Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . ( Январь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике ( дифференциальная геометрия ), A слоение является отношением эквивалентности на п -многообразием , что классы эквивалентности соединены, инъективно погруженных подмногообразий , все из той же размерности р , по образцу разложения в режиме реального пространства координат R п в смежности x + R p стандартно вложенного подпространства R p . Классы эквивалентности называются листамислоения. [1] Если требуется, чтобы многообразие и / или подмногообразия имели кусочно-линейную , дифференцируемую (класса C r ) или аналитическую структуру, то можно определить кусочно-линейные, дифференцируемые или аналитические слоения соответственно. В наиболее важном случае дифференцируемого слоения класса C r обычно понимается, что r ≥ 1 (иначе C 0 - топологическое слоение). [2] Число p (размерность листов) называется размерностью слоения, а q = n -p называется его коразмерностью .
В некоторых работах математиков-физиков по общей теории относительности термин слоение (или сечение ) используется для описания ситуации, когда соответствующее лоренцево многообразие ((p + 1) -мерное пространство-время ) было разложено на гиперповерхности размерности p , заданной как множества уровня действительнозначной гладкой функции ( скалярного поля ), градиент которой всюду ненулевой; эта гладкая функция, кроме того, обычно считается функцией времени, что означает, что ее градиент везде подобен времени, так что все его уровни являются пространственными гиперповерхностями. Из уважения к стандартной математической терминологии эти гиперповерхности часто называют листами (или иногда срезами ) слоения. [3] Обратите внимание, что хотя эта ситуация и составляет слоение коразмерности 1 в стандартном математическом смысле, примеры этого типа на самом деле глобально тривиальны; в то время как листы (математического) слоения коразмерности 1 всегда являются локальными множествами уровня функции, они, как правило, не могут быть выражены таким образом глобально, [4] [5]поскольку лист может проходить через локально упрощающую карту бесконечно много раз, и голономия вокруг листа может также препятствовать существованию глобально согласованных определяющих функций для листьев. Например, в то время как 3-сфера имеет знаменитое слоение коразмерности 1, открытое Рибом, слоение коразмерности 1 замкнутого многообразия не может быть задано множествами уровня гладкой функции, поскольку гладкая функция на замкнутом многообразии обязательно имеет критические точки в максимумах и минимумах.
Слоистые карты и атласы [ править ]
Чтобы дать более точное определение слоению, необходимо определить некоторые вспомогательные элементы.
Прямоугольная окрестность в R п представляет собой открытое подмножество вида B = J 1 × ⋅⋅⋅ × J п , где J я является (возможно , неограниченным) относительно открытого интервала в я осях координат й. Если J 1 имеет вид ( a , 0], говорят, что B имеет границу [6]
В следующем определении рассматриваются координатные карты, которые имеют значения в R p × R q , что допускает возможность существования многообразий с краями и ( выпуклыми ) углами.
Слоистые диаграммы на п -многообразия М коразмерности д называется пара ( U , φ ), где U ⊆ M открыто и является Диффеоморфизмом , будучи прямоугольной окрестностью в R д и прямоугольная окрестность в R р . Множество P y = φ −1 ( B τ × { y }), где , называется пластиной этой слоистой карты. Для каждого x ∈ Bτ множество S x = φ −1 ({ x } ×) называется трансверсалью слоистой карты. Множество ∂ т U = φ -1 ( В т × ( ∂ )) называется тангенциальной границей из U и= φ -1 (( ∂B т ) ×) называется поперечная граница из U . [7]
Листовая диаграмма является базовой моделью для всех слоений, причем бляшки - это листья. Обозначение B τ читается как « B -тангенциальный» и « B -поперечный». Также есть разные возможности. Если оба и B τ имеют пустую границу, слоеная карта моделирует слоения коразмерности q n -многообразий без границы. Если одна, но не обе из этих прямоугольных окрестностей имеют границу, слоеная карта моделирует различные возможности для слоений n -многообразий с краем и без углов. В частности, если ∂ ≠ ∅ = ∂B τ , то∂U = ∂ τ U - объединение пластинок, а слоение пластинами касается границы. Если ∂B τ ≠ ∅ = ∂ , то ∂U = является объединением трансверсалей и слоение трансверсально границе. Наконец, если ∂ ≠ ∅ ≠ ∂B τ , это модель слоеного многообразия с углом, отделяющим касательную границу от поперечной границы. [7]
A расслоенного атласа коразмерности ц и класса С г (0 ≤ г ≤ ∞) на п -многообразия М является С г -atlas из слоеных диаграмм коразмерности ц , которые когерентно расслоенных в том смысле , что всякий раз, когда Р и Q являются бляшками в различных картах , то Р ∩ Q является открыть как в P и Q . [8]
Полезный способ переформулировать понятие когерентно расслоенных карт - написать для w ∈ U α ∩ U β [9]
Обозначение ( U α , φ α ) часто пишется ( U α , x α , y α ), причем [9]
На φ β ( U α ∩ U β ) формулу координат можно изменить как [9]
Условие когерентного расслоения ( U α , x α , y α ) и ( U β , x β , y β ) означает, что если P ⊂ U α - пластина, то связные компоненты P ∩ U β лежат в ( возможно отчетливые) бляшки U β . Эквивалентно, поскольку пластины U α и U β являются наборами уровней поперечных координат y α и y βсоответственно каждая точка z ∈ U α ∩ U β имеет окрестность, в которой формула
не зависит от x β . [9]
Основное использование листоватых атласов состоит в том, чтобы соединить их перекрывающиеся бляшки, чтобы сформировать листья слоения. Для этой и других целей приведенное выше общее определение слоистого атласа немного неуклюже. Одна проблема состоит в том, что пластина ( U α , φ α ) может встречаться с несколькими пластинами ( U β , φ β ). Может случиться даже так, что табличка одной карты встречается с бесконечно большим количеством табличек другой карты. Однако не теряется общность, если предположить, что ситуация является более регулярной, как показано ниже.
Два расслоенных атласов и на М того же коразмерности и гладкость class C г являются когерентными , если это слоеный С г -atlas. Когерентность слоистых атласов - это отношение эквивалентности. [9]
Доказательство [9] Рефлексивность и симметрия сразу же. Чтобы доказать транзитивность, пусть и . Пусть ( U α , x α , y α ) ∈ и ( W λ , x λ , y λ ) ∈ и пусть существует точка w ∈ U α ∩ W λ . Выберем ( V δ , x δ , y δ ) ∈ такое, что w ∈ V δ. По сказанного выше, существует окрестность Н из ж в U & alpha ; ∩ V & delta ; ∩ W λ таким образом, что
и поэтому
Поскольку w ∈ U α ∩ W λ произвольно, можно заключить, что y α ( x λ , y λ ) локально не зависит от x λ . Таким образом, доказано, что , следовательно, эта согласованность транзитивна. [10]
Бляшки и трансверсали, определенные выше на открытых множествах, также открыты. Но можно говорить и о закрытых бляшках и трансверсалиях. А именно, если ( U , ф ) и ( W , ф ) являются расслоенными диаграммы таким образом, что ( замыкание из U ) является подмножеством W и φ = ф | U тогда, если видно, что записанное диффеоморфно переносится на
Слоенный атлас называется правильным, если
- для каждого а Е А , представляет собой компактное подмножество слоеного диаграммы ( W & alpha ; , г | & alpha ; ) и ф & alpha ; = г | & alpha ; | U α ;
- покрытие { U & alpha ; | α ∈ A } локально конечно ;
- если ( U α , φ α ) и ( U β , φ β ) - элементы слоистого атласа, то внутренность каждой замкнутой таблички P ⊂ встречается не более чем с одной табличкой в [11]
По свойству (1) координаты x α и y α продолжаются до координат и далее, и можно записать свойство (3) эквивалентно требованию, чтобы, если U α ∩ U β ≠, поперечные изменения координат не зависели от того, что
имеет формулу [11]
Аналогичные утверждения справедливы и для открытых графиков (без дополнительных черт). Карту поперечных координат y α можно рассматривать как погружение
а формулы y α = y α ( y β ) можно рассматривать как диффеоморфизмы
Они удовлетворяют условиям коцикла . То есть на y δ ( U α ∩ U β ∩ U δ ),
и, в частности, [12]
Используя приведенные выше определения для согласованности и регулярности, можно доказать, что каждый слоистый атлас имеет согласованное уточнение, которое является регулярным. [13]
Доказательство [13] Зафиксируем метрику на M и слоистый атлас. Переходя , если необходимо, к подпокрытию , можно считать, что оно конечно. Пусть ε> 0 число Лебега для То есть, любое подмножество X ⊆ М диаметра <Е лежит целиком в некотором W J . Для каждого x ∈ M выберем j такое, что x ∈ W j, и выберем слоеную карту ( U x , φ x ) такую, что
- x ∈ U x ⊆ ⊂ W j ,
- φ x = ψ j | U x ,
- диаметр ( U x ) <ε / 2.
Предположим, что U x ⊂ W k , k ≠ j , и запишем ψ k = ( x k , y k ), как обычно, где y k : W k → R q - отображение поперечных координат. Это погружение с пластинами W k в качестве уровней. Таким образом, y k ограничивается субмерсией y k : U x → R q .
Это локально постоянная величина в x j ; поэтому выбирая U x меньшим, если необходимо, можно считать, что y k | имеет таблички в качестве набора уровней. То есть каждая пластина из W k встречает (следовательно, содержит) не более одной (компактной) пластины из . Поскольку 1 < k < l <∞, можно выбрать U x так, чтобы, когда U x ⊂ W k , различные пластины лежали в разных пластинах W k . Переходим к конечному податласу в {( U x ,φ x ) | x ∈ M }. Если U я ∩ U J ≠ 0, то диаметр ( U я ∪ U J ) <ε, и поэтому существует индекс к таким образом, что отчетливые бляшки (соответственно ) лежат в различных бляшек W к . Следовательно, каждая табличка имеет внутреннее соответствие не более одной табличке, и наоборот. По построению является последовательным уточнением и является правильным слоенным атласом.
Если M не компактно, локальная компактность и вторая счетность позволяют выбрать последовательность компактных подмножеств, такую что K i ⊂ int K i +1 для каждого i ≥ 0 и переходя к податласу, предполагается, что оно счетно и строго может быть найдена возрастающая последовательность натуральных чисел, покрывающая K l . Обозначим через δ l расстояние от K l до ∂ K l +1 и выберем ε l > 0 настолько малым, чтобы ε l <min {δl / 2, ε l -1 } для l ≥ 1, ε 0 <δ 0/2 , а ε l - число Лебега для(как открытое покрытие K l ) и для(как открытое покрытие K l + 1 ). Точнее, если X ⊂ M пересекает K l (соответственно K l +1 ) и diam X <ε l , то X лежит в некотором элементе(соответственно). Для каждого x ∈ K l int K l -1 , построим ( U x , φ x ) как для компактного случая, требуя, чтобы это было компактным подмножеством W j и чтобы φ x = ψ j | U x , некоторый j ≤ n l . Также потребуем, чтобы diam <ε l / 2. Как и прежде, перейти к конечному подпокрытия из К л Int К л -1 . (Здесь принято n −1 = 0.) Это создает правильный слоистый атлас. это уточняет и согласуется с .
Определения слоения [ править ]
Существует несколько альтернативных определений слоения в зависимости от способа получения слоения. Самый распространенный способ получить слоение - это разложение, достигающее следующего
Определение. Р - мерный, класс С г слоением из п - мерного многообразия М является разложением М в объединение непересекающихся соединены подмногообразие { L & alpha } α∈ А , называемых листы слоения, со следующим свойством: Каждой точкой в M имеет окрестность U и систему локальных координат класса C r x = ( x 1 , ⋅⋅⋅, x n ): U →R n такой, что для каждого листа L α компоненты U ∩ L α описываются уравнениями x p +1 = constant, ⋅⋅⋅, x n = constant. Слоение обозначается = { Ь & alpha } α∈ A . [14]
Понятие листьев позволяет интуитивно думать о слоении. Для немного более геометрического определения, р - мерное слоение из п -многообразие М можно рассматривать просто как сборник { М } попарно непересекающихся, соединены, погружают р - мерные подмногообразия (листья слоения) из М , такая, что для каждой точки x в M существует карта с U, гомеоморфная R n, содержащая x, такая что каждый лист M a пересекаетU либо в пустом множестве, либо в счетном наборе подпространств, образы которых под in являются p -мерными аффинными подпространствами , первые n - p координаты которых постоянны.
Локально каждое слоение является субмерсией, допускающей следующие
Определение. Пусть M и Q - многообразия размерности n и q ≤ n соответственно, и пусть f : M → Q - субмерсия, то есть предположим, что ранг функционального дифференциала ( якобиана ) равен q . Это следует из теоремы о неявной функции , что ƒ индуцирует коразмерность д слоение на М , где листы определяются как компоненты F -1 ( х ) для й ∈ Q .[14]
Это определение описывает измерение - р слоение из п - мерного многообразия М , что является охватывается диаграммой U я вместе с картами
таким образом, что для перекрытия пар U я , U J функции перехода ф IJ : R п → R п определяется
принять форму
где x обозначает первые q = n - p координаты, а y обозначает последние p координаты. То есть,
Разбиение функций перехода φ ij на и как часть субмерсии полностью аналогично разбиению на и как часть определения правильного слоистого атласа. Это делает возможным другое определение слоений в терминах правильных атласов со слоями. Для этого сначала нужно доказать, что каждому правильному слоеному атласу коразмерности q соответствует единственное слоение коразмерности q . [13]
Доказательство [13] Пусть - регулярный слоеный атлас коразмерности q . Задайте отношение эквивалентности на M , положив x ~ y тогда и только тогда, когда либо существует -пометка P 0 такая, что x , y ∈ P 0, либо существует последовательность L = { P 0 , P 1 , ⋅⋅⋅, P p } -блоков таких, что x ∈ P 0 , y ∈ P p и P i ∩ P i-1 ≠ ∅ с 1 ≤ i ≤ p . Последовательность L назовем цепочкой бляшек длины p, соединяющей x и y . В случае, когда x , y ∈ P 0 , говорят, что { P 0 } - это цепочка бляшек длины 0, соединяющая x и y . Тот факт, что ~ - отношение эквивалентности, очевиден. Также ясно, что каждый класс эквивалентности L представляет собой объединение бляшек. Поскольку -бляшки могут перекрываться только в открытых подмножествах друг друга, Lявляется локально топологически погруженным подмногообразием размерности n - q . Открытые подмножества пластин P ⊂ L образуют базу локально евклидовой топологии на L размерности n - q, и L очевидно связна в этой топологии. Это тривиально , чтобы проверить , что L является Хаусдорф . Основной проблемой является показать , что L является второй счетно . Поскольку каждая табличка является 2-й счетной, то же самое будет справедливо и для L, если будет показано, что набор -бляшек в Lне более чем счетно бесконечно. Зафиксируйте одну такую пластинку P 0 . По определению регулярного слоеного атласа P 0 встречается только с конечным числом других бляшек. То есть существует только конечное число цепочек пластин { P 0 , P i } длины 1. Индукцией по длине p цепочек пластин, которые начинаются в P 0 , аналогично доказывается, что существует только конечное число цепочек с длиной ≤ p. . Поскольку каждая -блочка в L по определению ~ достигается конечной цепочкой бляшек, начинающейся в P 0 , утверждение следует.
Как показано в доказательстве, слои слоения являются классами эквивалентности цепочек пластин длины ≤ p, которые также являются топологически погруженными p -мерными подмногообразиями Хаусдорфа . Далее показано, что отношение эквивалентности бляшек на листе выражается в эквивалентности когерентных слоистых атласов в отношении их связи со слоением. Более конкретно, если и являются слоистыми атласами на M и если связано со слоением, то и являются когерентными тогда и только тогда, когда они также связаны с . [10]
Доказательство [10] Если также связан с , каждый лист L представляет собой объединение -бляшек и -пластин. Эти пластины являются открытыми подмножествами в топологии многообразия L , поэтому пересекаются в открытых подмножествах друг друга. Так как бляшки связаны, -бляшка не может пересекать -пляшку, если они не лежат в общем листе; так что слоистые атласы согласованы. И наоборот, если мы знаем только, что связано с и что , пусть Q будет -бляшкой. Если L - лист и w ∈ L ∩ Q , пусть P ∈ L --plaque с ш ∈ P . Тогда Р ∩ Q представляет собой открытую окрестность ш в Q и P ∩ Q ⊂ L ∩ Q . Так как W ∈ L ∩ Q является произвольным, то отсюда следует , что L ∩ Q открыто в Q . Поскольку L - произвольный лист, Q распадается на непересекающиеся открытые подмножества, каждое из которых является пересечением Q с некоторым листом . Поскольку Qсвязано, L ∩ Q = Q . Наконец, Q - это произвольная -ляска, поэтому она связана с .
Теперь очевидно, что соответствие между слоениями на M и ассоциированными с ними слоистыми атласами индуцирует взаимно однозначное соответствие между множеством слоений на M и множеством классов когерентности слоеных атласов или, другими словами, слоением коразмерности д и класс с г на М является когерентностью классом слоеных атласов коразмерности д и класса с г на М . [15] По лемме Цорна очевидно, что каждый класс когерентности слоеных атласов содержит единственный максимальный слоистый атлас. Таким образом,
Определение. Слоение коразмерности д и класса С г на М является максимальным расслаивается С г -atlas коразмерности д на М . [15]
На практике для представления слоения обычно используется относительно небольшой атлас со слоями. Обычно также требуется, чтобы этот атлас был регулярным.
На диаграмме U i полосы x = constant совпадают с полосами на других диаграммах U j . Эти подмногообразия кусок вместе с диаграммы в виде графика для максимального подключенного инъектив погруженных подмногообразий называются листья слоения.
Если сжать карту U i, ее можно записать как U ix × U iy , где U ix ⊂ R n - p , U iy ⊂ R p , U iy гомеоморфен пластинам, а точки U ix параметризуют пластины в U i . Если выбрать y 0 в U iy , то U ix × { y 0 } является подмногообразием Ui, который пересекает каждую пластину ровно один раз. Это называется локальным трансверсальным сечением слоения. Обратите внимание, что из-замонодромииглобальные трансверсальные сечения слоения могут не существовать.
Случай r = 0 довольно особенный. Те C 0 слоения, которые возникают на практике, обычно «гладколистные». Точнее, они относятся к классу C r , 0 в следующем смысле.
Определение. Слоение относится к классу C r, k , r > k ≥ 0, если соответствующий класс когерентности слоистых атласов содержит правильный слоистый атлас { U α , x α , y α } α∈ A такой, что замена координатной формулы
имеет класс C k , но x α имеет класс C r в координатах x β, а его смешанные частичные x β порядков ≤ r равны C k в координатах ( x β , y β ). [16]
Приведенное выше определение предлагает более общую концепцию расслоенного пространства или абстрактной ламинации . Одно успокаивает условие , что трансверсали быть открытыми, относительно компактных подмножеств R д , позволяя поперечные координаты у α взять их значение в некоторой более общей топологическом пространстве Z . Пластинки по-прежнему являются открытыми, относительно компактными подмножествами R p , формула замены поперечных координат y α ( y β ) непрерывна, а x α ( x β , y β ) имеет классC r в координатах x β и его смешанные частичные x β порядков ≤ r непрерывны в координатах ( x β , y β ). Обычно требуется, чтобы M и Z были локально компактными, вторыми счетными и метризуемыми. Это может показаться довольно диким обобщением, но есть контексты, в которых оно полезно. [17]
Голономия [ править ]
Пусть ( M , ·) - слоистое многообразие. Если L представляет собой лист и S есть путь в L , один заинтересован в поведении слоения в окрестности х в М . Интуитивно обитатель листа ходит по тропе s , следя за всеми ближайшими листьями. По мере того, как он, она или она (далее обозначаемая s ( t )) движется, некоторые из этих листьев могут «отслаиваться», выходя за пределы видимости, другие могут внезапно оказаться в зоне досягаемости и асимптотически приблизиться к L , другие могут следовать за более или менее параллельным образом или ветер вокруг Lсбоку и т . д. Если s - цикл, то s ( t ) многократно возвращается в одну и ту же точку s ( t 0 ) по мере того, как t стремится к бесконечности, и каждый раз все больше и больше листьев могут по спирали появляться в поле зрения или из поля зрения и т . Такое поведение, если его формализовать должным образом, называется голономией слоения.
Голономия реализуется на слоистых многообразиях различными специфическими способами: полная группа голономии слоеных расслоений, псевдогруппа голономии общих слоеных многообразий, зародышевый группоид голономии общих слоеных многообразий, зародышевая группа голономии листа и инфинитезимальная группа голономии слоя. лист.
Слоистые связки [ править ]
Самый простой для понимания случай голономии - это полная голономия слоеного расслоения. Это обобщение понятия отображения Пуанкаре .
Термин «карта первого возврата (повторения)» пришел из теории динамических систем. Пусть Ф т неособая C г потока ( г ≥ 1) на компактном п -многообразии М . В приложениях можно представить, что M - циклотрон или какой-то замкнутый контур с потоком жидкости. Если M имеет границу, предполагается, что поток касается границы. Поток порождает одномерное слоение . Если запомнить положительное направление потока, но забыть о параметризации (форме траектории, скорости и т . Д.), Лежащее в основе слоениеназывается ориентированным. Предположим , что поток допускает глобальное сечение N . То есть, N представляет собой компактный, правильно вложенным, С г подмногообразие М размерности п - 1, слоение трансверсально N , и каждая линия потока соответствует N . Поскольку размеры N и листов дополняют друг друга, условие трансверсальности состоит в том, что
Пусть у ∈ N и рассмотрим ω - предельное множество со ( у ) всех точек накопления в М всех последовательностей , где т к обращается в бесконечность. Можно показать, что ω (y) компактно, непусто и представляет собой объединение линий тока. Если существует значение t * ∈ R такое, что Φ t * ( z ) ∈ N, и отсюда следует, что
Поскольку N компактно и трансверсально N , то множество { t > 0 | Φ t ( y ) ∈ N} - монотонно возрастающая последовательность , расходящаяся до бесконечности.
При изменении y ∈ N положим τ ( y ) = τ 1 ( y ), определяя таким образом положительную функцию τ ∈ C r ( N ) (время первого возвращения) такую, что для произвольного y ∈ N Φ t ( у ) ∉ N , 0 < т < τ ( у ), а ф т ( у ) ( у ) ∈ N .
Определим f : N → N формулой f ( y ) = Φ τ ( y ) ( y ). Это карта C r . Если поток обратный, точно такая же конструкция дает обратный f −1 ; так что f ∈ Diff r ( N ). Этот диффеоморфизм является первым отображением возврата, а τ называется временем первого возврата . Хотя время первого возврата зависит от параметризации потока, должно быть очевидно, что f зависит только от ориентированного слоения. Можно перепараметризовать поток Φ t , сохраняя его невырожденным, класса C r и не меняя его направление на противоположное, так что τ ≡ 1.
Предположение, что существует поперечное сечение потока N, является очень ограничительным, подразумевая, что M - это полное пространство пучка волокон над S 1 . В самом деле, на R × N определим ~ f как отношение эквивалентности, порожденное
Эквивалентно, это эквивалентность орбиты для действия аддитивной группы Z на R × N, определенной формулой
для каждого K ∈ Z и для каждого ( т , у ) ∈ R × N . Цилиндр отображения отображения f определяется как C r многообразие
По определению первой карты возврата f и предположению, что время первого возврата равно τ ≡ 1, сразу же очевидно, что отображение
определяемый потоком, индуцирует канонический диффеоморфизм C r
Если сделать идентификацию M п = М , то проекция R × N на R индуцирует С г карту
что превращает M в общее пространство расслоения над окружностью. Это просто проекция S 1 × D 2 на S 1 . Слоение трансверсально слоям этого расслоения, а проекция расслоения π , ограниченная на каждый лист L , является накрывающим отображением π : L → S 1 . Это называется расслоением .
Возьмем в качестве базовой точки x 0 ∈ S 1 класс эквивалентности 0 + Z ; так π -1 ( х 0 ) является оригинальным сечение Н . Для каждого цикла с на S 1 , основанный на х 0 , гомотопический класс [ s ] ∈ π 1 ( S 1 , х 0 ) однозначно характеризуется град ами ∈ Z . Петля s поднимается до пути в каждой поточной линии, и должно быть ясно, что подъем s yкоторая начинается в y ∈ N, заканчивается в f k ( y ) ∈ N , где k = deg s . Диффеоморфизм f k ∈ Diff r ( N ) также обозначается h s и называется полной голономией петли s . Поскольку это зависит только от [ s ], это определение гомоморфизма
называется гомоморфизмом полной голономии слоеного расслоения.
Используя расслоения более прямым образом, пусть ( M , ·) - слоистое n -многообразие коразмерности q . Пусть π : M → B является расслоение с д - мерный волоконным F и связной базой пространства B . Предположим, что все эти структуры относятся к классу C r , 0 ≤ r ≤ ∞, с условием, что, если r = 0, B поддерживает структуру C 1 . Поскольку каждый максимальный атлас C 1 на B содержит C∞ податласа, не теряется общность в предположении, что B настолько гладкий, насколько это необходимо. Наконец, для каждого х ∈ B , предположу , что существует связная открытая окрестность U ⊆ B из й и местная тривиализация
где φ представляет собой С г Диффеоморфизм (гомеоморфизм, если г = 0) , что ведет к продукции слоения { U × { у }} у ∈ F . Здесь - слоение с листьями связными компонентами L ∩ π −1 ( U ), где L пробегает слои . Это общее определение термина «слоеное расслоение» ( М , , П) класс С г .
поперечно к волокнам л (говорят , что это поперечно по отношению к расслоению) и что сужение я на каждый лист L из является накрытие π: L → B . В частности, каждый слой F x = π −1 ( x ) пересекает каждый слой слоя . Волокно представляет собой поперечное сечение в полной аналогии с понятием поперечного сечения потока.
Слоение существо поперек волокна не сам по себе, гарантии того, что листы накрытий B . Простая версия задачи - слоение R 2 , трансверсальное слоению
но с бесконечно большим количеством листьев без оси y . На соответствующем рисунке предполагается, что «стрелки» и все над ними асимптотические по отношению к оси x = 0. Такое слоение называется неполным по отношению к расслоению, что означает, что некоторые из листьев «уходят в сторону». бесконечность» в качестве параметра х ∈ B стремится к некоторому х 0 ∈ B . Точнее, могут существовать лист L и непрерывный путь s : [0, a ) → L такие, что lim t → a - π ( s ( t )) = x0 ∈ B , но Нт т → - с ( т ) не существует в многообразии топологии L . Это аналогично случаю неполных потоков, когда некоторые линии потока «уходят в бесконечность» за конечное время. Хотя такой лист L может в другом месте пересечь π −1 ( x 0 ), он не может равномерно покрывать окрестность x 0 , следовательно, не может быть покрывающим пространством B относительно π . Однако, когда F компактно, верно, что трансверсальность расслоению действительно гарантирует полноту, поэтому слоеное расслоение.
Существует атлас = { U & alpha ; , х & alpha ; } α∈A на B , состоящий из открытой, соединенных координат диаграммы, вместе с тривиализации ф & alpha ; : л -1 ( U & alpha ; ) → U & alpha ; × F , что перенос | л -1 ( U α ) на произведение слоения. Положим W α = π −1 ( U α ) и запишем φ α = ( x α , y α) , Где (злоупотребление нотации) х & alpha ; представляет й & alpha ; ∘ л и у & alpha ; : л -1 ( U & alpha ; ) → F является погружением в воде , полученное путем составления ф & alpha ; с канонической проекцией U а × F → F .
Атлас = { W α , x α , y α } α ∈ A играет роль, аналогичную роли атласа со слоями. Бляшки W α представляют собой наборы уровней y α, и это семейство бляшек идентично F через y α . Поскольку предполагается, что B поддерживает структуру C ∞ , согласно теореме Уайтхеда можно зафиксировать риманову метрику на B и выбрать атлас геодезически выпуклым. Таким образом, U α ∩U β всегда подключен. Если это пересечение непусто, каждая пластина W α встречает ровно одну пластину W β . Затем определим коцикл голономии , положив
Примеры [ править ]
Плоское пространство [ править ]
Рассмотрим n -мерное пространство, расслоенное как произведение на подпространства, состоящие из точек, первые n - p координаты которых постоянны. Это может быть покрыто одной диаграммой. Утверждение по существу состоит в том, что R n = R n - p × R p с листами или пластинами R p , пронумерованными R n - p . Аналогия видна непосредственно в трех измерениях, если взять n = 3 и p = 2 : двумерные листы книги пронумерованы (одномерным) номером страницы.
Пакеты [ править ]
Довольно тривиальный пример слоениями продукты М = В × Г , расслаивается листьев Р Ь = { Ь } × F , B ∈ B . (Другое слоение M задается формулой B f = B × { F }, F ∈ F. )
Более общий класс плоские G -расслоений с G = Homeo ( F ) для многообразия F . Учитывая представление ρ : π 1 ( B ) → Homeo ( F ) , плоский Нотео ( Р ) -расслоение с монодромии р задается , где π 1 ( В ) действует на универсальной крышке с помощью палубных преобразований и на F с помощью представления ρ .
Плоские жгуты укладываются в каркас жгутов волокон . Отображение π : M → B между многообразий является расслоение , если существует многообразие Р так , что каждый б ∈ B имеет открытую окрестность U таким образом, что существует гомеоморфизм с , с р 1 : U × F → U проекция на фактор первый. Расслоение слоев образует слоение на слои . Его пространство слоев L гомеоморфно B , в частности L - хаусдорфово многообразие.
Покрытия [ править ]
Если M → N является накрытием между многообразиями и F слоение на N , то она тянет обратно к слоению на М . В более общем смысле, если карта представляет собой просто разветвленное покрытие , где геометрическое место ветвления поперечно слоению, то слоение можно растянуть.
Погружения [ править ]
Если М п → N д , ( д ≤ п ) является погружением коллекторов, это следует из теоремы обратной функции , что компоненты связности волокон погружений определяют Коразмерность Q слоение M . Пучки волокон являются примером этого типа.
Пример субмерсии, которая не является пучком волокон, дается формулой
Эта субмерсия дает слоение [−1, 1] × R, инвариантное относительно Z -действий, заданных формулой
для ( х , у ) ∈ [-1, 1] × R и п ∈ Z . Индуцированные слоения Z \ ([−1, 1] × R ) называются двумерным слоением Риба (кольца) соответственно. 2-мерное неориентируемое слоение Риба (ленты Мёбиуса). Их листовые пространства не хаусдорфовы.
Слоения Риба [ править ]
Определите погружение
где ( r , θ ) ∈ [0, 1] × S n −1 - цилиндрические координаты на n -мерном диске D n . Эта субмерсия дает слоение D n × R, инвариантное относительно Z -действий, заданных формулой
для ( х , у ) ∈ D п × R , Z ∈ Z . Индуцированное слоение Z \ ( D n × R ) называется n -мерным слоением Риба . Его листовое пространство не хаусдорфово.
При n = 2 это дает слоение полнотория, которое можно использовать для определения слоения Риба 3-сферы, склеивая два полнотория вдоль их границы. Слоения нечетномерных сфер S 2 n +1 также известны в явном виде. [18]
Группы лжи [ править ]
Если G является группой Ли , а Н является подгруппой Ли , то G расслаивается на смежности из H . Когда Н является закрытым в G , то фактор - пространство G / H является гладким ( Хаусдорфово ) многообразием поворота G в расслоение со слоем Н и основанием G / H . Этот пучок волокон является фактически основным , со структурной группой H .
Действия группы лжи [ править ]
Пусть G группа Ли действует гладко на многообразии М . Если действие является локально свободным действием или свободное действие , то орбиты G определяют слоение M .
Линейные и кронекеровские слоения [ править ]
Если невырожденная ( т.е. , нигде не равна нулю) векторное поле, то локальный поток определяется пластырей вместе , чтобы определить слоение размерности 1. Действительно, для произвольной точки х ∈ M , тот факт , что неособо позволяет найти координату окрестность ( U , x 1 , ..., x n ) вокруг x такая, что
и
Геометрически линии потока - это просто наборы уровней.
где все Поскольку по соглашению многообразия вторыми счетные, листовые аномалии , такие как «длинной линия» исключены по второй счетности М самого. Сложность можно обойти, потребовав, чтобы это было полное поле ( например , чтобы M было компактным), следовательно, чтобы каждый лист был потоковой линией.
Важный класс одномерных слоений на торе T 2 получается путем проецирования постоянных векторных полей на T 2 . Постоянное векторное поле
на R 2 является инвариантом всех сдвигов в R 2 , следовательно , переходит к четко определенным векторным полем X при проекции на тор Т 2 = R 2 / Z 2 . Предполагается , что ≠ 0. слоение на R 2 производства имеет листьев , как параллельные прямые линии наклона θ = б / с . Это слоение также инвариантно относительно сдвигов и переходит к слоению на Т 2 , полученное с помощью X .
Каждый лист имеет форму
Если наклон рационален , то все листы замкнутые кривых гомеоморфов к окружности . В этом случае, можно взять с , Ь ∈ Z . При фиксированном t ∈ R все точки, соответствующие значениям t ∈ t 0 + Z, проецируются в одну и ту же точку T 2 ; поэтому соответствующий лист L из представляет собой встроенный круг в T 2 . Поскольку L произвольно, является слоением на T 2кругами. Достаточно легко следует, что это слоение на самом деле является расслоением π: T 2 → S 1 . Это называется линейным слоением .
Когда наклон θ = б / является иррациональным , листы некомпактные, гомеоморфно не-компактифицируются вещественными прямой и плотным в торе (ср вращения Иррационального ). Траектория каждой точки ( x 0 , y 0 ) никогда не возвращается в одну и ту же точку, но генерирует «всюду плотную» петлю вокруг тора, то есть приближается произвольно близко к любой данной точке. Таким образом, замыкание траектории представляет собой весь двумерный тор. Этот случай получил название слоения Кронекера в честь Леопольда Кронекера и его
Теорема Кронекера о плотности . Если действительное число θ отличается от каждого рационального числа, кратного π, то множество { e inθ | n ∈ Z } плотно в единичной окружности.
Доказательство Для того, чтобы сначала увидеть это, заметьте , что если лист из проектируется не один-к-одному в T 2 , должно быть действительное число т ≠ 0 , такие , что те и ТБ являются целыми числами. Но это означало бы , что б / с ∈ Q . Для того чтобы показать , что каждый лист л из плотно в T 2 , достаточно , чтобы показать , что для любого V ∈ R 2 , каждый лист из достигает произвольно малые положительные расстояния от соответствующих точек смежного класса V + Z 2. Подходящий перевод в R 2 позволяет предположить , что V = 0; так что задача сводится к тому, чтобы показать, что проходит сколь угодно близко к подходящим точкам ( n , m ) ∈ Z 2 . Линия имеет уравнение угла наклона
Поэтому для произвольного п> 0 достаточно найти такие целые числа n и m , что
Эквивалентно, с ∈ R существо произвольно, один сводится к показывая , что множество {θ п - т } т , п ∈ Z плотно в R . По сути, это критерий Евдокса, согласно которому θ и 1 несоизмеримы ( т. Е. Что θ иррационально).
Аналогичная конструкция, использующая слоение R n параллельными прямыми, дает одномерное слоение n -тора R n / Z n, связанное с линейным потоком на торе .
Подвесные слоения [ править ]
Плоское расслоение имеет не только слоение слоями, но и слоение, поперечное слоям, слои которого
где - каноническая проекция. Это слоение называется надстройкой представления ρ : π 1 ( B ) → Homeo ( F ) .
В частности, если B = S 1 и является гомеоморфизмом F , то надстройка слоения для определяется как надстройка над представлением ρ : Z → Homeo ( F ), заданным формулой ρ ( z ) = Φ z . Его пространство листьев L = / ~ , где х ~ у , когда у = Ф п ( х ) для некоторого п ∈ Z .
Простейшим примером слоения на надстройку является многообразие X размерности q . Пусть f : X → X биекция. Надстройку M = S 1 × f X определяют как частное от [0,1] × X по отношению эквивалентности (1, x ) ~ (0, f ( x )).
- M = S 1 × f X = [0,1] × X
Тогда автоматически M несет в себе два слоения: 2, состоящее из множеств вида F 2, t = {( t , x ) ~ : x ∈ X }, и 1, состоящее из множеств вида F 2, x 0 = {( t , x ): t ∈ [0,1], x ∈ O x 0 }, где орбита O x 0 определяется как
- O x 0 = {..., f −2 ( x 0 ), f −1 ( x 0 ), x 0 , f ( x 0 ), f 2 ( x 0 ), ...},
где показатель степени относится к тому, сколько раз функция f составлялась сама с собой. Обратите внимание, что O x 0 = O f ( x 0 ) = O f −2 ( x 0 ) и т. Д., Так что то же самое верно и для F 1, x 0 . Понимание слоения 1 эквивалентно пониманию динамики отображения f . Если многообразие X уже расслоено, можно использовать эту конструкцию для увеличения коразмерности слоения, пока f отображает листья в листья.
Кронекеровы слоения 2-тора - это надстройки поворотов R α : S 1 → S 1 на угол α ∈ [0, 2 π ).
Более конкретно, если Σ = Σ 2 - тор с двумя отверстиями с C 1 , C 2 ∈ Σ, две вложенные окружности пусть будут слоением произведения трехмерного многообразия M = Σ × S 1 с листьями Σ × { y }, y ∈ S 1 . Отметим, что N i = C i × S 1 - вложенный тор, трансверсальный N i , i = 1,2. Обозначим через Diff + ( S 1 ) группу сохраняющих ориентацию диффеоморфизмовS 1 и выберем f 1 , f 2 ∈ Diff + ( S 1 ). Разрежьте M вдоль N 1 и N 2 , обозначив и обозначив полученные копии N i , i = 1,2. В этой точке имеется многообразие M ' = Σ' × S 1 с четырьмя граничными компонентами . Слоение перешло в слоение, трансверсальное границе ∂ M ' , каждый лист которого имеет вид Σ' × { y },y ∈ S 1 .
Этот лист пересекает ∂ M ' в четырех окружностях. Если z ∈ C i , соответствующие точки in обозначаются z ± и "регулируются" отождествлением
Так как F 1 и F 2 являются сохраняющей ориентацией диффеоморфизмы S 1 , они являются изотопно идентичностью и многообразию , полученным с помощью этой операции regluing гомеоморфны М . Листья , однако, снова собрать , чтобы произвести новое слоение ( F 1 , F 2 ) из М . Если лист л из ( х 1 , х 2 ) содержит часть Х»× { у 0 }, то
где G ⊂ Diff + ( S 1 ) - подгруппа, порожденная { f 1 , f 2 }. Эти копии Σ 'связаны друг с другом отождествлениями
- ( z - , g ( y 0 )) ≡ ( z + , f 1 ( g ( y 0 ))) для каждого z ∈ C 1 ,
- ( z - , g ( y 0 )) ≡ ( z + , f 2 ( g ( y 0 ))) для каждого z ∈ C 2 ,
где г пробегает G . Лист полностью определяется G- орбитой y 0 ∈ S 1 и может быть простым или чрезвычайно сложным. Например, лист будет компактным именно в том случае, если соответствующая G -орбита конечна. В качестве крайнего примера, если G тривиален ( f 1 = f 2 = id S 1 ), то ( f 1 , f 2 ) = . Если орбита плотна в S 1 , соответствующий лист плотен в M. Например, если f 1 и f 2 - это вращения на рационально независимые числа, кратные 2π, каждый лист будет плотным. В других примерах некоторый лист L имеет замыкание, которое соответствует каждому множителю { w } × S 1 в канторовом множестве . Аналогичные построения можно сделать на Σ × I , где I - компактный невырожденный интервал. Здесь берется f 1 , f 2 ∈ Diff + ( I ) и, поскольку ∂ Iфиксируется поточечно всеми сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами, получается слоение, в котором две компоненты ∂ M являются слоями . Когда в этом случае образуется M ' , получается слоистое многообразие с углами. В любом случае эта конструкция называется надстройкой пары диффеоморфизмов и является плодородным источником интересных примеров слоений коразмерности один.
Слоения и интегрируемость [ править ]
Существует тесная связь, если предположить, что все гладко , с векторными полями : учитывая векторное поле X на M , которое никогда не равно нулю, его интегральные кривые будут давать одномерное слоение. (т.е. слоение коразмерности n - 1 ).
Это наблюдение обобщает к теореме Фробениуса , говоря о том , что необходимые и достаточные условия для распределения (т.е. п - р мерное подрасслоение в касательном расслоении многообразия) быть касательной к слоения, является то , что набор векторных касательные к распределению поля замкнуты относительно скобки Ли . Можно также фраза это по- разному, как вопрос о редукции структурной группы в касательном расслоении из GL ( п ) к приводимой подгруппе.
Условия теоремы Фробениуса появляются как условия интегрируемости ; и утверждение состоит в том, что если они выполняются, сокращение может иметь место, потому что существуют локальные функции перехода с требуемой структурой блока. Например, в случае коразмерности 1 мы можем определить касательное расслоение слоения как ker ( α ) для некоторого (неканонического) α ∈ Ω 1 (т. Е. Ненулевого ковекторного поля). Данное α интегрируемо тогда и только тогда, когда α ∧ dα = 0 всюду.
Существует теория глобального слоения, потому что существуют топологические ограничения. Например, в поверхностном случае на ориентируемой компактной поверхности может существовать всюду ненулевое векторное поле только для тора . Это следствие теоремы Пуанкаре – Хопфа об индексе , которая показывает, что эйлерова характеристика должна быть 0. Есть много глубоких связей с контактной топологией , которая является «противоположной» концепцией.
Существование слоений [ править ]
Хефлигер (1970) дал необходимое и достаточное условие для того, чтобы распределение на связном некомпактном многообразии было гомотопно интегрируемому распределению. Терстон ( 1974 , 1976 ) показал, что любое компактное многообразие с распределением имеет слоение той же размерности.
См. Также [ править ]
- G-структура
- Структура Хефлигера - обобщение слоений, замкнутое при откатах.
- Ламинирование
- Слоение Риба трехмерной сферы.
- Тугое слоение
Заметки [ править ]
- ^ Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 5
- ^ Аносов (2001), "Слоение" в энциклопедии математики
- ^ Gourgoulhon 2012, стр. 56
- ^ Г. Риб, Ремарк сюр-ле-фельетские структуры. Бык. Soc. Математика. Франция 87 (1959), 445–450.
- ^ HB Lawson, Jr. Слоения. Бык. Амер. Математика. Soc. 80 (1974), 369–418.
- ^ Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 19
- ^ a b Кандел и Конлон 2000, Слоения I, стр. 20
- ^ Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 23
- ^ a b c d e f Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 25
- ^ a b c Кандел и Конлон 2000, Слоения I, стр. 26 год
- ^ a b Кандел и Конлон 2000, Слоения I, стр. 27
- ^ Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 28 год
- ^ a b c d Кандел и Конлон 2000, Слоения I, стр. 29
- ^ a b Лоусон, Х. Блейн (1974), «Слоения», Бюллетень Американского математического общества , 80 (3): 369–418, ISSN 0040-9383
- ^ a b Кандел и Конлон 2000, Слоения I, стр. 31 год
- ^ Candel и Conlon 2000, Слоения I, стр. 31-31
- ^ Кандель и Конлон 2000, Слоения I, стр. 32
- ^ Durfee: Слоения нечетных сфер. Анналы математики, вторая серия, т. 96, № 2 (сентябрь 1972 г.), стр. 407–411.
Ссылки [ править ]
- Аносов Д.В. (2001) [1994], «Слоение» , Математическая энциклопедия , EMS Press
- Кандел, Альберто; Конлон, Лоуренс (2000). Слоения я . Аспирантура по математике. 23 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0809-5.
- Кандел, Альберто; Конлон, Лоуренс (2003). Слоения II . Аспирантура по математике. 60 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0809-5.
- Гургулхон, Эрик (2012). 3 + 1 Формализм в общей теории относительности . Конспект лекций по физике. 846 . Гейдельберг, Нью-Йорк, Дордрехт, Лондон: Springer . DOI : 10.1007 / 978-3-642-24525-1 . ISBN 978-3-642-24524-4.
- Хефлигер, Андре (1970), "Feuilletages сюр ле Варьетэ ouvertes", Топология , 9 (2): 183-194, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (70) 90040-6 , ISSN 0040-9383 , MR 0263104
- Lawson, Г. Блейн (1974), "Слоения" , Бюллетень Американского математического общества , 80 (3): 369-418, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1974-13432-4 , ISSN 0002-9904 , MR 0343289
- Moerdijk , Ieke; Мрчун, Дж. (2003), Введение в слоения и группоиды Ли , Кембриджские исследования в области высшей математики, 91 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83197-0, MR 2012261
- Reeb, Georges (1952), Sur surees propriétés topologiques des varés feuilletées , Actualités Sci. Ind., Нет. 1183, Hermann & Cie., Париж, MR 0055692
- Thurston, Уильям (1974), "Теория слоения коразмерности больше одного" , Commentarii Mathematici Helvetici , 49 : 214-231, DOI : 10.1007 / BF02566730 , ISSN 0010-2571 , MR 0370619
- Thurston, Уильям П. (1976), "Существование коразмерности один слоения", Анналы математики , вторая серия, Annals математики, 104 (2): 249-268, DOI : 10,2307 / 1971047 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971047 , Руководство по ремонту 0425985
Внешние ссылки [ править ]
- Слоения в Атласе многообразий.