Группа чау

В алгебраической геометрии , то Chow группа ( по имени Вого-Liang Chow по Шеваллу  ( 1958 )) о качестве алгебраического многообразия над любым полем являются алгебро-геометрическими аналогами гомологии в виде топологического пространства . Элементы группы Чоу образуются из подмногообразий (так называемых алгебраических циклов ) аналогично тому, как симплициальные или клеточные группы гомологий образуются из подкомплексов. Когда многообразие гладкое , группы Чжоу можно интерпретировать как группы когомологий (сравните двойственность Пуанкаре) и имеют умножение, называемое произведением пересечений . Группы Чоу несут богатую информацию об алгебраическом многообразии, и, соответственно, их трудно вычислить в целом.

Рациональная эквивалентность и группы Чоу [ править ]

Для чего следует, определить множество над полем , чтобы быть неотъемлемой схема из конечного типа над . Для любой схемы конечного типа над , в алгебраическом цикле на средства конечной линейной комбинации подмногообразие с целыми коэффициентами. (Здесь и далее подмногообразия понимаются быть закрыты , если не указано иное.) Для натурального числа , группы из n - мерных циклов (или - циклы , для краткости) на это свободная абелева группа на множестве${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle Z_ {я} (Х)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle i}$-мерные подмногообразия .${\ displaystyle X}$

Для различных размерности и любой рациональной функции на которое не тождественно равна нулю, то делитель из является -циклом${\ displaystyle W}$${\ displaystyle i + 1}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle i}$

${\ Displaystyle (е) = \ сумма _ {Z} \ operatorname {ord} _ {Z} (е) Z,}$

где сумма берется по всем мерным подмногообразиям из и целое число обозначает порядок обращения в нуль вместе . (Таким образом , отрицательно, если имеется полюс .) Определение порядка обращения в нуль требует некоторой осторожности в отношении сингулярности. ^[1]${\ displaystyle i}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ operatorname {ord} _ {Z} (f)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ operatorname {ord} _ {Z} (f)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle W}$

Для схемы конечного типа над группой -циклов, рационально эквивалентной нулю, является подгруппа, порожденная циклами для всех -мерных подмногообразий в и всех ненулевых рациональных функций на . Группа Chow из - мерных циклов на это фактор - группа из подгруппы циклов рациональны эквивалентной нуль. Иногда пишут для класса подмногообразия в группе Чжоу, и если два подмногообразия и имеют , то и называются рационально эквивалентными${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle Z_ {я} (Х)}$${\ displaystyle (f)}$${\ Displaystyle (я + 1)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle CH_ {i} (X)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Z_ {я} (Х)}$${\ displaystyle [Z]}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle W}$${\displaystyle [Z]=[W]}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$.

Например, когда это многообразие размерности , чау группа является делитель группы классов из . Когда это сгладить , это изоморфна группе Пикара из линейных расслоений на .${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle CH_{n-1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

Примеры рациональной эквивалентности [ править ]

Рациональная эквивалентность в проективном пространстве [ править ]

Рационально эквивалентные циклы, определяемые гиперповерхностями, легко построить на проективном пространстве, потому что все они могут быть построены как исчезающие множества одного и того же векторного расслоения. Например, имея два однородных многочлена степени , мы можем построить семейство гиперповерхностей, определяемых как множество исчезающих . Схематично это можно построить как${\displaystyle d}$${\displaystyle f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle sf+tg}$

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}}$

используя проекцию, мы можем видеть, что слой над точкой является проективной гиперповерхностью, определяемой формулой . Это может быть использовано, чтобы показать, что класс цикла каждой гиперповерхности степени рационально эквивалентен , поскольку может использоваться для установления рациональной эквивалентности. Обратите внимание на то, что геометрическое место равно и оно имеет множественность , которая является коэффициентом его класса цикла.${\displaystyle \pi _{1}:X\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle [s_{0}:t_{0}]}$${\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d[\mathbb {P} ^{n-1}]}$${\displaystyle sf+tx_{0}^{d}}$${\displaystyle x_{0}^{d}=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle d}$

Рациональная эквивалентность циклов на кривой [ править ]

Если мы возьмем линейные расслоения гладкой проективной кривой , то исчезающие множества общего сечения обоих линейных расслоений определяют неэквивалентные циклические классы в . Это потому, что для гладких многообразий классы дивизоров и определяют неэквивалентные классы.${\displaystyle L,L'\in \operatorname {Pic} (C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle CH(C)}$${\displaystyle \operatorname {Div} (C)\cong \operatorname {Pic} (C)}$${\displaystyle s\in H^{0}(C,L)}$${\displaystyle s'\in H^{0}(C,L')}$

Ринг чау-чау [ править ]

Когда схема является гладкой над полем , группы Чоу образуют кольцо , а не только градуированную абелеву группу. А именно, когда сглаживается , определим как группу Чоу коразмерности - циклы на . (Когда - разновидность размерности , это просто означает, что .) Тогда группы образуют коммутативное градуированное кольцо с произведением:${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle CH^{i}(X)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle CH^{i}(X)=CH_{n-i}(X)}$${\displaystyle CH^{*}(X)}$

${\displaystyle CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X).}$

Произведение возникает из пересекающихся алгебраических циклов. Например, если и являются гладкими подмногообразиями коразмерности и соответственно, и если и пересекаются трансверсально , то произведение в является суммой неприводимых компонент пересечения , которые все имеют коразмерность .${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle CH^{i+j}(X)}$${\displaystyle Y\cap Z}$${\displaystyle i+j}$

В более общем смысле, в различных случаях теория пересечений строит явный цикл, который представляет произведение в кольце Чоу. Например, если и являются подмножествами дополнительной размерности (что означает, что их размерности суммируются с размерностью ), пересечение которых имеет размерность нуль, то равно сумме точек пересечения с коэффициентами, называемыми числами пересечения . Для любых подмногообразий и гладкой схемы над , без предположения о размерности пересечения, теория пересечений Уильяма Фултона и Роберта Макферсона конструирует канонический элемент групп Чжоу${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Y\cap Z}$чье изображение в группах Чау является продуктом . ^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle [Y][Z]}$

Примеры [ править ]

Проективное пространство [ править ]

Кольцо Чжоу проективного пространства над любым полем - это кольцо${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle CH^{*}(\mathbb {P} ^{n})\cong \mathbf {Z} [H]/(H^{n+1}),}$

где - класс гиперплоскости (геометрическое место нулей единственной линейной функции). Кроме того, любое Подмногообразие из степени и коразмерности в проективном пространстве рационально эквивалентно . Из этого следует , что для любых двух подмногообразие и дополнительной размерность в и градусах , соответственно, их произведение в кольце Ch просто${\displaystyle H}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle a}$${\displaystyle dH^{a}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n}}$

где - класс a -рациональной точки в . Например, если и пересекаются поперечно, то это нулевой цикл степени . Если основное поле является алгебраически замкнутым , это означает , что есть в точности точки пересечения; это версия теоремы Безу , классический результат перечислительной геометрии .${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y\cap Z}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle k}$${\displaystyle ab}$

Формула проективного расслоения [ править ]

Для данного векторного расслоения ранга над гладкой собственной схемой над полем кольцо Чжоу ассоциированного проективного расслоения может быть вычислено с помощью кольца Чжоу и классов Черна . Если положить и классы Черна группы , то существует изоморфизм колец${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \zeta =c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1))}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{r}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}}$

Поверхности Хирцебруха [ править ]

Например, кольцо Чоу поверхности Хирцебруха может быть легко вычислено с помощью формулы проективного расслоения. Напомним, что он построен как законченный . Тогда единственным нетривиальным классом Черна этого векторного расслоения является . Отсюда следует, что кольцо Чжоу изоморфно${\displaystyle F_{a}=\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(a))}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle c_{1}=aH}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}}$

Замечания [ править ]

Для других алгебраических многообразий группы Чжоу могут иметь более богатое поведение. Например, пусть будет эллиптической кривой над полем . Тогда группа нуль-циклов Чоу на вписывается в точную последовательность${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\rightarrow X(k)\rightarrow CH_{0}(X)\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow 0.}$

Таким образом, группа Ей эллиптической кривой тесно связана с группой из - рациональных точек зрения . Когда это поле числа , называются группой Морделла-Вейль из , и некоторые из самых глубоких проблем в теории чисел являются попытками понять эту группу. Когда - комплексные числа, пример эллиптической кривой показывает, что группы Чжоу могут быть несчетными абелевыми группами.${\displaystyle X}$${\displaystyle X(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X(k)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

Функциональность [ править ]

Для правильного морфизма схем существует прямой гомоморфизм для каждого целого числа . Например, для правильной схемы над , это дает гомоморфизм , который принимает замкнутую точку в своей степени над . (Замкнутая точка имеет форму для конечного расширения поля из , и его степени означает степень поля над .)${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y)}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$

Для плоского морфизма схем над слоями размерности (возможно, пустыми) существует гомоморфизм .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X)}$

Ключевым вычислительным инструментом для групп Чоу является следующая последовательность локализации . Для схемы над полем и замкнутой подсхемы в существует точная последовательность${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,}$

где первый гомоморфизм - это прямой вызов, связанный с собственным морфизмом , а второй гомоморфизм - обратный вызов относительно плоского морфизма . ^[3] Последовательность локализации может быть расширена влево с помощью обобщения групп Чжоу, мотивных групп гомологии (Бореля – Мура) , также известных как высшие группы Чжоу . ^[4]${\displaystyle Z\to X}$${\displaystyle X-Z\to X}$

Для любого морфизма гладких схем над существует гомоморфизм обратного вызова , который на самом деле является гомоморфизмом колец .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)}$${\displaystyle CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)}$

Примеры плоских откатов [ править ]

Обратите внимание, что не-примеры можно построить с помощью увеличенных изображений; например, если мы возьмем раздутие начала координат в, то слой над началом координат изоморфен .${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Разветвленные покрытия кривых [ править ]

Рассмотрим разветвленное накрытие кривых

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(x)-g(x,y))}}\right)\to \mathbb {A} _{x}^{1}}$

Поскольку морфизм разветвляется всякий раз, когда мы получаем факторизацию${\displaystyle f(\alpha )=0}$

${\displaystyle g(\alpha ,y)=(y-a_{1})^{e_{1}}\cdots (y-a_{k})^{e_{k}}}$

где один из . Это означает, что точки имеют кратности соответственно. Плоское поднятие точки затем${\displaystyle e_{i}>1}$${\displaystyle \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\}=f^{-1}(\alpha )}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{k}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f^{*}[\alpha ]=e_{1}[\alpha ]+\cdots +e_{k}[\alpha _{k}]}$

Плоское семейство разновидностей [ править ]

Рассмотрим плоское семейство разновидностей

${\displaystyle X\to S}$

и подмногообразие . Затем, используя декартов квадрат${\displaystyle S'\subset S}$

${\displaystyle {\begin{matrix}S'\times _{S}X&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

мы видим, что образ является подмногообразием . Поэтому у нас есть${\displaystyle S'\times _{S}X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f^{*}[S']=[S'\times _{S}X]}$

Циклические карты [ править ]

Существует несколько гомоморфизмов (известных как отображения циклов ) от групп Чоу к более вычислимым теориям.

Во-первых, для схемы X над комплексными числами существует гомоморфизм групп Чжоу в гомологии Бореля – Мура : ^[5]

${\displaystyle {\mathit {CH}}_{i}(X)\rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ).}$

Множитель 2 появляется потому, что i- мерное подмногообразие X имеет вещественную размерность 2 i . Когда X гладко по комплексным числам, это отображение цикла можно переписать, используя двойственность Пуанкаре как гомоморфизм

${\displaystyle {\mathit {CH}}^{j}(X)\rightarrow H^{2j}(X,\mathbf {Z} ).}$

В этом случае ( X гладкое над C ) эти гомоморфизмы образуют кольцевой гомоморфизм из кольца Чжоу в кольцо когомологий. Интуитивно это происходит потому, что произведения как в кольце Чжоу, так и в кольце когомологий описывают пересечение циклов.

Для гладкого комплексного проективного многообразия отображение цикла от кольца Чоу до обычных когомологий учитывается с помощью более богатой теории - когомологий Делиня . ^[6] Это включает отображение Абеля – Якоби из циклов, гомологически эквивалентных нулю, в промежуточный якобиан . В экспоненциальных последовательностях показывают , что СН ¹ ( Х ) отображает изоморфно Делинь когомологии, но это не выполняется для CH ^J ( X ) с J > 1.

Для схемы X над произвольным полем k существует аналогичное отображение цикла из групп Чжоу в этальные гомологии (Бореля – Мура) . Когда X гладко над k , этот гомоморфизм можно отождествить с гомоморфизмом колец из кольца Чжоу в этальные когомологии. ^[7]

Отношение к K-теории [ править ]

(Алгебраическое) векторное расслоение E на гладкой схеме X над полем имеет классы Черна c _i ( E ) в CH ⁱ ( X ) с теми же формальными свойствами, что и в топологии. ^[8] Классы Черна устанавливают тесную связь между векторными расслоениями и группами Чжоу. А именно, пусть К ₀ ( Х ) является группой Гротендика векторных расслоений на X . В рамках теоремы Гротендика-Римана-Роха , Гротендик показал , что характер Черна задает изоморфизм

${\displaystyle K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}{\mathit {CH}}^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .}$

Этот изоморфизм показывает важность рациональной эквивалентности по сравнению с любым другим адекватным отношением эквивалентности на алгебраических циклах.

Домыслы [ править ]

Некоторые из самых глубоких гипотез в алгебраической геометрии и теории чисел - это попытки понять группы Чжоу. Например:

• Из теоремы Морделла – Вейля следует, что группа классов дивизоров CH _{n -1} ( X ) конечно порождена для любого многообразия X размерности n над числовым полем. Остается открытым вопрос о том, конечно порождены все группы Чжоу для любого многообразия над числовым полем. Гипотеза Блоха - Като о значениях L-функцийпредсказывает, что эти группы конечно порождены. При этом ранг группы циклов по модулю гомологической эквивалентности, а также группы циклов, гомологически эквивалентных нулю, должен быть равен порядку обращения в нуль L-функции данного многообразия в некоторых целых точках. Конечность этих рангов будет также следовать из гипотезы Басса в алгебраической K-теории.
• Для гладкого комплексного многообразия проективного X , то гипотеза Ходжи предсказывает изображение ( тензорно с рациональным Q ) отображения цикла из групп Chow до сингулярных когомологий. Для гладкого проективного многообразия над конечно порожденным полем (например, конечным полем или числовым полем) гипотеза Тэйта предсказывает образ (с тензором Q _l ) отображения цикла из групп Чжоу в l-адические когомологии .
• Для гладкого проективного многообразия X над любым полем гипотеза Блоха - Бейлинсона предсказывает фильтрацию на группах Чжоу X (тензора с рациональными числами) с сильными свойствами. ^[9] Гипотеза подразумевает плотное соединение между особой или этальной когомологий X и группами Чжоу X .

Например, пусть X - гладкая комплексная проективная поверхность. Группа Чжоу нулевых циклов на X отображается на целые числа гомоморфизмом степени; пусть K - ядро. Если геометрический род h ⁰ ( X , Ω ² ) не равен нулю, Мамфорд показал, что K «бесконечномерно» (не образ любого конечномерного семейства нулевых циклов на X ). ^[10] Гипотеза Блоха – Бейлинсона влечет удовлетворительную обратную гипотезу Блоха о нулевых циклах : для гладкой комплексной проективной поверхности X с геометрическим родом нульK должен быть конечномерным; точнее, он должен отобразить изоморфно к группе комплексных точек многообразия Альбанеза из X . ^[11]

Варианты [ править ]

Бивариантная теория [ править ]

Фултон и Макферсон расширили кольцо Чоу до сингулярных многообразий, определив « операционное кольцо Чжоу » и, в более общем смысле, бивариантную теорию, связанную с любым морфизмом схем. ^[12] Бивариантная теория - это пара ковариантных и контравариантных функторов, которые сопоставляют отображению группу и кольцо соответственно. Он обобщает теорию когомологий , которая является контравариантным функтором, который ставит в соответствие пространству кольцо, а именно кольцо когомологий . Название «бивариантный» относится к тому факту, что теория содержит как ковариантные, так и контравариантные функторы. ^[13]

В некотором смысле это наиболее элементарное расширение кольца Чжоу на особые многообразия; другие теории, такие как мотивационные когомологии, отображают операциональное кольцо Чоу. ^[14]

Другие варианты [ править ]

Арифметические группы Чоу - это объединение групп Чжоу многообразий над Q вместе с компонентом, кодирующим теоретико-Аракеловскую информацию, то есть дифференциальные формы на ассоциированном комплексном многообразии.

Теория групп Чжоу схем конечного типа над полем легко распространяется на теорию алгебраических пространств . Ключевым преимуществом этого расширения является то, что в последней категории легче формировать факторные, и поэтому более естественно рассматривать эквивариантные группы Чжоу алгебраических пространств. Гораздо более серьезным расширением является расширение группы Чоу стека , которое было построено только в некотором частном случае и которое необходимо, в частности, для понимания виртуального фундаментального класса .

История [ править ]

Рациональная эквивалентность дивизоров (известная как линейная эквивалентность ) изучалась в различных формах в течение XIX века, что привело к идеальной группе классов в теории чисел и якобиевому многообразию в теории алгебраических кривых. Для циклов высшей коразмерности рациональная эквивалентность была введена Франческо Севери в 1930-х годах. В 1956 году Вей-Лян Чоу дал убедительное доказательство того, что произведение пересечений правильно определено на циклах по модулю рациональной эквивалентности для гладкого квазипроективного многообразия, используя лемму Чоу о движении . Начиная с 1970-х годов Фултон и Макферсондали текущую стандартную основу для групп Чау, работая с единичными разновидностями везде, где это возможно. В их теории произведение пересечений для гладких многообразий строится путем деформации к нормальному конусу . ^[15]

См. Также [ править ]

• Теория пересечения
• Теорема Гротендика – Римана – Роха.
• Гипотеза Ходжа
• Мотив (алгебраическая геометрия)

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Вступительный [ править ]

• Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо, 3264 и все такое: второй курс алгебраической геометрии

Расширенный [ править ]

• Блох, Спенсер (1986), "циклов Алгебраические и выше К -теория", Прогресс в области математики , 61 (3): 267-304, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (86) 90081-2 , ISSN  0001-8708 , MR  0852815
• Claude, Chevalley (1958), "Les classes d'équivalence rationnelle, I" , Anneaux de Chow et applications , Séminaire Claude Chevalley, 3
• Claude, Chevalley (1958), "Les classes d'équivalence rationnelle, II" , Anneaux de Chow et applications , Séminaire Claude Chevalley, 3
• Chow, Вэй Лян (1956), "О классах эквивалентности циклов в алгебраическом многообразии", Анналы математики , 64 : 450-479, DOI : 10,2307 / 1969596 , ISSN  0003-486X , МР  0082173
• Делинь, Пьер (1977), Cohomologie Etale (SGA 4 1/2) , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-08066-4, MR  0463174
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, MR  1644323
• Севери-, Франческо (1932), "La Canonica серия E La Teoria делле серия principali - ди - ди - GRUPPI Punti сопр Una Superficie algebrica", Commentarii Mathematici Helvetici , 4 : 268-326, DOI : 10.1007 / bf01202721 , СУЛ  58.1229.01
• Воеводский, Владимир (2000), "Триангулированные категории мотивов над полем", Циклы, передачи и теории мотивационных гомологий , Princeton University Press , стр. 188–238, ISBN 9781400837120, MR  1764202
• Вуазен, Клэр (2002), Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия (2 тома) , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-71801-1, MR  1997577