В алгебраической геометрии существуют различные обобщения теоремы Римана – Роха ; среди самых известных - теорема Гротендика – Римана – Роха , которая в дальнейшем обобщается формулировкой Фултона и др.
Состав Баума, Фултона и Макферсона
Позволять а также - функторы на категории C схем, разделенных и локально конечного типа над базовым полем k с собственными морфизмами, такими, что
- это группа Гротендик из когерентных пучков на X ,
- является рациональной Chow группа из X ,
- для каждого собственного морфизма f ,прямые изображения (или продвижение вперед) вдоль f .
Кроме того, если является (глобальным) локальным морфизмом полного пересечения ; т.е. факторизуется как замкнутое регулярное вложениев гладкую схему P с последующим гладким морфизмом, тогда пусть
- класс в группе Гротендика векторных расслоений на X ; оно не зависит от факторизации и называется виртуальным касательным расслоением к f .
Тогда теорема Римана – Роха сводится к построению единственного естественного преобразования : [1]
между двумя функторами такими, что для каждой схемы X в C гомоморфизм удовлетворяет: для локального морфизма полного пересечения , когда есть закрытые вложения в плавные схемы,
где относится к классу Тодда .
Более того, он обладает свойствами:
- для каждого и класс Черна (или его действие) в группе Гротендика векторных расслоений на X .
- если X - замкнутая подсхема гладкой схемы M , то теорема является (грубо) ограничением теоремы в гладком случае и может быть записана в терминах локализованного класса Черна .
Эквивариантная теорема Римана – Роха.
В отношении комплексных чисел теорема является (или может интерпретироваться как) частным случаем эквивариантной теоремы об индексе .
Теорема Римана – Роха для стеков Делиня – Мамфорда.
Помимо алгебраических пространств, для стеков невозможно прямое обобщение. Осложнение уже появляется в случае орбифолда ( Риманна – Роха Кавасаки ).
Эквивариантная теорема Римана – Роха для конечных групп во многих ситуациях эквивалентна теореме Римана – Роха для факторных стеков по конечным группам.
Одним из важных приложений теоремы является то, что она позволяет определить виртуальный фундаментальный класс в терминах K -теоретического виртуального фундаментального класса.
Заметки
Рекомендации
- Эдидин, Дэн (21.05.2012). «Риман-Рох для стеков Делин-Мамфорд». arXiv : 1205.4742 [ math.AG ].
- Уильям Фултон (1998), теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- Тоен, Б. (1998-03-17). "Теоремы Римана-Роха для стеков Делиня-Мамфорда". arXiv : math / 9803076 .
- Бертран, Тоэн (1999-08-18). «K-теория и когомологии алгебраических стеков: теоремы Римана-Роха, D-модули и теоремы GAGA». arXiv : math / 9908097 .
- Лоури, Паркер; Шюрг, Тимо (30 августа 2012 г.). «Гротендик-Риман-Рох для производных схем». arXiv : 1208.6325 [ math.AG ].
- Vakil, Math 245A Темы алгебраической геометрии: Введение в теорию пересечений в алгебраической геометрии