Многозначная функция

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эта диаграмма представляет собой многозначную, но не надлежащую (однозначную) функцию , поскольку элемент 3 в X связан с двумя элементами, Ь и с , в Y .

В математике , А многозначная функция , называемая также многофункциональной , многозначная функцией , многозначная функцией , подобна функции , но может связать несколько значений для каждого входа. Точнее, многозначная функция из области X в область Y связывает каждый x в X с одним или несколькими значениями y в Y ; таким образом, это последовательное бинарное отношение . ^{[ необходима цитата ]}Некоторые авторы допускают, чтобы многозначная функция не имела значения для некоторых входных данных (в этом случае многозначная функция является просто бинарным отношением). ^{[ необходима цитата ]}

Однако в некоторых контекстах, таких как комплексный анализ ( X = Y = ℂ), авторы предпочитают имитировать теорию функций, поскольку они расширяют концепции обычных (однозначных) функций. В этом контексте обычную функцию часто называют однозначной функцией, чтобы избежать путаницы.

Термин многозначная функция возник в комплексном анализе, от аналитического продолжения . Часто бывает, что известно значение комплексной аналитической функции в некоторой окрестности точки . Это тот случай , для функций , определенных в теореме о неявной функции или с помощью ряда Тейлора в окрестностях . В такой ситуации можно расширить область определения однозначной функции вдоль кривых на комплексной плоскости, начиная с . При этом обнаруживается, что значение расширенной функции в точке зависит от выбранной кривой от до${\ displaystyle f (z)}$${\ Displaystyle г = а}$${\ Displaystyle г = а}$${\ displaystyle f (z)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle z = b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$; поскольку ни одно из новых значений не является более естественным, чем другие, все они включены в многозначную функцию.

Например, пусть будет обычная функция извлечения квадратного корня из положительных действительных чисел. Можно расширить его область до окрестности точки на комплексной плоскости, а затем дальше по кривым, начинающимся с , так что значения вдоль данной кривой будут непрерывно изменяться от . Расширяя до отрицательных действительных чисел, мы получаем два противоположных значения для квадратного корня - например, ± i для –1 - в зависимости от того, была ли область расширена через верхнюю или нижнюю половину комплексной плоскости. Это явление очень часто встречается для корней n- й степени , логарифмов и обратных тригонометрических функций .${\ displaystyle f (z) = {\ sqrt {z}} \,}$${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle {\ sqrt {1}} = 1}$

Чтобы определить однозначную функцию из сложной многозначной функции, можно выделить одно из нескольких значений как главное значение , создав однозначную функцию на всей плоскости, которая является разрывной вдоль определенных граничных кривых. В качестве альтернативы, работа с многозначной функцией позволяет иметь что-то, что везде непрерывно, за счет возможных изменений значений при следовании замкнутому пути ( монодромия ). Эти проблемы решены в теории римановых поверхностей : чтобы рассматривать многозначную функцию как обычную функцию, не отбрасывая никаких значений, нужно умножить область на многослойное накрывающее пространство , многообразие${\ displaystyle f (z)}$которая является римановой поверхностью, ассоциированной с .${\ displaystyle f (z)}$

Примеры [ править ]

• Каждое действительное число больше нуля имеет два действительных квадратных корня , так что квадратный корень можно рассматривать как многозначную функцию. Например, мы можем написать ; хотя ноль имеет только один квадратный корень .${\ displaystyle {\ sqrt {4}} = \ pm 2 = \ {2, -2 \}}$${\ displaystyle {\ sqrt {0}} = \ {0 \}}$
• Каждое ненулевое комплексное число имеет два квадратных корня, три кубических корня и, как правило, корень n n . Единственный корень n- й степени из 0 равен 0.
• Функция комплексного логарифма многозначна. Значения , принимаемые для действительных чисел и являются для всех целых чисел .${\ Displaystyle \ журнал (а + би)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ log {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} + i \ arg (a + bi) +2 \ pi ni}$ ${\ displaystyle n}$
• Обратные тригонометрические функции многозначны, потому что тригонометрические функции периодичны. У нас есть

${\displaystyle \tan \left({\textstyle {\frac {\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {5\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {-3\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {(2n+1)\pi }{4}}}\right)=\cdots =1.}$

Как следствие, arctan (1) интуитивно связано с несколькими значениями: π / 4, 5 π / 4, −3 π / 4 и так далее. Мы можем рассматривать arctan как однозначную функцию, ограничивая область значений tan x до - π / 2 < x < π / 2 - области, в которой tan x монотонно возрастает. Таким образом, диапазон arctan ( x ) становится - π / 2 < y < π / 2 . Эти значения из ограниченного домена называются основными значениями .

• Неопределенный интеграл можно рассматривать как многозначную функцию. Неопределенный интеграл функции - это набор функций, производная которых является этой функцией. Постоянная интегрирования следует из того , что производная функции постоянной является 0.
• Argmax многозначна, например ,${\displaystyle \operatorname {argmax} _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{2\pi k\;|\;k\in \mathbb {Z} \}}$

Все это примеры многозначных функций, возникающих из неинъективных функций . Поскольку исходные функции не сохраняют всю информацию о своих входах, они не обратимы. Часто ограничение многозначной функции является частичным обратным к исходной функции.

Многозначные функции комплексного переменного имеют точки ветвления . Например, для функции корня n и логарифма 0 - точка ветвления; для функции арктангенса мнимые единицы i и - i являются точками ветвления. Используя точки ветвления, эти функции можно переопределить как однозначные, ограничив диапазон. Подходящий интервал может быть найден путем использования разветвления , своего рода кривой, которая соединяет пары точек ветвления, тем самым уменьшая многослойную риманову поверхность функции до единственного слоя. Как и в случае с реальными функциями, ограниченный диапазон можно назвать главной ветвью функции.

Многозначный анализ [ править ]

Многозначный анализ - это изучение множеств в духе математического анализа и общей топологии .

Вместо того, чтобы рассматривать наборы только точек, многозначный анализ рассматривает наборы наборов. Если набор наборов снабжен топологией или наследует соответствующую топологию от лежащего в основе топологического пространства, то сходимость наборов может быть изучена.

Большая часть многозначного анализа возникла благодаря изучению математической экономики и оптимального управления , отчасти как обобщение выпуклого анализа ; Термин « вариационный анализ » используют такие авторы, как Р. Тиррелл Рокафеллар и Роджер Дж. Б. Уетс , Джонатан Борвейн и Адриан Льюис , а также Борис Мордухович . В теории оптимизации сходимость аппроксимирующих субдифференциалов к субдифференциалам важна для понимания необходимых или достаточных условий для любой точки минимизации.

Существуют многозначные расширения следующих понятий из точечного анализа: непрерывность , дифференцирование , интегрирование , ^[1] теорема о неявной функции , сжимающие отображения , теория меры , теоремы о неподвижной точке , ^[2] оптимизация и теория топологической степени .

Уравнения обобщены на включения .

Типы многозначных функций [ править ]

Можно выделить несколько концепций, обобщающих непрерывность , таких как свойство замкнутого графа и полунепрерывность сверху и снизу ^[a] . Существуют также различные обобщения меры на многофункциональность.

Приложения [ править ]

Множественные функции возникают в теории оптимального управления , особенно в дифференциальных включениях и связанных предметах, таких как теория игр , где теорема Какутани о неподвижной точке для мультифункций была применена для доказательства существования равновесий по Нэшу (в контексте теории игр многозначную функцию обычно называют как переписка ). Это среди многих других свойств, слабо связанных с аппроксимируемостью полунепрерывных мультифункций верхней части через непрерывные функции, объясняет, почему полунепрерывность верхней части более предпочтительна, чем полунепрерывность нижней части.

Тем не менее, полунепрерывные снизу мультифункции обычно обладают непрерывной выборкой, как указано в теореме Майкла о выборе , которая обеспечивает другую характеризацию паракомпактных пространств. ^{[3] [4]} Другие селекционные теоремы, такие как направленный непрерывный выбор Брессана-Коломбо, теорема Куратовского и измеримого выбора Рилля -Нардзевского , измеримый выбор Ауманна и выбор Фришковского для разложимых отображений, важны для оптимального управления и теории дифференциальных включений .

В физике многозначные функции играют все более важную роль. Они образуют математическую основу для Дирака «ы магнитных монополей , для теории дефектов в кристаллах и в результате пластичности материалов, для вихрей в сверхтекучих и сверхпроводниках , а также для фазовых переходов в этих системах, например , плавление и удержание кварков . Они являются источником структур калибровочного поля во многих областях физики. ^{[ необходима цитата ]}

Сравните с [ править ]

• Биекция
• Инъективная функция
• Сюръективная функция

См. Также [ править ]

• Толстая ссылка , гиперссылка "один ко многим"
• Интервальный конечный элемент
• Частичная функция

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• CD Aliprantis и KC Border, Бесконечномерный анализ. Путеводитель автостопом , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006 г.
• Дж. Андрес и Л. Горневич, Принципы топологической неподвижной точки для краевых задач , Kluwer Academic Publishers, 2003 г.
• Ж.-П. Обен, А. Челлина, Дифференциальные включения, многозначные карты и теория жизнеспособности , Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Берлин, 1984 г.
• Ж.-П. Обен, Х. Франковска , Многозначный анализ , Биркхойзер, Базель, 1990 г.
• К. Деймлинг, Многозначные дифференциальные уравнения , Вальтер де Грюйтер, 1992 г.
• Гелету, А. (2006). «Введение в топологические пространства и многозначные карты» (PDF) . Конспект лекций . Technische Universität Ilmenau .
• Х. Кляйнерт , Многозначные поля в конденсированной среде, электродинамике и гравитации , World Scientific (Сингапур, 2008 г.) (также доступно в Интернете )
• Х. Кляйнерт , Калибровочные поля в конденсированных средах , Vol. I: Сверхпоток и вихревые линии, 1–742, Vol. II: Напряжения и дефекты, 743–1456, World Scientific, Сингапур, 1989 г. (также доступно в Интернете: том I и том II )
• Д. Реповш, П. В. Семенов, Непрерывный выбор многозначных отображений , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
• ЕС Тарафдар и МСР Чоудхури, Топологические методы многозначного нелинейного анализа , World Scientific, Сингапур, 2008 г.
• Mitroi, F.-C .; Никодем, К .; Вонсович, С. (2013). «Неравенства Эрмита-Адамара для выпуклых многозначных функций» . Demonstratio Mathematica . 46 (4): 655–662. DOI : 10,1515 / Дема-2013-0483 .