Мы говорим, что идеал однороден, если он порождается однородными элементами. Тогда, как набор,
Иногда для краткости будем писать для .
Proj как топологическое пространство
Мы можем определить топологию , называемую топологией Зарисского , на определяя замкнутые множества как те, которые имеют вид
где является однородным идеалом из. Как и в случае аффинных схем, быстро проверяется, чтообразуют замкнутые множества топологии на.
Действительно, если семейство идеалов, то мы имеем и если индексирующее множество I конечно, то.
Точно так же мы можем взять открытые множества в качестве отправной точки и определить
Распространенным сокращением является обозначение D ( Sf ) через D ( f ), где Sf - идеал, порожденный f . Для любого идеала a множества D ( a ) и V ( a ) являются дополнительными, и, следовательно, то же доказательство, что и ранее, показывает, что множества D ( a ) образуют топологию на. Преимущество этого подхода состоит в том, что множества D ( f ), где f пробегает все однородные элементы кольца S , образуют основу этой топологии, которая является незаменимым инструментом для анализа, так же как аналогичный факт для спектра кольца также необходим.
Проект как схема
Мы также построим пучок на, называемый «структурным пучком», как в аффинном случае, что превращает его в схему . Как и в случае конструкции Spec, существует множество способов действовать: наиболее прямой, который также сильно наводит на размышления о построении регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, заключается в следующем. Для любого открытого набора из (который по определению является набором однородных первичных идеалов не содержащий ) определим кольцо быть набором всех функций
(где обозначает подкольцо кольца дробей состоящий из долей однородных элементов одной степени) такой, что для каждого простого идеала из :
является элементом ;
Существует открытое подмножество содержащий и однородные элементы из такой же степени, что для каждого простого идеала из :
не в ;
Непосредственно из определения следует, что сформировать связку колец на , и можно показать, что пара (, ) на самом деле является схемой (это достигается путем демонстрации того, что каждое из открытых подмножеств фактически является аффинной схемой).
Связка, связанная с градуированным модулем
Существенное свойство для вышеуказанной конструкции была возможность формировать локализации для каждого основного идеала из . Этим свойством обладает и любой оцениваемый модуль. над , и, следовательно, с соответствующими незначительными изменениями предыдущий раздел конструирует для любых таких пучок, обозначенный , из -модули на . Этот пучок квазикогерентен по построению. Если порождается конечным числом элементов степени (например, кольцо многочленов или его однородное частное), все квазикогерентные пучки на возникают из градуированных модулей по этой конструкции. [1] Соответствующий градуированный модуль не уникален.
Скручивающийся сноп Серра
Дополнительную информацию, а также о классической твист-связке Серра см. В тавтологической связке.
Частный случай связки, связанной с градуированным модулем, - это когда мы берем быть с другой оценкой: а именно, мы позволяем степени элементы быть степень элементы , так
и обозначим . Тогда получаем как квазикогерентный пучок на , обозначенный или просто , Называется вращательным пучок из Серра . Можно проверить, что на самом деле является обратимым пучком .
Одна из причин полезности в том, что он восстанавливает алгебраическую информацию что было потеряно, когда при строительстве , мы перешли к дробям нулевой степени. В случае Spec A для кольца A глобальные секции структурного пучка образуют сам A , в то время как глобальные секции здесь образуют только элементы нулевой степени . Если мы определим
затем каждый содержит степень- информация о , обозначенный , и вместе они содержат всю потерянную информацию об аттестации. Аналогично, для любой пачки градуированных-модули мы определяем
и ожидайте, что эта "скрученная" связка будет содержать информацию о градации . В частности, если связка, связанная с градуированной -модуль мы также ожидаем, что он будет содержать потерянную информацию об оценке . Это предполагает, хотя и ошибочно, чтофактически может быть реконструирован из этих пучков; в виде
Если кольцо, определим проективное n -пространство надбыть схемой
Градуировка на кольце многочленов определяется, позволяя каждому иметь степень один и каждый элемент , нулевая степень. Сравнивая это с определением, выше, мы видим, что секции на самом деле линейные однородные многочлены, порожденные сами себя. Это предполагает другую интерпретацию, а именно как пучок «координат» для , поскольку буквально координаты для проективных -космос.
Примеры Proj
Proj над аффинной линией
Если мы позволим базовому кольцу быть , тогда
имеет канонический проективный морфизм к аффинной прямой слои которого представляют собой эллиптические кривые, за исключением точек где кривые вырождаются в узловые. Итак, есть расслоение
в -переменные могут быть преобразованы в проективную схему с помощью конструкции proj для градуированной алгебры
дающий вложение проективных многообразий в проективные схемы.
Весовое проективное пространство
Весовые проективные пространства можно построить с помощью кольца многочленов, переменные которого имеют нестандартные степени. Например, взвешенное проективное пространство соответствует взятию кольца где иметь вес пока имеет вес 2.
Бигрейдные кольца
Конструкция проекта распространяется на бигрейдные и разноуровневые кольца. Геометрически это соответствует взятию произведений проективных схем. Например, учитывая градуированные кольца
со степенью каждого генератора . Тогда тензорное произведение этих алгебр над дает биградируемую алгебру
где иметь вес и иметь вес . Тогда конструкция proj дает
который является продуктом проективных схем. Такие схемы можно вложить в проективное пространство, взяв полную градуированную алгебру
где степень элемент рассматривается как степень элемент. Это означает -й оцениваемый кусок модуль
Кроме того, схема теперь поставляется с бигрейдными шкивами которые являются тензорным произведением пучков где
а также
являются каноническими проекциями, возникающими в результате инъекций этих алгебр из диаграммы тензорного произведения коммутативных алгебр.
Глобальный проект
Обобщение конструкции Рго заменяет кольцо S с пучком алгебр и производит, как конечный результат, схема , которая может рассматриваться как пучок Рго - х колец. Эта конструкция часто используется, например, для построения расслоений проективных пространств над базовой схемой .
Предположения
Формально пусть X - произвольная схема, а S - пучок градуированных-алгебры (определение которых аналогично определению -модули на локально окольцованном пространстве ): то есть пучок с разложением в прямую сумму
где каждый является -модуль такой, что для любого открытого подмножества U в X , S ( U ) является-алгебра и полученное разложение в прямую сумму
является градуировкой этой алгебры как кольца. Здесь мы предполагаем, что. Сделаем дополнительное предположение, что S - квазикогерентный пучок ; это предположение о «согласованности» сечений над различными открытыми множествами, которое необходимо для продолжения построения.
Строительство
В этой установке мы можем построить схему и «проекция» отображение р на X , что для каждого открытой аффинного U из X ,
Это определение предполагает, что мы построим сначала определив схемы для каждого открытого аффинного U , установив
и карты , а затем показав, что эти данные могут быть склеены вместе «над» каждым пересечением двух открытых аффинных элементов U и V, чтобы сформировать схему Y, которую мы определяем как. Нетрудно показать, что определение каждого быть отображением, соответствующим включению в S ( U ) как элементы нулевой степени дает необходимую согласованность, а последовательность Сами следует из квази-когерентного предположения о S .
Скручивающаяся связка
Если S обладает дополнительным свойством, чтоявляется когерентным пучком и локально порождает S над(то есть, когда мы переходим к стержню пучка S в точке x из X , которая является градуированной алгеброй, элементы нулевой степени которой образуют кольцо то элементы первой степени образуют конечно порожденный модуль над а также сгенерировать стебель как алгебру над ним), тогда мы можем сделать дальнейшую конструкцию. Над каждым открытым аффинным U Proj S ( U ) несет обратимый пучок O (1) , и только что сделанное нами предположение гарантирует, что эти пучки можно склеить так же, каквыше; получившаяся связка натакже обозначается O (1) и служит почти той же цели для как скручивающая связка на Proj кольца.
Проект квазикогерентного пучка
Позволять - квазикогерентный пучок на схеме . Пучок симметрических алгебр естественно является квазикогерентным пучком градуированных -модули, порожденные элементами степени 1. Полученная схема обозначается через . Если имеет конечный тип, то его канонический морфизм является проективным морфизмом . [2]
Для любой , слой указанного морфизма над проективное пространство ассоциированный с двойственным векторным пространством над .
Если представляет собой квазикогерентный пучок градуированных -модули, сгенерированные и такой, что конечного типа, то замкнутая подсхема и тогда проективен над . Фактически каждая замкнутая подсхема проективногоимеет такую форму. [3]
Связки проективных пространств
Как частный случай, когда локально свободен от ранга , получаем проективное расслоение над относительного измерения . Действительно, если мы возьмем открытое покрытие из X открытой affines таким образом, что при ограничении каждого из них, свободна над A , то
и поэтому является проективным пространственным расслоением. Многие семейства многообразий могут быть построены как подсхемы этих проективных расслоений, такие как семейство эллиптических кривых Вейерштрасса. Подробнее читайте в основной статье.
Пример глобального проекта
Global proj можно использовать для создания карандашей Лефшеца . Например, пусть и возьмем однородные многочлены степени k. Можно рассматривать идеальный пучок из и построим глобальную проекцию этого факторпучка алгебр . Это можно явно описать как проективный морфизм.
Смотрите также
Проективное пространство
Алгебраическая геометрия проективных пространств
Проективизация
Рекомендации
^ Ravi Vakil (2015). Основы алгебраической геометрии (PDF) ., Следствие 15.4.3.
^ EGA , II.5.5.
^ EGA , II.5.5.1.
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). "Элементы геометрической модели: II. Глобальный эксперимент по классам морфизмов" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 . DOI : 10.1007 / bf02699291 . Руководство по ремонту 0217084 .
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157