Диагональный морфизм (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии, учитывая морфизм схем , диагональный морфизм ${\ displaystyle p: X \ to S}$

{\ displaystyle \ delta: от X \ до X \ times _ {S} X}

морфизм определяется универсальным свойством волокна продукта из р и р применительно к идентичности и идентичности . ${\ displaystyle X \ times _ {S} X}$ ${\ displaystyle 1_ {X}: от X \ до X}$ ${\ displaystyle 1_ {X}}$

Это частный случай морфизма графов : для данного морфизма над S его морфизм графов индуцируется тождеством и . Диагональное вложение - это морфизм графа . ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ displaystyle X \ to X \ times _ {S} Y}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle 1_ {X}}$ ${\ displaystyle 1_ {X}}$

По определению, Х представляет собой отделенную схема над S ( является отделен морфизм ) , если диагональный морфизм является замкнутым вложением . Кроме того, локально морфизм конечного представления является неразветвленным морфизмом тогда и только тогда, когда диагональное вложение является открытым погружением. ${\ displaystyle p: X \ to S}$ ${\ displaystyle p: X \ to S}$

Объяснение [ править ]

В качестве примера рассмотрим алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем k и структурным отображением. Затем, определив X с множеством его K - рациональных точек, и дается как ; откуда и название диагональный морфизм. ${\ displaystyle p: X \ to \ operatorname {Spec} (k)}$ $X\times _{k}X=\{(x,y)\in X\times X\}$ $\delta :X\to X\times _{k}X$ $x\mapsto (x,x)$

Раздельный морфизм [ править ]

Отделенный морфизм является морфизмом таким образом, что волокна продукт из с собой вдоль имеет свою диагональ в виде замкнутой подсхемы - другие слова, диагональная морфизм является замкнутым вложением . $f$ $f$ $f$

Как следствие, схема будет отделена , когда диагональ в схеме продукта из с самим собой замкнутым вложением. Подчеркивая относительную точку зрения, можно было бы эквивалентным образом определить схему, которая должна быть отделена, если уникальный морфизм отделен. $X$ $X$ $X$ $X\rightarrow {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )$

Обратите внимание , что топологическое пространство Y является Хаусдорф тогда и только тогда диагонального вложения

Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\times Y,\,y\mapsto (y,y)

закрыто. В алгебраической геометрии указанная выше формулировка используется потому, что схема, которая является хаусдорфовым пространством, обязательно пуста или нульмерна. Разница между топологическим и алгебро-геометрическим контекстом проистекает из топологической структуры расслоенного произведения (в категории схем) , которое отличается от произведения топологических пространств. $X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X$

Любая аффинная схема Spec A отделима, поскольку диагональ соответствует сюръективному отображению колец (следовательно, является замкнутым погружением схем):

$A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'$ .

Пусть будет схемой, полученной путем идентификации двух аффинных линий через карту идентичности, за исключением начала координат (см. Схему склейки # Примеры ). Это не разделено. ^[1] Действительно, изображение диагонального морфизма имеет два начала, а его замыкание содержит четыре начала. $S$ $S\to S\times S$

Использование в теории пересечений [ править ]

Классический способ определения пересечения продукта из алгебраических циклов на гладком многообразии X является пересечением (ограничение) их декартово произведение с (с) по диагонали: точно, $A,B$

A\cdot B=\delta ^{*}(A\times B)

где - откат по диагональному вложению . $\delta ^{*}$ $\delta :X\to X\times X$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Хартсхорн 1977 , пример 4.0.1.

Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157

Эта статья по алгебраической геометрии незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Хартсхорн 1977 , пример 4.0.1.

[1]