В математике термин вариационный анализ обычно обозначает комбинацию и расширение методов от выпуклой оптимизации и классического вариационного исчисления до более общей теории. [1] Это включает в себя более общие проблемы теории оптимизации , включая темы многозначного анализа , например, обобщенные производные .
В схеме классификации предметов математики (MSC2010) поле «Многозначный и вариационный анализ» кодируется как «49J53». [2]
История [ править ]
Хотя эта область математики имеет долгую историю, первое использование термина «вариационный анализ» в этом смысле было в одноименной книге Р. Тиррелла Рокафеллара и Роджера Дж . Б. Уетса . [3]
Существование минимумов [ править ]
Классический результат состоит в том, что полунепрерывная снизу функция на компакте достигает своего минимума. Результаты вариационного анализа, такие как вариационный принцип Экланда, позволяют нам расширить этот результат для полунепрерывных снизу функций на некомпактные множества при условии, что функция имеет нижнюю границу и за счет добавления небольшого возмущения к функции.
Обобщенные производные [ править ]
Классическая теорема Ферма гласит, что если дифференцируемая функция достигает своего минимума в точке, и эта точка является внутренней точкой ее области определения, то ее производная должна быть равна нулю в этой точке. Для задач, в которых гладкая функция должна быть минимизирована с учетом ограничений, которые могут быть выражены в виде равенства нулю других гладких функций, метод множителей Лагранжа , другой классический результат, дает необходимые условия в терминах производных функции.
Идеи этих классических результатов могут быть распространены на недифференцируемые выпуклые функции путем обобщения понятия производной до понятия субпроизводной . Дальнейшее обобщение понятия производной, такое как обобщенный градиент Кларка, позволяет распространить результаты на негладкие локально липшицевы функции. [4]
См. Также [ править ]
- Выпуклый анализ
- Функциональный анализ - раздел математического анализа
Цитаты [ править ]
- ^ Rockafellar RT, Wets R (2005) Вариационный анализ. Спрингер, Нью-Йорк
- ^ "49J53 Многозначный и вариационный анализ" . 5 июля 2010 г.
- ^ Р. Тиррелла Рокафеллара , Roger JB Wets , вариационный анализ , Springer-Verlag, 2005, ISBN 3540627723 , ISBN 978-3540627722
- ^ Фрэнк Х. Кларк, Оптимизация и негладкий анализ , SIAM, 1990.
Ссылки [ править ]
- Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уетс, Роджер Дж .-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC 883392544 .
Внешние ссылки [ править ]
- СМИ, связанные с вариационным анализом на Викискладе?
