В алгебраической геометрии , неприводимое алгебраическое множество или неприводимое многообразие является алгебраическим множеством , которое не может быть записано в виде объединения двух собственных алгебраических подмножеств. Неприводимая компонента является алгебраическим подмножеством, неприводимо и максимальный (для множества включения ) для этого свойства. Например, множество решений уравнения xy = 0 не является неприводимым, а его неприводимые компоненты представляют собой две строки уравнений x = 0 и y = 0 .
Это фундаментальная теорема классической алгебраической геометрии, что каждое алгебраическое множество может быть записано уникальным способом как конечное объединение неприводимых компонентов.
Тезисы концепции можно сформулировать в чисто топологических терминах, используя топологию Зарисской , для которых замкнутых множества являются алгебраическими подмножествами: A топологического пространства является неприводимым , если оно не является объединение двух собственных замкнутых подмножеств, и неприводимые компонентами являются максимальным подпространством (обязательно замкнутый), неприводимый для индуцированной топологии . Хотя эти концепции могут рассматриваться для любого топологического пространства, это редко делается вне алгебраической геометрии, поскольку наиболее распространенные топологические пространства - это хаусдорфовы пространства , а в хаусдорфовом пространстве неприводимые компоненты - это синглтоны .
В топологии
Топологическое пространство X является приводимым , если оно может быть записано в виде объединениядвух замкнутых собственных подмножеств, из Топологическое пространство неприводимо (или сверхсвязно ), если оно не приводимо. Эквивалентное все не пустые открытые подмножества X являются плотными или любые два непустых открытых множества имеют непустое пересечение .
Подмножество F топологического пространства X называется неприводимым или приводимым, если F, рассматриваемое как топологическое пространство через топологию подпространства, обладает соответствующим свойством в указанном выше смысле. Это, приводимо, если его можно записать как объединение где замкнутые подмножества , ни один из которых не содержит
Неприводимая компонента топологического пространства является максимальным неприводимым подмножеством. Если подмножество неприводимо, его замыкание также неприводимо, поэтому неприводимые компоненты замкнуты.
Каждое неприводимое подмножество пространства X содержится в (не обязательно уникальным) неприводимой компоненты X . [1] Каждая точка X содержится в некоторой неприводимой компоненте X .
В алгебраической геометрии
Каждое аффинное или проективное алгебраическое множество определяется как множество нулей идеала в кольце многочленов . В этом случае неприводимые компоненты - это многообразия, ассоциированные с минимальными простыми числами над идеалом. Это отождествление, позволяющее доказать единственность и конечность разложения. Это разложение сильно связано с первичным разложением идеала.
В общей теории схем каждая схема представляет собой объединение своих неприводимых компонентов, но число компонентов не обязательно конечно. Однако в большинстве случаев, встречающихся на «практике», а именно для всех нётеровых схем , существует конечное число неприводимых компонентов.
Примеры
В хаусдорфовом пространстве неприводимые подмножества и неприводимые компоненты являются синглетонами . В частности, это относится к действительным числам . Фактически, если X - это набор действительных чисел, который не является одноэлементным, существуют три действительных числа, такие что x ∈ X , y ∈ X и x < a < y . Множество X не может быть неприводимым, так как
Понятие неприводимой компоненты является фундаментальным в алгебраической геометрии и редко рассматривается за пределами этой области математики: рассмотрите алгебраическое подмножество плоскости
- X = {( x , y ) | xy = 0} .
Для топологии Зарисского ее замкнутые подмножества - это сама себя, пустое множество, одиночные элементы и две прямые, определенные как x = 0 и y = 0 . Таким образом, множество X сводимо с этими двумя прямыми как неприводимыми компонентами.
Спектр из коммутативного кольца является совокупностью простых идеалов кольца, наделенных топологией Зарисской , для которых множество простых идеалов замкнуто тогда и только тогда , когда это множество всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал . В этом случае неприводимое подмножество - это множество всех простых идеалов, содержащих простой идеал.
Заметки
Эта статья включает в себя материал из архива PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License . Эта статья включает материал из компонента Irreducible на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .