Обычное встраивание

В алгебраической геометрии , A замкнутого вложение схем является регулярным вложением коразмерности г , если каждая точка х в X имеет открытую аффинную окрестность U в Y такое , что идеал порождается регулярной последовательностью длиной г . Регулярное вложение коразмерности один - это в точности эффективный дивизор Картье .${\ displaystyle i: X \ hookrightarrow Y}$${\ Displaystyle X \ cap U}$

Примеры и использование [ править ]

Например, если Х и Y является гладким над схемой S , и если я это S -морфизм, то я являюсь регулярным вложением. В частности, каждое сечение гладкого морфизма является регулярным вложением. ^[1] Если регулярно вкладывается в регулярную схему , то B - полное кольцо пересечений . ^[2]${\ displaystyle \ operatorname {Spec} B}$

Это понятие используется, например, существенно в подходе Фултона к теории пересечений . Важным фактом является то, что когда i - регулярное вложение, если I - пучок идеалов X в Y , то нормальный пучок , двойственный к , локально свободен (таким образом, векторное расслоение), а естественное отображение является изоморфизмом: нормальный конус совпадает с нормальным расслоением.${\ displaystyle I / I ^ {2}}$${\ displaystyle \ operatorname {Sym} (I / I ^ {2}) \ to \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$

Морфизм конечного типа называется (локальным) морфизмом полного пересечения, если каждая точка x в X имеет открытую аффинную окрестность U, так что f | _U множители как где j - регулярное вложение, а g - гладкое . ^[3] Например, если f - морфизм между гладкими многообразиями , то f разлагается на множители, где первое отображение является морфизмом графа и, следовательно, морфизмом полного пересечения.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle U{\overset {j}{\to }}V{\overset {g}{\to }}Y}$${\displaystyle X\to X\times Y\to Y}$

Без примеров [ править ]

Один не пример - схема, которая не равноразмерна. Например, схема

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)}$

это объединение и . Тогда вложение не является регулярным, так как взятие любой не исходной точки на оси -оси имеет размерность, в то время как любая не исходная точка на -плоскости имеет размерность .${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {A} ^{3}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle 2}$

Связка виртуальных касательных [ править ]

Пусть будет морфизм локального полного пересечения, допускающий глобальную факторизацию: это композиция, в которой - регулярное вложение и гладкий морфизм. Тогда виртуальное касательное расслоение является элементом группы Гротендика векторных расслоений на X, заданной как: ^[4]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X{\overset {i}{\hookrightarrow }}P{\overset {p}{\to }}Y}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle T_{f}=[i^{*}T_{P/Y}]-[N_{X/P}]}$.

Это понятие используется, например, в теореме типа Римана – Роха .

Ненётерский падеж [ править ]

SGA 6 Expo VII использует следующую ослабленную форму понятия регулярного вложения, которая согласуется с обычной для нётеровых схем.

Во- первыхи, дано проективное модуль Е над коммутативным кольцом A , -линейная карта называется Кошмся-регулярной , если Кошуля комплекс определяется это ациклический в размерности> 0 ( и, следовательно, это разрешение коядру U ). ^[5]${\displaystyle u:E\to A}$

Тогда замкнутое погружение называется кошул-регулярным, если определяемый им пучок идеалов таков, что локально существуют конечный свободный A -модуль E и регулярная по Кошуля сюръекция из E в пучок идеалов. ^[6]${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

(Эта сложность связана с тем, что обсуждение делителя нуля для нётеровых колец сложно в том смысле, что нельзя использовать теорию ассоциированных простых чисел.)

См. Также [ править ]

• регулярное подмногообразие

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бертело, Пьер ; Александр Гротендик ; Люк Иллюзи , ред. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспект лекций по математике 225 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii + 700. DOI : 10.1007 / BFb0066283 . ISBN 978-3-540-05647-8. Руководство по ремонту  0354655 .

• Фултон, Уильям (1998), теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных исследований по математике], 2 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-62046-4, MR  1644323, раздел B.7
• Э. Сернези: Деформации алгебраических схем