Рациональное отображение

В математике , в частности в подполе алгебраической геометрии , рациональное отображение или рациональное отображение - это своего рода частичная функция между алгебраическими многообразиями . В этой статье используется соглашение о неразложимости разновидностей .

Определение [ править ]

Формальное определение [ править ]

Формально рациональное отображение между двумя сортами является класс эквивалентности пар , в которых есть морфизм многообразий из непустого открытого множества к , и две такие пары , и считаются эквивалентными , если и совпадают на пересечении (это, в частности , , пусто истинно, если пересечение пусто, но так как считается неприводимым, это невозможно). Доказательство того, что это определяет отношение эквивалентности, опирается на следующую лемму:${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle (f_{U},U)}$${\displaystyle f_{U}}$ ${\displaystyle U\subset V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle (f_{U},U)}$${\displaystyle ({f'}_{U'},U')}$${\displaystyle f_{U}}$${\displaystyle {f'}_{U'}}$${\displaystyle U\cap U'}$${\displaystyle V}$

• Если два морфизма многообразий равны на некотором непустом открытом множестве, то они равны.

${\displaystyle f}$называется бирациональным, если существует рациональное отображение, обратное ему, где композиция понимается в указанном выше смысле.${\displaystyle g\colon W\to V}$

Важность рациональных отображений к алгебраической геометрии в связи между такими картами и картами между полями функциями из и . Даже беглое рассмотрение определений обнаруживает сходство между рациональным отображением и рациональной функцией; на самом деле рациональная функция - это просто рациональное отображение, диапазон которого - проективная линия. Затем композиция функций позволяет нам «вытащить» рациональные функции вдоль рационального отображения, так что одно рациональное отображение индуцирует гомоморфизм полей . В частности, следующая теорема В центре: функтор из категории из проективных многообразий${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle K(W)\to K(V)}$с доминирующими рациональными отображениями (например, над фиксированным базовым полем ) в категорию конечно порожденных полевых расширений базового поля с обратным включением расширений как морфизмов, которое связывает каждое многообразие со своим функциональным полем и каждое отображение с ассоциированным функциональные поля, является эквивалентностью категорий .${\displaystyle \mathbb {C} }$

Примеры [ править ]

Рациональные карты проективных пространств [ править ]

Есть рациональная карта, отправляющая соотношение . Поскольку точка не может иметь изображения, это отображение является только рациональным, а не морфизмом многообразий. В более общем смысле, есть рациональные карты, отправляющие для отправки -tuple в -tuple, забывая последние координаты.${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x:y]}$${\displaystyle [0:0:1]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle m>n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

Включения открытых подмногообразий [ править ]

На связном многообразии включение любого открытого подмногообразия является бирациональной эквивалентностью, поскольку эти два многообразия имеют эквивалентные функциональные поля. То есть каждая рациональная функция может быть ограничена до рациональной функции и, наоборот, рациональная функция определяет класс рациональной эквивалентности на . Прекрасным примером этого явления является бирациональная эквивалентность и , следовательно .${\displaystyle X}$${\displaystyle i:U\to X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle (U,f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})\cong k(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Покрытие пространств на открытых подмножествах [ править ]

Накрывающие пространства на открытых подмножествах разнообразия дают обширные примеры рациональных отображений, которые не являются бирациональными. Например, теорема Белого утверждает, что каждая алгебраическая кривая допускает отображение, которое разветвляется в трех точках. Тогда существует ассоциированное накрывающее пространство, которое определяет доминирующий рациональный морфизм, который не является бирациональным. Другой класс примеров - это гиперэллиптические кривые, которые являются двойными покрытиями разветвленных в конечном числе точек. Другой класс примеров - взятие гиперповерхности и ограничение рационального отображения на . Это дает разветвленное покрытие. Например, кубическая поверхность, заданная геометрическим местом исчезновения${\displaystyle C}$${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle C|_{U}\to U=\mathbb {P} ^{1}-\{p_{1},p_{2},p_{3}\}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}$имеет рациональную карту отправки . Эта рациональная карта может быть выражена как расширение поля степеней${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle [x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]}$${\displaystyle 3}$

${\displaystyle k(x,y,z)\to {\frac {k(x,y,z)[w]}{(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}}}$

Разрешение особенностей [ править ]

Один из канонических примеров бирационального отображения - Разрешение особенностей . Над полем характеристики 0 каждому особому многообразию соответствует неособое многообразие с бирациональным отображением . Это отображение обладает тем свойством, что оно является изоморфизмом на, а слой над является нормальным делителем пересечения. Например, узловая кривая, такая как бирациональная, поскольку топологически это эллиптическая кривая с одной из сжатых окружностей. Затем бирациональное отображение задается нормализацией .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \pi :Y\to X}$${\displaystyle U=X-{\text{Sing}}(X)}$${\displaystyle {\text{Sing}}(X)}$${\displaystyle C=Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}-xyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Бирациональная эквивалентность [ править ]

Два многообразия называются бирационально эквивалентными, если между ними существует бирациональное отображение; эта теорема утверждает, что бирациональная эквивалентность многообразий тождественна изоморфизму их функциональных полей как расширений основного поля. Это несколько более либерально, чем понятие изоморфизма многообразий (которое требует глобально определенного морфизма, чтобы засвидетельствовать изоморфизм, а не просто рационального отображения), поскольку существуют многообразия, которые являются бирациональными, но не изоморфными.

Обычным примером является то, что бирационально многообразию, содержащемуся в состоящем из множества проективных точек, таких что , но не изоморфному. В самом деле, любые две прямые в пересекаются, но линии в определены и не могут пересекаться, поскольку их пересечение будет иметь все координаты нулевые. Для вычисления функционального поля мы переходим к аффинному подмножеству (которое не меняет поле, что является проявлением того факта, что рациональное отображение зависит только от своего поведения в любом открытом подмножестве своей области), в котором ; в проективном пространстве это означает, что мы можем взять и, следовательно, отождествить это подмножество с аффинной плоскостью. Там, кольцо координат IS${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{3}}$${\displaystyle [w:x:y:z]}$${\displaystyle xy-wz=0}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w=x=0}$${\displaystyle y=z=0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w\neq 0}$${\displaystyle w=1}$${\displaystyle xyz}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle A(X)=k[x,y,z]/(xy-z)\cong k[x,y]}$

через карту . И поле дробей последнего справедливо , изоморфно полю . Обратите внимание, что мы никогда не производили рациональную карту, хотя, проследив за доказательством теоремы, это возможно.${\displaystyle p(x,y,z)+(xy-z)A(X)\mapsto p(x,y,xy)}$${\displaystyle k(x,y)}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$

См. Также [ править ]

• Бирациональная геометрия
• Взрыв
• Функциональное поле алгебраического многообразия
• Разрешение особенностей
• Программа минимальной модели
• Структура журнала

Ссылки [ править ]

• Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157, раздел I.4.