В общей топологии и смежных областях математики , то объединение непересекающегося (также называется прямой суммой , свободный союз , свободная сумма , топологическая сумма или копроизведение ) из семейства из топологических пространств является пространством , образованным оснащения несвязного объединения лежащих в основе множеств с естественной топологией, называемой топологией дизъюнктного объединения . Грубо говоря, в непересекающемся объединении данные пространства рассматриваются как часть единого нового пространства, каждое из которых выглядит так, как если бы оно выглядело в одиночку, и они изолированы друг от друга.
Название копроизведение происходит от того факта, что дизъюнктное объединение является категориальным двойником конструкции пространства произведения .
Определение
Пусть { X я : я ∈ I } семейство топологических пространств проиндексированных I . Позволять
- несвязное объединение основных множеств. Для каждого i в I пусть
быть канонической инъекции (определяется). Топология несвязная на X определяется как тончайшая топология на X , для которого всех канонических инъекцийявляются непрерывными (то есть: это конечная топология на X , индуцированное каноническим инъекций).
Явно топологию дизъюнктного объединения можно описать следующим образом. Подмножество U из X является открытым в X тогда и только тогда , когда ее прообраз открыто в X я для каждого I ∈ I . Еще одна формулировка состоит в том, что подмножество V в X открыто относительно X тогда и только тогда, когда его пересечение с X i открыто относительно X i для каждого i .
Характеристики
Непересекающееся объединенное пространство X вместе с каноническими инъекциями можно охарактеризовать следующим универсальным свойством : если Y - топологическое пространство, а f i : X i → Y - непрерывное отображение для каждого i ∈ I , то существует в точности одно непрерывное отображение f : X → Y такое, что следующий набор диаграмм коммутирует :
Это показывает, что дизъюнктное объединение является копроизведением в категории топологических пространств . Это следует из сказанного выше универсальное свойство , что отображение F : X → Y непрерывно тогда и только тогда е я = е о φ я непрерывна для всех I в I .
Канонические инъекции φ i : X i → X не только непрерывны, но и являются открытыми и закрытыми отображениями . Отсюда следует , что инъекции являются топологическими вложениями , так что каждый X я могу быть канонический рассматривать как подпространство в X .
Примеры
Если каждый Х я это гомеоморфными к фиксированному пространства А , то несвязное объединение X гомеоморфно продукта пространства × I , где I имеет дискретную топологию .
Сохранение топологических свойств
- Любое непересекающееся объединение дискретных пространств дискретно
- Разделение
- Любое непересекающееся объединение T 0 пространств есть T 0
- Любое непересекающееся объединение T 1 пространств есть T 1
- Всякое непересекающееся объединение хаусдорфовых пространств хаусдорфово.
- Связность
- Непересекающееся объединение двух или более непустых топологических пространств несвязно.
Смотрите также
- топология продукта , двойная конструкция
- топология подпространств и ее двойственная фактор-топология
- топологическое объединение , обобщение на случай, когда части не пересекаются