Конформные блоки и пересекающаяся симметрия [ править ]

Используя OPE , четырехточечная функция может быть записана как комбинация трехточечных структурных констант и конформных блоков s-канала ,${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{12p}C_{p34}G_{p}^{(s)}(x_{i}).}$

Конформный блок - это сумма вкладов первичного поля и его потомков. Это зависит от полей и их положения. Если трехточечные функции или включают несколько независимых тензорных структур, структурные константы и конформные блоки зависят от этих тензорных структур, а первичное поле вносит вклад в несколько независимых блоков. Конформные блоки определяются конформной симметрией и известны в принципе. Для их вычисления существуют рекурсивные соотношения ^[7] и интегрируемые методы. ^[9]${\displaystyle G_{p}^{(s)}(x_{i})}$${\displaystyle O_{p}}$${\displaystyle O_{i}}$${\displaystyle \left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle }$${\displaystyle \left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle }$${\displaystyle O_{p}}$

Используя OPE или , та же четырехточечная функция записывается в терминах конформных блоков t-канала или конформных блоков u-канала ,${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})}$${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{3}(x_{3})}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{14p}C_{p23}G_{p}^{(t)}(x_{i})=\sum _{p}C_{13p}C_{p24}G_{p}^{(u)}(x_{i}).}$

Равенство разложений s-, t- и u-каналов называется перекрестной симметрией : ограничение на спектр первичных полей и на константы трехточечной структуры.

Конформные блоки подчиняются тем же ограничениям конформной симметрии, что и четырехточечные функции. В частности, s-канальные конформные блоки могут быть записаны в терминах функций перекрестных отношений. В то время как OPE сходится только в том случае , если , конформные блоки могут быть аналитически продолжены для всех (не совпадающих попарно) значений позиций. В евклидовом пространстве конформные блоки являются однозначными вещественно-аналитическими функциями позиций, за исключением случаев, когда четыре точки лежат на окружности, но в однократно транспонированном циклическом порядке [1324], и только в этих исключительных случаях выполняется разложение на конформные блоки не сходятся.${\displaystyle g_{p}^{(s)}(u,v)}$${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$${\displaystyle |x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)}$${\displaystyle x_{i}}$

Таким образом, конформная теория поля в плоском евклидовом пространстве определяется ее спектром и коэффициентами OPE (или трехточечными структурными константами) , удовлетворяющими ограничению, что все четырехточечные функции являются кросс-симметричными. Из спектра и коэффициентов OPE (вместе называемых данными CFT ) могут быть вычислены корреляционные функции произвольного порядка.${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \{(\Delta _{p},\rho _{p})\}}$${\displaystyle \{C_{pp'p''}\}}$

Особенности конформных теорий поля [ править ]

Унитарность [ править ]

Конформная теория поля унитарна, если ее пространство состояний имеет положительно определенное скалярное произведение, такое что оператор растяжения самосопряжен. Затем скалярное произведение наделяет пространство состояний структурой гильбертова пространства .

В евклидовых конформных теориях поля унитарность эквивалентна положительности отражения корреляционных функций: одной из аксиом Остервальдера-Шредера . ^[8]

Унитарность означает, что конформные размерности первичных полей действительны и ограничены снизу. Нижняя граница зависит от измерения пространства-времени и от представления вращения или группы Лоренца, в которой преобразуется первичное поле. Для скалярных полей оценка унитарности равна ^[8]${\displaystyle d}$

${\displaystyle \Delta \geq {\frac {1}{2}}(d-2).}$

В унитарной теории трехточечные структурные константы должны быть действительными, что, в свою очередь, означает, что четырехточечные функции подчиняются определенным неравенствам. Мощные численные методы начальной загрузки основаны на использовании этих неравенств.

Компактность [ править ]

Конформная теория поля компактна, если она удовлетворяет трем условиям: ^[10]

• Все конформные размеры реальны.
• Для любого существует конечное число состояний, размерность которых меньше, чем .${\displaystyle \Delta \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \Delta }$
• Существует уникальное состояние с размерностью , и это состояние вакуума , т.е. соответствующее поле является тождественным полем .${\displaystyle \Delta =0}$

(Поле идентичности - это поле, вставка которого в корреляционные функции не изменяет их, т . Е. ) Название происходит от того факта, что если двумерная конформная теория поля также является сигма-моделью , она будет удовлетворять этим условиям тогда и только тогда, когда ее цель пространство компактно.${\displaystyle \left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle }$

Считается, что все унитарные конформные теории поля компактны по размерности . С другой стороны, без унитарности можно найти КТП в размерности четыре ^[11] и в размерности ^[12], которые имеют непрерывный спектр. А в размерности два теория Лиувилля унитарна, но не компактна.${\displaystyle d>2}$${\displaystyle 4-\epsilon }$

Дополнительные симметрии [ править ]

Конформная теория поля может иметь дополнительные симметрии в дополнение к конформной симметрии. Например, модель Изинга обладает симметрией, а суперконформные теории поля обладают суперсимметрией.${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Примеры [ править ]

Теория среднего поля [ править ]

Обобщенное свободное поле представляет собой поле, корреляционные функции вытекают из его двухточечный функции по теореме Вики . Например, если это скалярное первичное поле измерения , его четырехточечная функция имеет вид ^[13]${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}\phi (x_{i})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta }|x_{34}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{13}|^{2\Delta }|x_{24}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{14}|^{2\Delta }|x_{23}|^{2\Delta }}}.}$

Например, если два скалярных первичных поля такие, что (что, в частности, имеет место, если ), мы имеем четырехточечную функцию${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}$${\displaystyle \langle \phi _{1}\phi _{2}\rangle =0}$${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}}$

${\displaystyle {\Big \langle }\phi _{1}(x_{1})\phi _{1}(x_{2})\phi _{2}(x_{3})\phi _{2}(x_{4}){\Big \rangle }={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta _{1}}|x_{34}|^{2\Delta _{2}}}}.}$

Теория среднего поля - это общее название конформных теорий поля, построенных на обобщенных свободных полях. Например, теория среднего поля может быть построена на основе одного скалярного первичного поля . Затем эта теория включает в себя ее дочерние поля и поля, которые появляются в OPE . Первичные поля, которые появляются в, могут быть определены путем разложения четырехточечной функции на конформные блоки: ^[13] их конформные размерности принадлежат .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi \phi }$${\displaystyle \phi \phi }$${\displaystyle \langle \phi \phi \phi \phi \rangle }$${\displaystyle 2\Delta +2\mathbb {N} }$

Точно так же можно построить теории среднего поля, исходя из поля с нетривиальным лоренцевым спином. Например, 4d- теория Максвелла (в отсутствие полей заряженной материи) - это теория среднего поля, построенная на основе антисимметричного тензорного поля с масштабной размерностью .${\displaystyle F_{\mu \nu }}$${\displaystyle \Delta =2}$

Критическая модель Изинга [ править ]

Критическая модель Изинга критическая точка модели Изинга на гиперкубической решетки в двух или трех измерениях. Он имеет глобальную симметрию, соответствующую переворачиванию всех спинов. Двумерный критическая модель Изинга включает в себя минимальную модель Вирасоро , которая может быть решена точно. Изинга CFT по габаритам нет.${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(4,3)}$ ${\displaystyle d\geq 4}$

Модель Критического Поттса [ править ]

Критическая модель Поттс с цветами является унитарным CFT , что инвариантно относительно группы перестановок . Это обобщение критической модели Изинга, которой соответствует . Критическая модель Поттса существует в различных размерах в зависимости от .${\displaystyle q=2,3,4,\cdots }$ ${\displaystyle S_{q}}$${\displaystyle q=2}$${\displaystyle q}$

Критическая модель Поттса может быть построена как континуальный предел модели Поттса на d -мерной гиперкубической решетке. В переформулировке Фортуина-Кастелейна в терминах кластеров модель Поттса может быть определена для , но она не унитарна, если не является целым числом.${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$${\displaystyle q}$

Критическая модель O (N) [ править ]

Модель критического O (N) является инвариантным ПФТ под ортогональной группы . Для любого целого числа он существует как взаимодействующий, унитарный и компактный КТП в измерениях (а также в двух измерениях). Это обобщение критической модели Изинга, которая соответствует O (N) CFT при .${\displaystyle N}$${\displaystyle d=3}$${\displaystyle N=1}$${\displaystyle N=1}$

O (N) CFT может быть построен как континуальный предел модели решетки со спинами, которые являются N -векторами, обсуждаемыми здесь .

В качестве альтернативы критическая модель может быть построена как предел фиксированной точки Вильсона-Фишера по размерам. При фиксированная точка Вильсона-Фишера становится тензорным произведением свободных скаляров размерности . Ибо рассматриваемая модель неунитарна. ^[14]${\displaystyle O(N)}$${\displaystyle \varepsilon \to 1}$${\displaystyle d=4-\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta =1}$${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

Когда N велико, модель O (N) может быть решена пертурбативно в разложении 1 / N с помощью преобразования Хаббарда – Стратоновича . В частности, хорошо известен предел критической модели O (N).${\displaystyle N\to \infty }$

Конформные калибровочные теории [ править ]

Некоторые конформные теории поля в трех и четырех измерениях допускают лагранжево описание в форме калибровочной теории , абелевой или неабелевой. Примерами таких CFT являются конформная КЭД с достаточно большим количеством заряженных полей в или фиксированная точка Банкса-Закса в .${\displaystyle d=3}$${\displaystyle d=4}$

Приложения [ править ]

Переписка AdS / CFT [ править ]

Конформные теории поля играют заметную роль в AdS / CFT-соответствии , в котором теория гравитации в пространстве анти-де Ситтера (AdS) эквивалентна конформной теории поля на границе AdS. Известные примеры d  = 4, N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса , которая является двойственной к теории струн типа IIB на AdS ₅  × S ⁵ , и D  = 3, N  = 6 супер- теории Черна-Саймонса , который является двойственной к М-теория на AdS ₄  × S ⁷ . (Приставка «супер» означает суперсимметрию , Nобозначает степень расширенной суперсимметрии, которой обладает теория, а d - количество измерений пространства-времени на границе.)

См. Также [ править ]

• Логарифмическая конформная теория поля
• AdS / CFT корреспонденция
• Расширение продукта оператора
• Критическая точка
• Граничная конформная теория поля
• Основное поле
• Суперконформная алгебра
• Конформная алгебра
• Конформный бутстрап
• История конформной теории поля

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Рычков, Слава (2016). «Лекции EPFL по конформной теории поля в D ≥ 3 измерениях». SpringerBriefs по физике . arXiv : 1601.05000 . DOI : 10.1007 / 978-3-319-43626-5 . ISBN 978-3-319-43625-8.
• Мартин Шоттенлохер, Математическое введение в теорию конформного поля , Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, 1997. ISBN 3-540-61753-1 , 2-е издание 2008 г., ISBN 978-3-540-68625-5 .  

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с конформной теорией поля на Викискладе?