В математике , А Подмногообразие из многообразия M является подмножеством S , которая сама по себе имеет структуру многообразия, и для которых включение отображения S → M удовлетворяет определенные свойства. Существуют разные типы подмногообразий в зависимости от того, какие именно свойства требуются. У разных авторов часто разные определения.
Формальное определение
В дальнейшем мы предполагаем , что все многообразия дифференцируемые многообразия из класса C г при фиксированном г ^ 1 , и все морфизмы дифференцируемы из класса С р .
Погруженные подмногообразия
Погруженное подмногообразие многообразия M является изображение S из погружной отображении F : N → M ; в общем, это изображение не будет подмногообразием как подмножество, и карта погружения не обязательно должна быть инъективной (взаимно однозначной) - она может иметь самопересечения. [1]
Более узко, можно потребовать, чтобы отображение f : N → M было инъекцией (взаимно однозначной), в которой мы называем это инъективным погружением , и определяем погруженное подмногообразие как подмножество изображений S вместе с топологией и дифференциальная структура такая, что S - многообразие, а включение f - диффеоморфизм : это просто топология на N, которая в общем случае не согласуется с топологией подмножества: в общем, подмножество S не является подмногообразием M в подмножестве топология.
Для любого инъективную погружения п : N → M изображения из N в М может быть однозначно задана структура погруженного подмногообразия так , что F : N → F ( N ) является диффеоморфизмом . Отсюда следует, что погруженные подмногообразия - это в точности образы инъективных погружений.
Топология Подмногообразия на погруженное подмногообразии не обязательно должна быть относительно топологией , унаследованная от М . В общем, он будет более тонким, чем топология подпространства (т.е. иметь больше открытых множеств ).
Погруженные подмногообразия встречаются в теории групп Ли, где подгруппы Ли являются естественно погруженными подмногообразиями. Они также появляются при изучении слоений, где погруженные подмногообразия обеспечивают правильный контекст для доказательства теоремы Фробениуса .
Вложенные подмногообразия
Вложенное подмногообразие (также называется регулярным подмногообразием ), является погруженным Подмногообразием , для которых отображение включения является топологическим вложением . То есть топология подмногообразия на S такая же, как топология подпространства.
Для любого вложения f : N → M многообразия N в M образ f ( N ) естественным образом имеет структуру вложенного подмногообразия. То есть вложенные подмногообразия - это в точности образы вложений.
Часто бывает полезно внутреннее определение вложенного подмногообразия. Пусть M - n -мерное многообразие, а k - целое число такое, что 0 ≤ k ≤ n . К - мерное вкладывается подмногообразие M представляет собой подмножество S ⊂ М такое , что для каждой точки р ∈ S существует диаграмма ( U ⊂ M , φ : U → R н ) , содержащий р такие , что φ ( S ∩ U ) является пересечение k -мерной плоскости с φ ( U ). Пары ( S ∩ U , ф | S ∩ U ) образуют атлас для дифференциальной структуры на S .
Теорема Александера и Жордан-Шенфлис теорема являются хорошими примерами гладких вложений.
Другие варианты
В литературе используются и другие варианты подмногообразий. Аккуратное Подмногообразие является многообразием, граница которого совпадает с границей всего многообразия. [2] Шарп (1997) определяет тип подмногообразия, которое находится где-то между вложенным подмногообразием и погруженным подмногообразием.
Многие авторы также определяют топологические подмногообразия. Это то же самое, что и подмногообразия C r с r = 0 . [3] Вложенное топологическое подмногообразие не обязательно является регулярным в смысле существования локальной карты в каждой точке, продолжающей вложение. Контрпримеры включают дикие дуги и дикие узлы .
Характеристики
Принимая во внимание любые погруженного подмногообразия S из М , то касательное пространство к точке р в S , естественно , можно рассматривать как линейное подпространство касательного пространства к р в М . Это следует из того факта, что карта включения является иммерсией и обеспечивает инъекцию
Предположим , что S является погруженной подмногообразие М . Если включение отображения я : S → M является закрытым , то S на самом деле встроенный подмногообразие М . Наоборот, если S - вложенное подмногообразие, которое также является замкнутым подмножеством, то отображение включения замкнуто. Отображение включения i : S → M замкнуто тогда и только тогда, когда оно является собственным отображением (т.е. прообразы компактов компактны). Если я замкнут , то S называется закрытым вложенным подмногообразием в М . Замкнутые вложенные подмногообразия образуют самый красивый класс подмногообразий.
Подмногообразия реального координатного пространства
Гладкие многообразия иногда определяют как вложенные подмногообразия вещественного координатного пространства R n для некоторого n . Эта точка зрения эквивалентна обычному абстрактному подходу, потому что по теореме вложения Уитни любое гладкое (абстрактное) m -многообразие с подсчетом секунд можно гладко вложить в R 2 m .
Заметки
- Перейти ↑ Sharpe 1997 , p. 26.
- ^ Косински 2007 , стр. 27.
- Перейти ↑ Lang 1999 , pp. 25–26. Шоке-Брюа 1968 , стр. 11
Рекомендации
- Шоке-Брюа, Ивонн (1968). Géométrie différentielle et systèmes extérieurs . Пэрис: Данод.
- Косинский, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
- Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для выпускников по математике . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98593-0.
- Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников по математике 218 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-95495-3.
- Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: Обобщение Картана программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9.
- Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90894-3.