Окольцованное пространство

В математике , окольцованное пространство представляет собой семейство ( коммутативных ) кольца параметризованных открытых подмножеств одного топологического пространства вместе с кольцевыми гомоморфизмами , которые играют роли ограничений . Точнее, это топологическое пространство, снабженное пучком колец, называемым структурным пучком . Это абстракция понятия колец непрерывных (скалярнозначных) функций на открытых подмножествах.

Среди окольцованных пространств особенно важным и заметным является локально окольцованное пространство : окольцованное пространство, в котором справедлива аналогия между стержнем в точке и кольцом ростков функций в точке.

Кольчатые пространства появляются в анализе , а также комплексной алгебраической геометрии и теории схем в алгебраической геометрии .

Примечание : в определении окольцованного пространства в большинстве описаний, как правило, кольца ограничиваются коммутативными кольцами , включая Хартсхорн и Википедию. « Éléments de géométrie algébrique », с другой стороны, не налагает предположения о коммутативности, хотя в книге в основном рассматривается коммутативный случай. ^[1]

Определения

Окольцованное пространство является топологическим пространством вместе с пучком из колец на . Пучок называется структурный пучок из .${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$

Локально окольцованное пространство является окольцованным пространством таким образом, чтобы все стеблями из являются локальными кольцами (то есть у них есть уникальные максимальные идеалы ). Обратите внимание, что необязательно, чтобы оно было локальным кольцом для каждого открытого набора ; на самом деле, этого почти никогда не бывает.${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ displaystyle U}$

Примеры

Произвольное топологическое пространство можно рассматривать как локально окольцованное пространство, взяв за него пучок действительных (или комплекснозначных ) непрерывных функций на открытых подмножествах . Стебель в точке можно рассматривать как совокупность всех ростков непрерывных функций на ; это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом, состоящим из ростков, значение в которых равно .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0}$

Если это многообразие с некоторой дополнительной структурой, мы также можем взять пучок дифференцируемых или комплексно-аналитических функций. Оба они порождают локально окольцованные пространства.${\ displaystyle X}$

Если - алгебраическое многообразие, несущее топологию Зарисского , мы можем определить локально окольцованное пространство, взяв в качестве кольца рациональных отображений, определенных на открытом по Зарисском множестве, которые не раздуваются (становятся бесконечными) внутри . Важным обобщением этого примера является спектр любого коммутативного кольца; эти спектры также являются локально окольцованными пространствами. Схемы - это локально окольцованные пространства, полученные путем «склеивания» спектров коммутативных колец.${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

Морфизмы

Морфизм от до пара , где это непрерывное отображение между подстилающими топологическими пространствами, и является морфизмом из структурного пучка к прямому образу структурного пучка X . Другими словами, морфизм от до задается следующими данными:${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {O}} _ {Y})}$${\ Displaystyle (е, \ varphi)}$${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {O}} _ {Y} \ to f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {O}} _ {Y})}$

• непрерывное отображение ${\ displaystyle f: X \ to Y}$
• семейство кольцевых гомоморфизмов для каждого открытого множества из которых коммутируют с картами рестрикции. То есть, если есть два открытых подмножества , то следующая диаграмма должна коммутировать (вертикальные отображения являются гомоморфизмами ограничения):${\displaystyle \varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle V_{1}\subseteq V_{2}}$${\displaystyle Y}$

Существует дополнительное требование для морфизмов между локально окольцованными пространствами:

• гомоморфизмы колец, индуцированные между слоями и слоями, должны быть локальными гомоморфизмами , т. е. для каждого максимального идеала локального кольца (слоя) в точке отображается максимальный идеал локального кольца в точке .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)\in Y}$${\displaystyle x\in X}$

Два морфизма могут быть составлены, чтобы сформировать новый морфизм, и мы получаем категорию окольцованных пространств и категорию локально окольцованных пространств. Изоморфизмы в этих категориях определяются как обычно.

Касательные пространства

Локально окольцованные пространства имеют достаточно структуры, чтобы дать содержательное определение касательных пространств . Пусть - локально окольцованное пространство со структурным пучком ; мы хотим определить касательное пространство в точке . Возьмите локальное кольцо (стебель) в точке с максимальным идеалом . Тогда является полем и является векторным пространством над этим полем ( кокасательное пространство ). Касательное пространство определяется как двойственное к этому векторному пространству.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle T_{x}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle R_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$${\displaystyle T_{x}}$

Идея заключается в следующем: касательный вектор at должен указывать вам, как «различать» «функции» at , то есть элементы . Теперь достаточно знать, как дифференцировать функции, значение которых равно нулю, поскольку все остальные функции отличаются от них только константой, а мы знаем, как дифференцировать константы. Так что нам нужно только подумать . Более того, если две функции заданы с нулевым значением в , то их произведение имеет производную 0 в точке по правилу произведения . Итак, нам нужно только знать, как присваивать «числа» элементам , и это то, что делает двойное пространство.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модули

Для данного локально окольцованного пространства в приложениях встречаются определенные пучки модулей - -модули. Для того, чтобы определить их, рассмотрим пучок F из абелевых групп на . Если F ( U ) является модулем над кольцом для каждого открытого множества в , и карты ограничения совместимы со структурой модуля, то мы называем в -модуль. В этом случае стержень at будет модулем над локальным кольцом (стержнем) для каждого .${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R_{x}}$${\displaystyle x\in X}$

Морфизм между двумя такими -модулями - это морфизм пучков, который совместим с данными структурами модулей. Категория -модулей над фиксированным локально окольцованным пространством является абелевой категорией .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Важной подкатегорией категории -модулей является категория квазикогерентных пучков на . Пучок -модулей называется квазикогерентным, если он локально изоморфен коядру отображения между свободными -модулями. Когерентный пучок является квази-когерентным пучком , который, локально, конечного типа и для каждого открытого подмножества из ядра любого морфизма из свободных -модулей конечного ранга к также конечному типу.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$${\displaystyle F_{U}}$

Цитаты

использованная литература

• Раздел 0.4 Гротендика, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту  0217083 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157

внешняя ссылка

• Онищик А.Л. (2001) [1994], "Окольцованное пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press