В топологии и смежных областях математики , А подпространство из топологического пространства X является подмножество S из X , который оснащен топологией , индуцированной из , что из X называется топология подпространства (или относительная топология , или индуцированная топология , или след топология ).
Определение
Учитывая топологическое пространство и подмножество из , То топология подпространства на определяется
То есть подмножество открыто в топологии подпространства тогда и только тогда , когда оно является пересечением изс открытым набором в. Еслиоснащена топологией подпространства , то это топологическое пространство , в своем собственном праве, и называется подпространством в. Обычно предполагается, что подмножества топологических пространств снабжены топологией подпространств, если не указано иное.
В качестве альтернативы мы можем определить топологию подпространства для подмножества из как грубейшая топология, для которой отображение включения
является непрерывным .
В более общем плане предположим это инъекция из набора в топологическое пространство . Тогда топология подпространств на определяется как грубейшая топология, для которой непрерывно. Открытые множества в этой топологии в точности имеют вид для открыть в . тогда гомеоморфно своему образу в (также с топологией подпространства) и называется топологическим вложением .
Подпространство называется открытым подпространством, если инъекцияявляется открытой картой , т. е. если прямое изображение открытого набора открыт в . Точно так же оно называется замкнутым подпространством, если инъекцияэто замкнутая карта .
Терминология
Для удобства различие между множеством и топологическим пространством часто размывается в обозначениях, что может стать источником путаницы, когда кто-то впервые сталкивается с этими определениями. Таким образом, всякий раз, когда это подмножество , а также является топологическим пространством, то неприкрашенные символы "" а также ""может часто использоваться для обозначения как а также рассматривается как два подмножества , а также а также как топологические пространства, связанные, как обсуждалось выше. Поэтому такие фразы, как " открытое подпространство "используются для обозначения того, что открытое подпространство , в смысле, используемом ниже, то есть: (i) ; и (ii) считается наделенным топологией подпространства.
Примеры
В следующих, представляет действительные числа с их обычной топологией.
- Топология подпространства натуральных чисел , как подпространство, - дискретная топология .
- В рациональных числах рассматривается как подпространство не имеют дискретной топологии (например, {0} не является открытым множеством в ). Если a и b рациональны, то интервалы ( a , b ) и [ a , b ] соответственно открыты и замкнуты, но если a и b иррациональны, то множество всех рациональных x с a < x < b одновременно открытые и закрытые.
- Множество [0,1] как подпространство одновременно открыт и закрыт, тогда как как подмножество это только закрыто.
- Как подпространство , [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух непересекающихся открытых подмножеств (которые также оказываются замкнутыми) и, следовательно, является несвязным пространством .
- Пусть S = [0, 1) - подпространство вещественной прямой. Тогда [0, 1 ⁄ 2 ) открыто в S, но не в. Так же [ 1 ⁄ 2 , 1) замкнут в S, но не в. S является одновременно открытым и закрытым как подмножество самого себя, но не как подмножество.
Характеристики
Топология подпространства обладает следующим характерным свойством. Позволять быть подпространством и разреши - карта включения. Тогда для любого топологического пространства карта непрерывно тогда и только тогда, когда составное отображение непрерывно.
Это свойство характерно в том смысле, что его можно использовать для определения топологии подпространств на .
Перечислим некоторые дополнительные свойства топологии подпространств. Далее пусть быть подпространством .
- Если непрерывно ограничение на непрерывно.
- Если непрерывно, то непрерывно.
- Закрытые наборы в в точности пересечения с закрытыми наборами в .
- Если является подпространством тогда также является подпространством с такой же топологией. Другими словами, топология подпространства, которая наследуется от это то же самое, что наследуется от .
- Предполагать открытое подпространство (так ). Тогда подмножество открыт в если и только если он открыт в .
- Предполагать замкнутое подпространство в (так ). Тогда подмножество закрыт в тогда и только тогда, когда он закрыт в .
- Если это основа для тогда это основа для .
- Топология, индуцированная на подмножестве метрического пространства ограничением метрики этим подмножеством, совпадает с топологией подпространства для этого подмножества.
Сохранение топологических свойств
Если топологическое пространство, обладающее некоторым топологическим свойством, подразумевает, что его подпространства обладают этим свойством, то мы говорим, что это свойство является наследственным . Если только замкнутые подпространства должны обладать этим свойством, мы называем его слабо наследственным .
- Всякое открытое и всякое замкнутое подпространство вполне метризуемого пространства вполне метризуемо.
- Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра.
- Каждое замкнутое подпространство компакта компактно.
- Быть пространством Хаусдорфа наследственно.
- Будучи нормальным пространством слабо наследственным.
- Тотальная ограниченность наследственна.
- Будучи полностью отсоединен является наследственным.
- Первая и вторая счетность наследственные.
Смотрите также
- двойственное понятие факторпространства
- топология продукта
- топология прямой суммы
Рекомендации
- Бурбаки, Николас, Элементы математики: общая топология , Эддисон-Уэсли (1966)
- Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446
- Уиллард, Стивен. Общая топология , Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6