Пучок алгебр

В алгебраической геометрии пучок алгебр на окольцованном пространстве X - это пучок коммутативных колец на X, который также является пучком -модулей${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ . Он является квазикогерентным, если таковым является как модуль.

Когда X - схема , как и кольцо, можно взять глобальную Spec квазикогерентного пучка алгебр: это приводит к контравариантному функтору из категории квазикогерентных (пучков) -алгебр на X в категорию схем, аффинных над X (определенных ниже). Более того, это эквивалентность: квазиобратное выражение задается отправкой аффинного морфизма в ^[1]${\ displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle f: от Y \ до X}$${\ displaystyle f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {Y}.}$

Аффинный морфизм [ править ]

Морфизм схем называется аффинным , если есть открытое аффинное покрытие «ы такие , что аффинные. ^[2] Например, конечный морфизм аффинен. Аффинный морфизм квазикомпактен и разделен ; в частности, прямой образ квазикогерентного пучка вдоль аффинного морфизма квазикогерентен.${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (U_ {i})}$

Замена базы аффинного морфизма аффинна. ^[3]

Пусть аффинная морфизм между схемами и локально окольцованное пространство вместе с картой . Тогда естественная карта между множествами:${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle g: E \ to Y}$

${\displaystyle \operatorname {Mor} _{Y}(E,X)\to \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{Y}-{\text{alg}}}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X},g_{*}{\mathcal {O}}_{E})}$

биективен. ^[4]

Примеры [ править ]

• Пусть нормализация алгебраического многообразия X . Тогда, поскольку f конечно, квазикогерентно и .${\displaystyle f:{\widetilde {X}}\to X}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}})={\widetilde {X}}}$
• Пусть локально свободный пучок конечного ранга на схеме X . Тогда является квазикогерентной -алгеброй и является ассоциированным векторным расслоением над X (называемым тотальным пространством .)${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (E^{*})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (E^{*}))\to X}$${\displaystyle E}$
• В более общем смысле, если F - когерентный пучок на X , то он все еще имеет , обычно называемую абелевой оболочкой F ; см. Конус (алгебраическая геометрия) # Примеры .${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (F))\to X}$

Формирование прямых образов [ править ]

Для окольцованного пространства S существует категория пар, состоящая из морфизма окольцованного пространства и -модуля . Тогда формирование прямых образов определяет контравариантный функтор из в категорию пар, состоящую из -алгебры A и A -модуля M , отправляющего каждую пару в пару .${\displaystyle C_{S}}$${\displaystyle (f,M)}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle (f,M)}$${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}},f_{*}M)}$

Теперь предположим, что S - схема, а затем пусть - подкатегория, состоящая из пар таких, что является аффинным морфизмом между схемами и квазикогерентным пучком на . Тогда указанный выше функтор определяет эквивалентность между и категорией пар, состоящих из -алгебры A и квазикогерентного -модуля . ^[5]${\displaystyle \operatorname {Aff} _{S}\subset C_{S}}$${\displaystyle (f:X\to S,M)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Aff} _{S}}$${\displaystyle (A,M)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

Вышеупомянутая эквивалентность может использоваться (среди прочего) для выполнения следующей конструкции. Как и раньше, учитывая схему S , пусть быть квазикогерентной алгеброй , а затем принять его глобальный Spec: . Затем для каждого квазикогерентного А - модуля М , существует соответствующий квазикогерентным модуль таким образом, что называется пучок , связанный с М . Другими словами, определяет эквивалентность категории квазикогерентных -модулей и квазикогерентных -модулей.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle f:X=\operatorname {Spec} _{S}(A)\to S}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle f_{*}{\widetilde {M}}\simeq M,}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle A}$

См. Также [ править ]

• квазиаффинный морфизм
• Теорема Серра о сродстве

Ссылки [ править ]

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на французском языке). 166 (2-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157

Внешние ссылки [ править ]

• https://ncatlab.org/nlab/show/affine+morphism