В алгебраической геометрии , A замкнутое вложение схем является регулярным вложением коразмерности r, если каждая точка x в X имеет такую открытую аффинную окрестность U в Y , что идеалпорождается регулярной последовательностью длины r . Регулярное вложение коразмерности один - это в точности эффективный дивизор Картье .
Примеры и использование
Например, если Х и Y является гладким над схемой S , и если я это S -морфизм, то я являюсь регулярным вложением. В частности, каждое сечение гладкого морфизма является регулярным вложением. [1] Еслирегулярно вкладывается в регулярную схему , то B - полное кольцо пересечений . [2]
Это понятие используется, например, существенно в подходе Фултона к теории пересечений . Важным фактом является то, что когда i - регулярное вложение, если I - пучок идеалов X в Y , то нормальный пучок , двойственный к, является локально свободным (таким образом, векторным расслоением) и естественное отображение является изоморфизмом: нормальный конус совпадает с нормальным расслоением.
Морфизм конечного типа называется (локальным) морфизмом полного пересечения, если каждая точка x в X имеет такую открытую аффинную окрестность U, что f | U факторы какгде j - регулярное вложение, а g - гладкое . [3] Например, если f - морфизм между гладкими многообразиями , то f факторизуется какгде первое отображение - это морфизм графа, а значит, и полный морфизм пересечения.
Не Примеры
Один не пример - схема, которая не равноразмерна. Например, схема
это союз а также . Тогда вложение не является регулярным, так как взятие любой точки, не являющейся исходной, на - ось имеет размер в то время как любая не исходная точка на -самолет имеет размер .
Виртуальный касательный пучок
Позволять - морфизм локального полного пересечения, допускающий глобальную факторизацию: это композиция где является регулярным вложением и гладкий морфизм. Тогда виртуальное касательное расслоение является элементом группы Гротендика векторных расслоений на X, заданной как: [4]
- .
Это понятие используется, например, в теореме типа Римана – Роха .
Ненётерианский случай
SGA 6 Expo VII использует следующую ослабленную форму понятия регулярного вложения, которая согласуется с обычной для нётеровых схем.
Во- первых, учитывая проективный модуль Е над коммутативным кольцом A , -линейного картуназывается кошул-регулярным, если определяемый им комплекс Кошуля ацикличен в размерности> 0 (следовательно, является резольвентой коядра u ). [5]
Затем закрытое погружение называется кошул-регулярным, если определяемый им пучок идеалов таков, что локально существуют конечный свободный A -модуль E и регулярная по Кошуля сюръекция из E в пучок идеалов. [6]
(Это осложнение связано с тем, что обсуждение делителя нуля для нётеровых колец сложно в том смысле, что нельзя использовать теорию ассоциированных простых чисел.)
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Бертело, Пьер ; Александр Гротендик ; Люк Иллюзи , ред. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспект лекций по математике 225 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii + 700. DOI : 10.1007 / BFb0066283 . ISBN 978-3-540-05647-8. Руководство по ремонту 0354655 .
- Фултон, Уильям (1998), теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных исследований по математике], 2 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-62046-4, MR 1644323, раздел B.7
- Э. Сернези: Деформации алгебраических схем