В математике , А расслоение является обобщением расслоения капельного состояние локальной структуры продукта. Требование локальной структуры продукта основывается на топологии пакета . Без этого требования более общие объекты могут считаться связками. Например, можно рассмотреть расслоение я: E → B с E и B множеств . Уже неверно, что все прообразы должны выглядеть одинаково, в отличие от расслоений, в которых все слои должны быть изоморфными (в случае векторных расслоений ) и гомеоморфными .
Определение [ править ]
Расслоение - это тройка ( E , p , B ), где E , B - множества, а p : E → B - отображение. [1]
- E называется полным пространством
- B - базовое пространство пучка
- p - проекция
Это определение пакета не ограничивает. Например, пустая функция определяет пакет. Тем не менее, он хорошо подходит для введения базовой терминологии, и каждый тип пакета имеет основные компоненты, указанные выше, с ограничениями на E , p , B и обычно имеет дополнительную структуру.
Для каждого б ∈ B , р -1 ( б ) представляет собой волокно или волокно из пучка над б .
Пучок ( Е * , р * , B * ) является подрасслоением из ( Е , р , В ) , если B * ⊂ B , E * ⊂ E и р * = р | E * .
Сечение представляет собой карту с : B → E такое , что р ( ы ( б )) = Ь для каждого Ь ∈ B , то есть, ев ( б ) ∈ р -1 ( б ) .
Примеры [ править ]
- Если E и B - гладкие многообразия, а p - гладкое, сюръективное и, кроме того, субмерсия , то расслоение является расслоенным многообразием . Здесь и в следующих примерах условие гладкости может быть ослаблено до непрерывного или усилено до аналитического, или оно может быть любым разумным, например, непрерывно дифференцируемым ( C 1 ), промежуточным.
- Если для каждых двух точек б 1 и б 2 в основании, соответствующие волокна р -1 ( б 1 ) и р -1 ( б 2 ) являются гомотопически эквивалентны , то расслоение является расслоением .
- Если для каждых двух точек б 1 и б 2 в основании, соответствующие волокна р -1 ( б 1 ) и р -1 ( б 2 ) являются гомеоморфными , и, кроме того , что расслоение удовлетворяет определенные условия локальной тривиальности , изложенные в ОТНОСЯЩЕМСЯ связанные статьи, то пучок представляет собой пучок волокон . Обычно есть дополнительная структура, например, групповая структура или структура векторного пространства., на волокнах помимо топологии. Затем требуется, чтобы гомеоморфизм был изоморфизмом по отношению к этой структуре, и соответственно уточняются условия локальной тривиальности.
- Главное расслоение является расслоением наделен правом действий группы с определенными свойствами. Одним из примеров основного комплекта является комплект кадров .
- Если для каждых двух точек b 1 и b 2 в базе соответствующие слои p −1 ( b 1 ) и p −1 ( b 2 ) являются векторными пространствами одной размерности, то расслоение является векторным расслоением, если подходящие выполнены условия локальной тривиальности. Касательное расслоение является примером векторного расслоения.
Объединить объекты [ править ]
В более общем смысле , пучки или расслоение объекты могут быть определены в любой категории : в категории C , пучок является просто эпиморфизм π: E → B . Если категория не конкретна , то понятие прообраза карты не обязательно доступно. Следовательно, в этих связках может вообще не быть волокон, хотя для категорий с достаточно хорошим поведением они есть; например, для категории с откатами и терминального объекта 1 точки B можно отождествить с морфизмами p : 1 → B и слоем pполучается как откат p и π. Категория расслоений над B является подкатегорией категории срезов ( C ↓ B ) объектов над B , в то время как категория расслоений без фиксированного базового объекта является подкатегорией категории запятых ( C ↓ C ), которая также является категорией функторов C ², категория морфизмов в C .
Категория гладких векторных расслоений - это объект расслоения над категорией гладких многообразий в Cat , категорией малых категорий . Функтор принимает каждый коллектор к его касательного расслоения является примером секции этого расслоения объекта.
См. Также [ править ]
- Пучок волокон
- Фибрация
- Волокнистый коллектор
Заметки [ править ]
- ^ Husemoller 1994 р 11.
Ссылки [ править ]
- Голдблатт, Роберт (2006) [1984]. Топои, категориальный анализ логики . Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. Проверено 2 ноября 2009 .
- Хусемоллер, Дейл (1994) [1966], Связки волокон , Тексты для выпускников по математике, 20 , Springer, ISBN 0-387-94087-1
- Васильев, Виктор (2001) [2001], Введение в топологию , Студенческая математическая библиотека, Американское математическое общество, ISBN 0821821628