Правильная карта

В математике , функция между топологическими пространствами называются собственно , если прообразы из компактных подмножеств компактны. В алгебраической геометрии аналогичное понятие называется собственным морфизмом .

Определение [ править ]

Есть несколько конкурирующих определений «надлежащей функции ». Некоторые авторы называют функцией от двух топологических пространств является надлежащей , если прообраз любого компактного множества в компактно в других авторах называют отображение собственно , если она непрерывна и закрыто с компактными слоями ; то есть , если это непрерывное замкнутое отображение и прообраз каждой точки в является компактным . Эти два определения эквивалентны , если это локально компактная и Хаусдорф . ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y}$

Частичное доказательство эквивалентности

Позвольте быть замкнутым отображением, таким, что компактно (в X) для всех Позвольте быть компактным подмножеством Остается показать, что компактно. ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (у)}$ ${\ displaystyle y \ in Y.}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle Y.}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (К)}$

Пусть будет открытое покрытие Тогда для всего этого также будет открытое покрытие Поскольку последнее предполагается компактным, оно имеет конечное подпокрытие. Другими словами, для каждого существует конечное подмножество такое, что множество замкнуто в, а его образ под замкнутым в, поскольку является замкнутым отображением. Следовательно, множество $\left\{U_{a}~\colon ~a\in A\right\}$ $f^{-1}(K).$ $k\in K$ $f^{-1}(k).$ $k\in K,$ $\gamma _{k}\subseteq A$ $f^{-1}(k)\subseteq \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}.$ $X\setminus \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}$ $X$ $f$ $Y$ $f$

V_{k}=Y\setminus f\left(X\setminus \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}\right)

открыто в. Отсюда следует, что он содержит точку Теперь, и поскольку предполагается, что он компактный, существует конечное число таких точек , что, кроме того, множество представляет собой конечное объединение конечных множеств, что составляет конечное множество. $Y.$ $V_{k}$ $k.$ $K\subseteq \cup _{k\in K}V_{k}$ $K$ $k_{1},\dots ,k_{s}$ $K\subseteq \cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}}.$ $\Gamma =\cup _{i=1}^{s}\gamma _{k_{i}}$ $\Gamma$

Теперь это следует из этого, и мы нашли конечное подпокрытие, которое завершает доказательство. $f^{-1}(K)\subseteq f^{-1}\left(\cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}}\right)\subseteq \cup _{a\in \Gamma }U_{a}$ $f^{-1}(K),$

Если хаусдорфово и локально компактно хаусдорфово, то собственное эквивалентно универсально замкнутому . Карта универсально замкнута, если для любого топологического пространства карта замкнута. В случае Хаусдорфа это эквивалентно требованию, чтобы для любого отображения обратный образ был замкнутым, как следует из того факта, что это замкнутое подпространство $X$ $Y$ $Z$ $f\times \operatorname {id} _{Z}\colon X\times Z\to Y\times Z$ $Y$ $Z\to Y$ $X\times _{Y}Z\to Z$ $X\times _{Y}Z$ $X\times Z.$

Эквивалентное, возможно более интуитивное определение, когда и являются метрическими пространствами, выглядит следующим образом: мы говорим, что бесконечная последовательность точек в топологическом пространстве ускользает в бесконечность, если для каждого компакта только конечное число точек находится в Тогда непрерывное отображение является правильным, если только если для каждой последовательности точек, которая уходит на бесконечность в последовательности, уходит на бесконечность в $X$ $Y$ $\{p_{i}\}$ $X$ $S\subseteq X$ $p_{i}$ $S.$ $f\colon X\to Y$ $\left\{p_{i}\right\}$ $X,$ $\left\{f\left(p_{i}\right)\right\}$ $Y.$

Свойства [ править ]

Любое непрерывное отображение компакта в хаусдорфово пространство собственно и замкнуто .
Каждое собственное сюръективное отображение является компактным накрывающим.
- Отображение называется компактным накрытием, если для каждого компактного подмножества существует такая компактная подгруппа , что $f:X\to Y$ $K\subseteq Y$ $C\subseteq X$ $f(C)=K.$
Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда отображение этого пространства в единственную точку является правильным.
Если - собственное непрерывное отображение и является компактно порожденным хаусдорфовым пространством (сюда входят хаусдорфовы пространства, которые либо являются счетными сначала, либо локально компактными ), то он замкнут. ^[1] $f:X\to Y$ $Y$ $f$

Обобщение [ править ]

Можно обобщить понятие собственных отображений топологических пространств на локали и топои , см. ( Johnstone 2002 ).

См. Также [ править ]

Почти открытая карта
Открытые и закрытые карты
Идеальная карта
Глоссарий топологии

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Николас (1998). Общая топология. Главы 5–10 . Элементы математики. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64563-4. Руководство по ремонту 1726872 .
Джонстон, Питер (2002). Эскизы слона: конспект теории топоса . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-851598-7., особенно раздел C3.2 «Правильные карты»
Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Северная Каролина: Книжный цех . ISBN 1-4196-2722-8., особенно п. 90 «Правильные карты» и упражнения к разделу 3.6.
Браун, Рональд (1973). «Последовательно правильные карты и последовательная компактификация». Журнал Лондонского математического общества . 2. 7 : 515–522.
Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Нью-Йорк: Спрингер . DOI : 10.1007 / 978-0-387-21752-9 . ISBN 978-0-387-95448-6. (Тексты для выпускников по математике; том 218).

↑ Palais, Ричард С. (1970). «Когда закрываются правильные карты» (PDF) . Труды Американского математического общества . 24 : 835–836. DOI : 10.1090 / s0002-9939-1970-0254818-х .

[palais-1] Palais, Ричард С. (1970). «Когда закрываются правильные карты» (PDF) . Труды Американского математического общества . 24 : 835–836. DOI : 10.1090 / s0002-9939-1970-0254818-х .

[1]