Закрытое погружение

Для одноименной концепции в дифференциальной геометрии см погружение (математика) .

В алгебраической геометрии , A замкнутое вложение из схем является морфизмом схем , которые идентифицируют Z как замкнутое подмножество X таких , что локально, регулярные функции на Z могут быть распространены на X . ^[1] Последнее условие можно формализовать, сказав, что оно сюръективно. ^[2]${\ displaystyle f: Z \ to X}$${\ displaystyle f ^ {\ #}: {\ mathcal {O}} _ {X} \ rightarrow f _ {\ ast} {\ mathcal {O}} _ {Z}}$

Примером может служить отображение включения, индуцированное каноническим отображением .${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R / I) \ to \ operatorname {Spec} (R)}$${\ displaystyle R \ to R / I}$

Другие характеристики [ править ]

Следующие варианты эквивалентны:

1. ${\ displaystyle f: Z \ to X}$ закрытое погружение.
2. Для каждого открытого аффинного , существует идеал такой , что в схемах над U .${\ Displaystyle U = \ OperatorName {Spec} (R) \ подмножество X}$${\ Displaystyle I \ подмножество R}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (U) = \ operatorname {Spec} (R / I)}$
3. Существует открытое аффинное покрытие, и для каждого j существует такой идеал , что как схемы над .${\ displaystyle X = \ bigcup U_ {j}, U_ {j} = \ operatorname {Spec} R_ {j}}$${\ displaystyle I_ {j} \ subset R_ {j}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (U_ {j}) = \ operatorname {Spec} (R_ {j} / I_ {j})}$${\ displaystyle U_ {j}}$
4. Существует квази-когерентный пучок идеалов на X такие , что и е является изоморфизмом Z на глобальном Spec в течение X .${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$

Свойства [ править ]

Замкнутое погружение конечно и радиально (универсально инъективно). В частности, замкнутое погружение универсально замкнуто. Закрытое погружение устойчиво к изменениям основы и состава. Понятие замкнутого погружения является локальным в том смысле, что f является замкнутым погружением тогда и только тогда, когда для некоторого (эквивалентно любого) открытого покрытия индуцированное отображение является замкнутым погружением. ^{[3] [4]}${\displaystyle X=\bigcup U_{j}}$${\displaystyle f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}}$

Если композиция является замкнутым вложением и будет отделена , то есть замкнутое погружение. Если X - отделимая S -схема, то каждое S -сечение X является замкнутым погружением. ^[5]${\displaystyle Z\to Y\to X}$${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle Z\to Y}$

Если - замкнутое погружение и - квазикогерентный пучок идеалов, вырезающий Z , то прямой образ из категории квазикогерентных пучков над Z в категорию квазикогерентных пучков над X точен, полностью совпадает с существенным образ, состоящий из такого, что . ^[6]${\displaystyle i:Z\to X}$${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle i_{*}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}{\mathcal {G}}=0}$

Плоское закрытое погружение конечного представления - это открытое погружение открытой замкнутой подсхемы. ^[7]

См. Также [ править ]

• Сегре встраивание
• Обычное встраивание

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту  0217083 .
• Проект " Стеки"
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157