Полностью ограниченное пространство

В топологии и смежных отраслей математики , общая-ограниченность является обобщением компактности для обстоятельств , в которых множество не обязательно закрыты . Полностью ограниченное множество может быть покрыто с помощью конечного множества подмножеств любого фиксированного «размера» (где значение «размера» зависит от структуры окружающего пространства .)

Термин « прекомпакт» (или « прекомпакт» ) иногда используется в том же значении, но «прекомпакт» также используется для обозначения относительно компактного . Эти определения совпадают для подмножеств полного метрического пространства , но не в общем.

В метрических пространствах [ править ]

Метрическое пространство является вполне ограничено тогда и только тогда , когда для любого действительного числа , существует конечный набор открытых шаров в М радиуса , объединение содержит $M$ . Эквивалентно, метрическое пространство M полностью ограничено тогда и только тогда, когда для каждого существует конечное покрытие такое, что радиус каждого элемента покрытия не превосходит . Это эквивалентно существованию конечной ε-сети . ^[1] Метрическое пространство называется предкомпактным по Коши. ${\ displaystyle (M, d)}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ если каждая последовательность допускает подпоследовательность Коши; в метрических пространствах множество предкомпактно по Коши тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено. ^[2]

Каждое вполне ограниченное пространство ограничено (как ограничено объединение конечного числа ограниченных множеств). Обратное верно для подмножеств евклидова пространства (с топологией подпространства ), но не в целом. Например, бесконечное множество с дискретной метрикой ограничено, но не полностью. ^[3]

Равномерные (топологические) пространства [ править ]

Метрика появляется в определении полной ограниченности только для того, чтобы гарантировать, что каждый элемент конечного покрытия имеет сопоставимый размер и может быть ослаблен до однородной структуры . Подмножество $S$ из равномерного пространства $X$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда для любого окружения $Е$ , существует конечное покрытие $S$ подмножествами $X$ каждый из которых декартова квадратов является подмножеством $Е$ . (Другими словами, $E$ заменяет «размер» $ε$ , и подмножество имеет размер $E,$ если его декартов квадрат является подмножеством $E.$ ) ^[2]

Определение можно распространить еще дальше на любую категорию пространств с понятием компактности и пополнения Коши : пространство вполне ограничено тогда и только тогда, когда его (Коши) пополнение компактно.

Примеры и элементарные свойства [ править ]

Каждый компакт полностью ограничен, если это понятие определено.
Всякое вполне ограниченное множество ограничено.
Подмножество вещественной прямой или, в более общем смысле, конечномерного евклидова пространства полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено . ^[4]^[3]
Единичный шар в гильбертовом пространстве , или в более общем случае в банаховом пространстве , вполне ограничено (в топологии нормы) тогда и только тогда , когда пространство имеет конечную размерность .
Равностепенно непрерывные ограниченные функции на компакте предкомпактны в равномерной топологии ; это теорема Арцела – Асколи .
Метрическое пространство является отделимо тогда и только тогда , когда оно гомеоморфно к совершенно ограниченному метрическому пространству. ^[3]
Замыкание вполне ограниченного подмножества снова вполне ограничено. ^[5]

Сравнение с компактами [ править ]

В метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; ^[4] без аксиомы выбора сохраняется только прямое направление. Предкомпактные наборы имеют ряд общих свойств с компактными наборами.

Как и компактные множества, конечное объединение вполне ограниченных множеств вполне ограничено.
В отличие от компактов, каждое подмножество вполне ограниченного множества снова вполне ограничено.
Непрерывный образ компакта компактен. Равномерно непрерывным образом предкомпактного множества предкомпактно.

В топологических группах [ править ]

Хотя понятие тотальной ограниченности тесно связано с метрическими пространствами, большая алгебраическая структура топологических групп позволяет отказаться от некоторых свойств разделения . Например, в метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. Согласно приведенному ниже определению, то же самое верно для любого топологического векторного пространства (не обязательно хаусдорфова или полного!). ^[5]^[6]^[7]

Общая логическая форма определения такова: подмножество пространства полностью ограничено тогда и только тогда, когда при любом размере существует конечное покрытие такого, что каждый элемент имеет размер не более , тогда полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно полностью ограничен, когда рассматривается как подмножество самого себя. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle E,}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle E.}$ ${\ displaystyle X}$

Мы принимаем соглашение , что для любых окрестностей единицы, подмножество называется ( влево ) -малая тогда и только тогда , когда ^[5] Подмножество из топологической группы является ( влево ) вполне ограниченно , если оно удовлетворяет любой из следующих эквивалентных условий : ${\ Displaystyle U \ substeq X}$ ${\ Displaystyle S \ substeq X}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle (-S) + S \ substeq U.}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$

Определение : для любой окрестности единицы существует конечное число таких, что ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle 0,}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ in X}$ ${\ textstyle S \ substeq \ bigcup _ {j = 1} ^ {n} \ left (x_ {j} + U \ right): = \ left (x_ {1} + U \ right) + \ cdots + \ left (x_ {n} + U \ right).}$
Для любой окрестности из существует конечное подмножество такое , что (где правая часть является суммой Минковского ). ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle 0,}$ ${\ Displaystyle F \ substeq X}$ ${\ Displaystyle S \ substeq F + U}$ ${\ Displaystyle F + U: = \ {F + U: F \ in F, u \ in U \}}$
Для любых окрестностей из существует конечное число подмножеств из таких , что каждый является -малым. ^[5] ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle 0,}$ ${\ Displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle S \ substeq B_ {1} \ чашка \ cdots \ чашка B_ {n}}$ ${\ displaystyle B_ {j}}$ ${\ displaystyle U}$
Для любой данной подбазы фильтра фильтра окрестностей единичного элемента (который состоит из всех окрестностей in ) и для каждого существует покрытие конечным числом -малых подмножеств ^[5] ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {N}}$ $0$ $X$ $B\in {\mathcal {B}},$ $S$ $B$ $X.$
$S$ является Коши ограниченное : для каждой окрестности единицы и каждого счетного подмножества из существуют различны , такие , что ^[5] (Если конечно , то это условие удовлетворяется тривиальным образом ). $U$ $I$ $S,$ $x,y\in I$ $x-y\in U.$ $S$
Любой из следующих трех наборов удовлетворяет (любому из вышеприведенных определений) полной (слева) ограниченности:
1. Замыкание на в ^[5] ${\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S$ $S$ $X.$
  - Присутствие этого множества в списке означает, что выполняется следующая характеристика: является (слева) тотально ограниченным тогда и только тогда, когда (слева) полностью ограничено (согласно любому из определяющих условий, упомянутых выше). Такая же характеристика сохраняется и для других наборов, перечисленных ниже. $S$ $\operatorname {cl} _{X}S$
2. Изображение в каноническом частном, которое определяется выражением (где - единичный элемент). $S$ $X\to X/{\overline {\{0\}}},$ $x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}$ $0$
3. Сумма ^[8] $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$

Термин прекомпактный обычно появляется в контексте топологических векторных пространств Хаусдорфа. ^[9]^[10] В этом случае следующие условия также эквивалентны (слева) тотальной ограниченности: $S$

В завершении части закрытия из компактно. ^[9]^[11] ${\widehat {X}}$ $X,$ $\operatorname {cl} _{\widehat {X}}S$ $S$
Каждый включенный ультрафильтр является фильтром Коши . $S$

Определение полностью ограниченной справа аналогично: просто поменяйте местами продукты.

Условие 4 означает, что любое подмножество в полностью ограничено (на самом деле компактно; см. § Сравнение с компактными множествами выше). Если не Хаусдорф, то, например, это не замкнутая компактная комплектация. ^[5] $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X$ $\{0\}$

Топологические векторные пространства [ править ]

Любое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой при сложении, поэтому применяются указанные выше условия. Исторически определение 1 (b) было первой переформулировкой полной ограниченности для топологических векторных пространств ; он восходит к статье Джона фон Неймана 1935 года. ^[12]

Это определение обладает тем привлекательным свойством, что в локально выпуклом пространстве со слабой топологией предкомпактные множества являются в точности ограниченными множествами .

Для сепарабельных банаховых пространств существует хорошая характеризация предкомпактных множеств (в топологии нормы) в терминах слабо сходящихся последовательностей функционалов: если - сепарабельное банахово пространство, то предкомпактно тогда и только тогда, когда каждая слабо сходящаяся последовательность функционалов сходится равномерно на ^[13] $X$ $S\subseteq X$ $S.$

Взаимодействие с выпуклостью [ править ]

Уравновешенная оболочка вполне ограниченного подмножество топологического векторного пространства снова вполне ограничена. ^[5]^[14]
Сумма Минковского двух компактных (вполне ограниченных) множеств компактна (соответственно вполне ограничена).
В локально выпуклом (хаусдорфовом) пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка вполне ограниченного множества вполне ограничены тогда и только тогда, когда они полны. ^[15] $K$ $K$

См. Также [ править ]

Компактное пространство
Локально компактное пространство
Мера некомпактности
Ортокомпактное пространство
Паракомпактное пространство
Относительно компактное подпространство

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Sutherland 1975 , p. 139.
^ a b Уиллард, Стивен (1970). Лумис, Линн Х. (ред.). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. п. 262. См. Определение 39.7 и лемму 39.8.
^ a b c Уиллард 2004 , стр. 182.
^ а б Колмогоров АН; Фомин, С.В. (1957) [1954]. Элементы теории функций и функционального анализа . 1 . Перевод Борана, Лео Ф. Рочестер, Нью-Йорк: Graylock Press. С. 51–3.
^ a b c d e f g h i Narici & Beckenstein 2011 , стр. 47-66.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 55-56.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 55-66.
↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 12-35.
^ a b Schaefer & Wolff 1999 , стр. 25.
^ Trèves 2006 , стр. 53.
^ Jarchow 1981 , стр. 56-73.
^ фон Нейман, Джон (1935). «О полных топологических пространствах» . Труды Американского математического общества . 37 (1): 1–20. DOI : 10.2307 / 1989693 . ISSN 0002-9947 .
Перейти ↑ Phillips, RS (1940). «О линейных преобразованиях». Анналы математики : 525.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 156-175.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 67-113.

Библиография [ править ]

Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Сазерленд, Вашингтон (1975). Введение в метрические и топологические пространства . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853161-3. Zbl 0304.54002 .
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

[FOOTNOTESutherland1975139-1] Перейти ↑ Sutherland 1975 , p. 139.

[:0-2] Уиллард, Стивен (1970). Лумис, Линн Х. (ред.). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. п. 262. См. Определение 39.7 и лемму 39.8.

[FOOTNOTEWillard2004182-3] Уиллард 2004 , стр. 182.

[:1-4] а б Колмогоров АН; Фомин, С.В. (1957) [1954]. Элементы теории функций и функционального анализа . 1 . Перевод Борана, Лео Ф. Рочестер, Нью-Йорк: Graylock Press. С. 51–3.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201147-66-5] ^ a b c d e f g h i Narici & Beckenstein 2011 , стр. 47-66.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201155-56-6] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 55-56.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201155-66-7] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 55-66.

[FOOTNOTESchaeferWolff199912-35-8] Schaefer & Wolff 1999 , стр. 12-35.

[FOOTNOTESchaeferWolff199925-9] Schaefer & Wolff 1999 , стр. 25.

[FOOTNOTETrèves200653-10] Trèves 2006 , стр. 53.

[FOOTNOTEJarchow198156-73-11] Jarchow 1981 , стр. 56-73.

[12] фон Нейман, Джон (1935). «О полных топологических пространствах» . Труды Американского математического общества . 37 (1): 1–20. DOI : 10.2307 / 1989693 . ISSN 0002-9947 .

[13] Перейти ↑ Phillips, RS (1940). «О линейных преобразованиях». Анналы математики : 525.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011156-175-14] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 156-175.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201167-113-15] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 67-113.

[1]