Правильная выпуклая функция

В математическом анализе , в частности подполя выпуклого анализа и оптимизации , собственная функция выпуклы является расширенным реальным -значной выпуклой функцией с непустым доменом , который никогда не принимает значение , а также не тождественно равна${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle + \ infty.}$

В выпуклом анализе и вариационном анализе обычно ищут точку (в области), в которой некоторая заданная функция минимизируется, где вычисляется значение в расширенной строке вещественных чисел ^[1]. Такая точка, если она существует, называется глобальным минимумом. точка функции и ее значение в этой точке называется глобальным минимумом ( значением ) функции. Если функция принимает значение, то это обязательно глобальное минимальное значение, и на проблему минимизации можно ответить; это, в конечном счете, причина, по которой определение « правильного » требует, чтобы функция никогда не принимала${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle [- \ infty, \ infty] = \ mathbb {R} \ чашка \ {\ pm \ infty \}.}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$как ценность. Предполагая это, если область определения функции пуста или функция идентична, тогда задача минимизации снова имеет немедленный ответ. Расширенные действительные функции, для которых проблема минимизации не решается ни в одном из этих трех тривиальных случаев, как раз и называются собственными . Многие (хотя и не все) результаты, гипотезы которых требуют, чтобы функция была правильной, добавляют это требование специально, чтобы исключить эти тривиальные случаи. ${\ displaystyle + \ infty}$

Если вместо этого проблема заключается в проблеме максимизации (что будет четко обозначено, например, если функция будет вогнутой, а не выпуклой), то определение « правильного » определяется аналогичным (хотя и технически другим) способом, но с той же целью: чтобы исключить случаи, когда на проблему максимизации можно ответить сразу. В частности, вогнутая функция называется правильной, если ее отрицание, которое является выпуклой функцией, является правильным в смысле, определенном выше. ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle -g,}$

Определения [ править ]

Предположим , что функция , принимающая значения в расширенной линии действительного числа Если это функция выпукла или если точка минимума разыскивается, то называется собственно , если существует какой - то момент в своей области , такие , что${\ displaystyle f: X \ to [- \ infty, \ infty]}$ ${\ displaystyle [- \ infty, \ infty] = \ mathbb {R} \ чашка \ {\ pm \ infty \}.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle е \ влево (х_ {0} \ вправо) <+ \ infty}$

а также

${\ displaystyle f (x)> - \ infty}$

для каждого То есть, функция является правильной, если ее эффективный домен непустой и никогда не достигается . ^[2] Это означает , что существует какой - то , на котором и не является также и не равняться Выпуклые функции, которые не являются собственно называются неправильные функции выпуклые. ^[3]${\ displaystyle x.}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle x \ in \ operatorname {domain} f}$${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty .}$

Собственно функция вогнута по определению, любая функция такая , что является собственно функция выпуклой. Явно, если это вогнутая функция или если ищется максимальная точка , то она называется правильной, если ее домен не пустой, он никогда не принимает значение и не идентично равен${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f:=-g}$${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle +\infty ,}$${\displaystyle -\infty .}$

Свойства [ править ]

Для каждой собственной выпуклой функции существуют некоторые и такие , что${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ],}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-r}$

для каждого ${\displaystyle x\in X.}$

Сумма двух собственных выпуклых функций является выпуклой, но не обязательно собственной. ^[4] Например, если множества и являются непустыми выпуклыми множествами в векторном пространстве, то характеристические функции и являются собственными выпуклыми функциями, но если then тождественно равно${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle B\subset X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I_{A}}$${\displaystyle I_{B}}$${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$${\displaystyle I_{A}+I_{B}}$${\displaystyle +\infty .}$

Инфимальная свертка два собственных выпуклых функций выпукла , но не обязательно собственно выпуклый. ^[5]

См. Также [ править ]

• Действующий домен

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Дж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544 .