Морфизм алгебраических многообразий

В алгебраической геометрии , А морфизм между алгебраическими многообразиями является функцией между сортами , которые локально задаются полиномами. Ее еще называют обычной картой . Морфизм алгебраического многообразия к аффинной прямой также называется регулярной функцией . Регулярное отображение, обратное которому также является регулярным, называется бирегулярным , и они являются изоморфизмами в категории алгебраических многообразий. Поскольку регулярность и бирегулярность являются очень ограничивающими условиями - на проективных многообразиях нет непостоянных регулярных функций - более слабое условие рационального отображения ичасто используются бирациональные карты.

Определение [ править ]

Если X и Y - замкнутые подмногообразия в A ⁿ и A ^m (значит, они являются аффинными многообразиями ), то регулярное отображение ƒ:  X → Y является ограничением полиномиального отображения A ⁿ → A ^m . В явном виде он имеет вид

${\ displaystyle f = (f_ {1}, \ dots, f_ {m})}$

где s находятся в координатном кольце из X :${\ displaystyle f_ {i}}$

${\ Displaystyle к [X] = к [x_ {1}, \ точки, x_ {n}] / I,}$

где I - идеал, определяющий X (примечание: два многочлена f и g определяют одну и ту же функцию на X тогда и только тогда, когда f  -  g находится в I ). Изображение е ( X ) лежит в Y , и , следовательно , удовлетворяет определяющие уравнения из Y . То есть регулярное отображение аналогично ограничению полиномиального отображения, компоненты которого удовлетворяют определяющим уравнениям .${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle Y}$

В более общем плане , карта ƒ: X → Y между двумя сортами является регулярной в точке х , если существует окрестность U по х и окрестность V из ƒ ( х ) таким образом, что ƒ ( U ) ⊂ V и ограниченная функция ƒ: U → V является регулярным как функция на некоторых аффинных графиках U и V . Тогда ƒ называется регулярным , если она регулярна во всех точках X .

• Примечание: не сразу очевидно, что эти два определения совпадают: если X и Y - аффинные многообразия, то отображение ƒ: X → Y регулярно в первом смысле тогда и только тогда, когда оно так во втором смысле. ^[1] Кроме того, не сразу ясно, зависит ли регулярность от выбора аффинных диаграмм (это не так. ^[2] ) Однако такого рода проблема согласованности исчезает, если принять формальное определение. Формально (абстрактное) алгебраическое многообразие определяется как особый вид локально окольцованного пространства . Когда используется это определение, морфизм многообразий - это просто морфизм локально окольцованных пространств.

Состав регулярных карт снова регулярный; таким образом, алгебраические многообразия образуют категорию алгебраических многообразий, морфизмы которых являются регулярными отображениями.

Регулярные отображения между аффинными многообразиями контравариантно взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам алгебр между координатными кольцами: если ƒ: X → Y - морфизм аффинных многообразий, то он определяет гомоморфизм алгебр

${\ displaystyle f ^ {\ #}: от k [Y] \ до k [X], \, g \ mapsto g \ circ f}$

где - координатные кольца X и Y ; он определен правильно, поскольку является многочленом от элементов . Наоборот, если является гомоморфизмом алгебр, то он индуцирует морфизм${\ Displaystyle к [X], к [Y]}$${\ displaystyle g \ circ f = g (f_ {1}, \ dots, f_ {m})}$${\ displaystyle k [X]}$${\ Displaystyle \ phi: к [Y] \ к к [X]}$

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}$

предоставлено: написанием ${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))}$

где изображения русских. ^[3] Замечание, а также ^[4] В частности, f является изоморфизмом аффинных многообразий тогда и только тогда, когда f ^# является изоморфизмом координатных колец.${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }$${\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f.}$

Например, если Х представляет собой замкнутое подмногообразие аффинного многообразия Y и ƒ является включением, то ƒ ^# есть ограничение регулярных функций на Y к X . Дополнительные примеры см. В разделе # Примеры ниже.

Обычные функции [ править ]

В частном случае, когда Y равно A ^1, регулярное отображение ƒ: X → A ¹ называется регулярной функцией и является алгебраическим аналогом гладких функций, изучаемых в дифференциальной геометрии. Кольцо регулярных функций (то есть кольцо координат или более абстрактно кольцо глобальных сечений структурного пучка) является фундаментальным объектом в аффинной алгебраической геометрии. Единственная регулярная функция на проективном многообразии постоянна (это можно рассматривать как алгебраический аналог теоремы Лиувилля в комплексном анализе ).

Скалярная функция ƒ: X → A ¹ регулярна в точке x, если в некоторой открытой аффинной окрестности точки x она является рациональной функцией , регулярной в точке x ; т.е. рядом с x существуют регулярные функции g , h такие, что f = g / h и h не обращается в нуль в x . ^[5] Внимание: условие для некоторой пары ( g , h ) не для всех пар ( g , h ); см. Примеры.

Если X - квазипроективное многообразие ; то есть открытое подмножество проективного многообразия, то функция поля к ( X ) является такой же , как замыкания в X и , следовательно , рациональной функции на X имеет вид г / ч в течение некоторого однородных элементов г , ч из те же степени в однородном координатном кольцо из (сра структуры проективного многообразия # сорта .) Тогда рациональная функция F на X является регулярным в точке х${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$${\displaystyle {\overline {X}}}$тогда и только тогда, когда существуют однородные элементы g , h одинаковой степени в таких, что f = g / h и h не обращается в нуль в x . Эту характеристику иногда принимают за определение регулярной функции. ^[6]${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$

Сравнение с морфизмом схем [ править ]

Если X = Spec A и Y = Spec B - аффинные схемы , то каждый гомоморфизм колец φ: B → A определяет морфизм

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$

беря прообразы из простых идеалов . Все морфизмы между аффинными схемами относятся к этому типу, и склейка таких морфизмов дает морфизм схем в целом.

Теперь, если X , Y - аффинные многообразия; т.е. A , B являются областями целостности, которые являются конечно порожденными алгебрами над алгебраически замкнутым полем k , тогда, работая только с замкнутыми точками, приведенное выше определение совпадает с определением, данным в #Definition . (Доказательство: если ƒ: X → Y - морфизм, то записывая , нам нужно показать${\displaystyle \phi =f^{\#}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$

где - максимальные идеалы, соответствующие точкам x и f ( x ); то есть . Это немедленно.)${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$

Этот факт означает, что категорию аффинных многообразий можно отождествить с полной подкатегорией аффинных схем над k . Поскольку морфизмы многообразий получаются склейкой морфизмов аффинных многообразий точно так же, как морфизмы схем получаются склейкой морфизмов аффинных схем, отсюда следует, что категория многообразий является полной подкатегорией категории схем над k .

Подробнее см. [1] .

Примеры [ править ]

• Регулярные функции на A ⁿ - это в точности многочлены от n переменных, а регулярные функции на P ⁿ - это в точности константы.
• Пусть X - аффинная кривая . потом${\displaystyle y=x^{2}}$

${\displaystyle f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}$

это морфизм; он взаимно однозначен с обратным . Поскольку g также является морфизмом, f - изоморфизм многообразий.${\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}$

• Пусть X - аффинная кривая . потом${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$

${\displaystyle f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$

это морфизм. Он соответствует гомоморфизму колец

${\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$

который считается инъективным (поскольку f сюръективен).

• Продолжая предыдущий пример, пусть U = A ¹  - {1}. Поскольку U - дополнение гиперплоскости t = 1, U аффинно. Ограничение биективно. Но соответствующий гомоморфизм колец - это включение , которое не является изоморфизмом, и поэтому ограничение f | _U не является изоморфизмом.${\displaystyle f:U\to X}$${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$
• Пусть X - аффинная кривая x ² + y ² = 1 и пусть

${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}}$.

Тогда F является рациональной функцией на X . Он является регулярным в (0, 1), несмотря на выражение, поскольку как рациональная функция на X , f также может быть записано как .${\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}}$

• Пусть X = A ² - (0, 0) . Тогда X - алгебраическое многообразие, так как это открытое подмножество многообразия. Если f - регулярная функция на X , то f регулярна на и поэтому находится внутри . Точно так же и в . Таким образом, мы можем написать:${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]}$${\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}$

  ${\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}$

где g , h - многочлены от k [ x , y ]. Но это означает, что g делится на x ^n, и поэтому f на самом деле является многочленом. Следовательно, кольцо регулярных функций на X - это просто k [ x , y ]. (Это также показывает, что X не может быть аффинным, поскольку в противном случае X определяется своим координатным кольцом и, следовательно, X = A ^2. )

• Предположим , отождествляя точки ( x  : 1) с точками x на A ¹ и ∞ = (1: 0). Существует автоморфизм σ точки P ^1, задаваемый формулой σ (x: y) = (y: x); в частности, σ меняет местами 0 и ∞. Если f - рациональная функция на P ¹ , то${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}}$

${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$

и f регулярна в ∞ тогда и только тогда, когда f (1 / z ) регулярна в нуле.

• Взяв поле функций k ( V ) неприводимой алгебраической кривой V , все функции F в поле функций могут быть реализованы как морфизмы из V в проективную прямую над k . ^{[ требуется уточнение ]} (см. #Properties ) Изображение будет либо отдельной точкой, либо всей проективной линией (это следствие полноты проективных многообразий ). То есть, если F на самом деле не является постоянным, мы должны приписать F значение ∞ в некоторых точках V.
• Для любых алгебраических многообразий X , Y проекция

  ${\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}$

это морфизм разновидностей. Если X и Y аффинны, то соответствующий гомоморфизм колец есть

${\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}$

где .${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}$

Свойства [ править ]

Морфизм между многообразиями непрерывен по отношению к топологиям Зарисского на источнике и цели.

Образ морфизма многообразий не обязательно должен быть открытым или закрытым (например, образ не является ни открытым, ни закрытым). Однако все же можно сказать: если f - морфизм между многообразиями, то образ f содержит открытое плотное подмножество его замыкания. (ср. конструктивный набор .)${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)}$

Морфизм ƒ: X → Y алгебраических многообразий называется доминантой, если он имеет плотный образ. Для такого f , если V - непустое открытое аффинное подмножество Y , то существует непустое открытое аффинное подмножество U в X такое, что ƒ ( U ) ⊂ V, и тогда оно инъективно. Таким образом, доминирующее отображение ƒ индуцирует инъекцию на уровне функциональных полей:${\displaystyle f^{\#}:k[V]\to k[U]}$

${\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f}$

где предел пробегает все непустых открытых аффинных подмножеств Y . (Более абстрактно, это индуцированное отображение из поля вычетов из общей точки из Y в том , что из X .) Наоборот, каждое включение полей индуцируются доминантным рациональным отображением из X в Y . ^[7] Следовательно, указанная конструкция определяет контравариантную эквивалентность между категорией алгебраических многообразий над полем k и доминирующими рациональными отображениями между ними и категорией конечно порожденного расширения поля поля k . ^[8]${\displaystyle k(Y)\hookrightarrow k(X)}$

Если X - гладкая полная кривая (например, P ¹ ) и если f - рациональное отображение X в проективное пространство P ^m , то f - регулярное отображение X → P ^m . ^[9] В частности, когда Х является гладкой полная кривая, любая рациональная функция на X можно рассматривать как морфизм Х → P ¹ и, наоборот, такой как морфизм рациональной функции на X .

На нормальном многообразии (в частности, гладком многообразии ) рациональная функция регулярна тогда и только тогда, когда у нее нет полюсов коразмерности один. ^[10] Это алгебраический аналог теоремы Хартогса о продолжении . Есть и относительная версия этого факта; см. [2] .

Морфизм между алгебраическими многообразиями, который является гомеоморфизмом между лежащими в основе топологическими пространствами, не обязательно должен быть изоморфизмом (контрпример дается морфизмом Фробениуса ). С другой стороны, если f биективно бирационально и целевое пространство f является нормальным многообразием , то f бирегулярна. (ср . основную теорему Зарисского .)${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$

Регулярное отображение комплексных алгебраических многообразий - голоморфное отображение . (На самом деле существует небольшое техническое различие: регулярное отображение - это мероморфное отображение, особые точки которого устранимы , но на практике это различие обычно игнорируется.) В частности, регулярное отображение в комплексные числа - это просто обычная голоморфная функция (комплексная -аналитическая функция).

Морфизмы в проективное пространство [ править ]

Позволять

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}$

- морфизм проективного многообразия в проективное пространство. Пусть х есть точка X . Тогда некоторая i -я однородная координата f ( x ) отлична от нуля; скажем, i = 0 для простоты. Тогда, по непрерывности, существует открытая аффинная окрестность U от х таких , что

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}}$

- морфизм, где y _i - однородные координаты. Обратите внимание, что целевое пространство - это аффинное пространство A ^m через идентификацию . Таким образом, по определению ограничение f | _U определяется как${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$

${\displaystyle f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

где ж _я «s являются регулярными функциями на U . Так как X проективен, каждый г _я представляет собой часть однородных элементов той же степени , в однородном координатном кольце к [ Х ] из X . Мы можем расположить дроби так, чтобы все они имели одинаковый однородный знаменатель, скажем, f ₀ . Тогда мы можем записать g _i = f _i / f ₀ для некоторых однородных элементов f _i в k [ X ]. Следовательно, возвращаясь к однородным координатам,

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))}$

для всех x в U и по непрерывности для всех x в X до тех пор, пока f _i не обращаются в нуль в x одновременно. Если они обращаются в нуль одновременно в точке x из X , то с помощью описанной выше процедуры можно выбрать другой набор f _i , которые не обращаются в нуль одновременно в точке x (см. Примечание в конце раздела).

Фактически, приведенное выше описание справедливо для любого квазипроективного многообразия X , открытого подмногообразия проективного многообразия ; различие в том, что f _i находятся в однородном координатном кольце .${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle {\overline {X}}}$

Примечание . Выше не говорится, что морфизм проективного многообразия в проективное пространство задается одним набором многочленов (в отличие от аффинного случая). Например, пусть X - коника в P ² . Тогда две карты и согласовать открытое подмножество в X (так как ) , и , следовательно , определяет морфизм .${\displaystyle y^{2}=xz}$${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)}$${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{1}}$

Волокна морфизма [ править ]

Важный факт: ^[11]

В красной книге Мамфорда теорема доказывается с помощью нормировочной леммы Нётер . Алгебраический подход, в котором универсальная свобода играет главную роль, а понятие « универсально цепного кольца » является ключевым в доказательстве, см. Eisenbud, Ch. 14 книги «Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии». На самом деле, там доказательство показывает , что если е является плоской , то размерность равенство 2. теоремы имеет место в целом ( а не только в общем).

Степень конечного морфизма [ править ]

Пусть f : X → Y - конечный сюръективный морфизм алгебраических многообразий над полем k . Тогда, по определению, степень f - это степень конечного полевого расширения функционального поля k ( X ) над f ^* k ( Y ). По общей свободе существует некоторое непустое открытое подмножество U в Y такое, что ограничение структурного пучка O _X на f ⁻¹ ( U ) свободно как OY | U -модуль. Тогда степеньfтакже является рангом этого свободного модуля.

Если е является этален и если X , Y является полным , то для любого когерентного пучка F на Y , написание х для характеристики Эйлера,

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).}$^[12]

(Формула Римана – Гурвица для разветвленного покрытия показывает, что здесь нельзя опускать «эталь».)

В общем, если е является конечным сюръективным морфизмом, если X , Y является полным и F когерентного пучка на Y , то из последовательности Леры спектрального , получает:${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)}$

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).}$

В частности, если F - тензорная степень линейного расслоения, то и поскольку носитель имеет положительную коразмерность, если q положительно, сравнивая главные члены, мы имеем:${\displaystyle L^{\otimes n}}$${\displaystyle R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}}$${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)}$

(так как общий ранг в это степень е .)${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

Если f этальна, а k алгебраически замкнуто, то каждый геометрический слой f ⁻¹ ( y ) состоит в точности из точек deg ( f ).

См. Также [ править ]

• Алгебраическая функция
• Гладкий морфизм
• Этальные морфизмы - Алгебраический аналог локальных диффеоморфизмов .
• Разрешение особенностей
• морфизм сокращения

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Уильям Фултон, Теория пересечений, 2-е издание
• Робин Хартшорн (1997). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.
• Милн, Алгебраическая геометрия , старая версия v. 5.xx.
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974 г.) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / b62130 . ISBN 354063293X.
• Игорь Шафаревич (1995). Основная алгебраическая геометрия I: многообразия в проективном пространстве (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-54812-2.