В математике , то Ласкер-Нётер утверждает , что каждое нётерово кольцо является Ласкер кольцо , что означает , что каждый идеал может быть разложен как пересечение, называется первичным разложение , из конечного числа первичных идеалов (которые связаны с, но не совсем то же самое как, степени основных идеалов ). Теорема была впервые доказана Эмануэлем Ласкером ( 1905 ) для частного случая колец многочленов и колец сходящихся степенных рядов, а в полной общности доказана Эмми Нётер ( 1921 ).
Теорема Ласкера – Нётер является расширением основной теоремы арифметики и, в более общем смысле, фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах на все нётеровы кольца. Теорема Ласкера – Нётер играет важную роль в алгебраической геометрии , утверждая, что каждое алгебраическое множество может быть однозначно разложено на конечное объединение неприводимых компонентов .
Он имеет прямое расширение на модули, утверждающее, что каждый подмодуль конечно порожденного модуля над нётеровым кольцом является конечным пересечением примарных подмодулей. Это включает случай колец как частный случай, рассматривая кольцо как модуль над самим собой, так что идеалы являются подмодулями. Это также обобщает форму первичного разложения структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов , а для частного случая колец многочленов над полем оно обобщает разложение алгебраического множества в конечное объединение (неприводимых) многообразий .
Первый алгоритм вычисления примарных разложений для колец многочленов над полем характеристики 0 [Примечание 1] был опубликован ученицей Нётер Гретой Герман ( 1926 ). [1] [ необходим лучший источник ] В общем случае разложение не выполняется для некоммутативных нётеровых колец. Нётер привела пример некоммутативного нётерова кольца с правым идеалом, не являющегося пересечением примарных идеалов.
Первичное разложение идеала
Пусть R - нётерово коммутативное кольцо. Идеал I кольца R называется примарным, если он является собственным идеалом и для каждой пары элементов x и y в R такой, что xy находится в I , либо x, либо некоторая степень y находится в I ; эквивалентно, каждый делитель нуля в факторе R / I нильпотентен. Радикал первичного идеала Q является простым идеалом и Q называется-первичная для .
Пусть I идеал в R . Затем у меня есть неизбыточное первичное разложение на первичные идеалы:
- .
Избыточность означает:
- Удаление любого из меняет пересечение, т.е. для каждого i имеем:.
- Главные идеалы все различны.
Более того, это разложение уникально по двум причинам:
- Набор однозначно определяется I , и
- Если является минимальным элементом указанного выше множества, то однозначно определяется ; по факту, это прообраз под картой локализации .
Первичные идеалы, соответствующие неминимальным первичным идеалам над I , в общем случае не уникальны (см. Пример ниже). О существовании разложения см. Раздел # Первичное разложение по ассоциированным простым числам ниже.
Элементы называются простые делители из I или простых чисел , принадлежащих к I . На языке теории модулей, как обсуждается ниже, множество также является набором ассоциированных простых чисел -модуль . В явном виде это означает, что существуют элементыв R такое, что
Для упрощения некоторые авторы называют ассоциированное прайм числа просто связанный штрих I (обратите внимание, что эта практика будет противоречить использованию в теории модулей).
- Минимальные элементы такие же, как минимальные простые идеалы, содержащие I, и называются изолированными простыми числами .
- С другой стороны, неминимальные элементы называются вложенными простыми числами .
В случае кольца целых чисел , теорема Ласкера – Нётер эквивалентна основной теореме арифметики . Если целое число n имеет разложение на простые множители, то первичное разложение идеала генерируется n в, является
Точно так же в уникальной области факторизации , если элемент имеет разложение на простые множителигде u - единица , то первичное разложение главного идеала, порожденного f, имеет вид
Примеры
Примеры этого раздела предназначены для иллюстрации некоторых свойств первичных разложений, которые могут показаться неожиданными или противоречащими интуиции. Все примеры - идеалы в кольце многочленов над полем k .
Пересечение vs. продукт
Первичное разложение в идеального является
Из-за генератора первой степени I не является продуктом двух больших идеалов. Аналогичный пример дан в двух неопределенностях по
Первичная и основная власть
В , идеал первичный идеал, имеющий как связанное простое число. Это не сила связанного с ней прайма.
Неединственность и вложенное простое число
Для каждого натурального числа n первичное разложение в идеального является
Ассоциированные простые числа:
Пример: Пусть N = R = k [ x , y ] для некоторого поля k , и пусть M - идеал ( xy , y 2 ). Тогда M имеет два различных минимальных примарных разложения M = ( y ) ∩ ( x , y 2 ) = ( y ) ∩ ( x + y , y 2 ). Минимальное простое число - это ( y ), а вложенное простое число - это ( x , y ).
Несвязанное простое число между двумя связанными простыми числами
В идеал имеет (неединственное) примарное разложение
Соответствующие простые идеалы: а также неассоциированный простой идеал такой, что
Сложный пример
За исключением очень простых примеров, первичное разложение может быть трудно вычислить и может иметь очень сложный результат. Следующий пример был разработан для обеспечения такого сложного вывода и, тем не менее, доступного для рукописных вычислений.
Позволять
две однородные многочлены в х , у , коэффициенты которого являются многочленами от других неопределенных над полем k . То есть P и Q принадлежат и именно в этом кольце происходит примарное разложение идеала ищется. Для вычисления первичного разложения, мы предполагаем , что первый 1 представляет собой наибольший общий делитель из P и Q .
Это условие означает, что у I нет главного компонента высоты один. Поскольку I порождается двумя элементами, это означает, что это полное пересечение (точнее, оно определяет алгебраическое множество , которое является полным пересечением), и, таким образом, все первичные компоненты имеют высоту два. Поэтому, связанные с простыми числами от I в точности простых чисел идеалов высоты два , которые содержат I .
Следует, что является ассоциированным расцвете I .
Позволять быть однородным полученное в х , у из P и Q . Как наибольший общий делитель Р и Q является постоянным, полученный D не равен нулю, и результирующая теория подразумевает , что я содержит все продукты D с помощью мономиальная в х , у степени т + п - 1 . В виде все эти одночлены принадлежат примарному компоненту, содержащемуся в Этот первичный компонент содержит P и Q , и поведение первичных разложений при локализации показывает, что этот первичный компонент
Короче говоря, у нас есть первичный компонент с очень простым связанным простым числом таким образом, все его порождающие множества содержат все неопределенные.
Другой основной компонент содержит D . Можно доказать , что если Р и Q является достаточно общими (например , если коэффициенты P и Q являются различными неизвестными), то есть только другим первичным компонент, который является простым идеалом, и порождаются P , Q и D .
Геометрическая интерпретация
В алгебраической геометрии , аффинное алгебраическое множество V ( I ) определяется как множество общих нулей идеального I в виде кольца многочленов
Неизбыточное примарное разложение
of I определяет разложение V ( I ) в объединение неприводимых алгебраических множеств V ( Q i ) как не объединение двух меньших алгебраических множеств.
Если это связано главным из, тогда а теорема Ласкера – Нётер показывает, что V ( I ) имеет единственное неизбыточное разложение на неприводимые алгебраические многообразия
где объединение ограничено минимальными ассоциированными простыми числами. Эти минимальные связанные с простыми числами являются основными компонентами из радикала от I . По этой причине, примарный радикала I иногда называют простым разложением в I .
Компоненты примарного разложения (а также разложения алгебраических множеств), соответствующие минимальным простым числам, называются изолированными , а остальные компоненты называются изолированными.встроенный .
Для разложения алгебраических многообразий интересны только минимальные простые числа, но в теории пересечений и, в более общем смысле, в теории схем , полное примарное разложение имеет геометрический смысл.
Первичное разложение из связанных простых чисел
В настоящее время в теории ассоциированных простых чисел принято выполнять первичную декомпозицию идеалов и модулей . Этот подход, в частности, используется во влиятельном учебнике Бурбаки « Коммутативность Algèbre» .
Пусть R - кольцо, а M - модуль над ним. По определению ассоциированное простое число - это простой идеал, входящий в множество= Множество аннигиляторов ненулевых элементов M . Точно так же главный идеалявляется ассоциированным простым числом M, если существует инъекция R -модуля.
Максимальный элемент множества аннуляторов ненулевых элементов M может быть показано, что простой идеал и , таким образом, когда R представляет собой нётерово кольцо, М равен нулю тогда и только тогда , когда существует связанный с ним расцвете М .
Множество ассоциированных простых чисел M обозначается через или же . Прямо из определения,
- Если , тогда .
- Для точной последовательности , . [3]
- Если R - нётерово кольцо, то где относится к поддержке . [4] Также множество минимальных элементов совпадает с набором минимальных элементов . [4]
Если M - конечно порожденный модуль над R , то существует конечная возрастающая последовательность подмодулей
такое, что каждое частное M i / M i − 1 изоморфно для некоторых основных идеалов , Каждый из которых является необязательно в поддержке М . [5] Более того, каждое ассоциированное простое число M встречается среди множества простых чисел; т.е.
- . [6]
(В общем, эти включения не являются равенствами.) В частности, является конечным множеством, когда M конечно порождено.
Позволять конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом R и N подмодуль М . Дано, набор ассоциированных простых чисел , существуют подмодули такой, что а также
- [7] [8]
Подмодуль N из M называется-первичный, если. Подмодулем R -модуля R является-первичный как подмодуль тогда и только тогда, когда это -первоначальный идеал; таким образом, когда, указанное разложение является в точности первичным разложением идеала.
Принимая , приведенное выше разложение говорит, что набор ассоциированных простых чисел конечно порожденного модуля M совпадает с когда (без конечного поколения может быть бесконечно много связанных простых чисел.)
Свойства связанных простых чисел
Позволять быть нётеровым кольцом. потом
- Множество делителей нуля на R совпадает с объединением ассоциированных простых чисел R (это потому, что множество нуль делителей R является объединением множества аннуляторов ненулевых элементов, максимальные элементы которых являются ассоциированными простыми числами ). [9]
- По той же причине объединение ассоциированных простых чисел R -модуля M - это в точности множество делителей нуля на M , то есть такой элемент r , что эндоморфизмне является инъективным. [10]
- Учитывая подмножество , M - R -модуль, существует подмодуль такой, что а также . [11]
- Позволять быть мультипликативным подмножеством, ан -модуль и множество всех простых идеалов не пересекаются . потом
- это биекция. [12] Кроме того, . [13]
- Любой простой идеал, минимальный относительно содержащего идеал J, принадлежит Эти простые числа и есть изолированные простые числа.
- Модуль M над R имеет конечную длину тогда и только тогда, когда M конечно порожден исостоит из максимальных идеалов. [14]
- Позволять кольцевой гомоморфизм между нетеровскими кольцами и F В - модулем , который является плоским над A . Тогда для каждого А - модуля Е ,
- . [15]
Ненётерианский случай
Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы кольцо имело примарные разложения своих идеалов.
Теорема - Пусть R коммутативное кольцо. Тогда следующие эквивалентны.
- Каждый идеал в R имеет примарное разложение.
- R имеет следующие свойства:
- (L1) , для каждого собственного идеала I и простого идеал Р , существует й в R - P таких , что ( I : х ) является прообраз I R P под локализацией карта R → R P .
- (L2) Для любого идеала I множество всех прообразов I S −1 R при отображении локализации R → S −1 R , S, пробегающее все мультипликативно замкнутые подмножества R , конечно.
Доказательство приводится в главе 4 книги Атья – Макдональда в виде серии упражнений. [16]
Для идеала, имеющего примарное разложение, существует следующая теорема единственности.
Теорема - Пусть R коммутативное кольцо и I идеал. Предположим, что I имеет минимальное примарное разложение (примечание: "минимальный" подразумевает различны.) Тогда
- Набор - множество всех простых идеалов в множестве .
- Множество минимальных элементов Е такое же , как множество минимальных простых идеалов над I . Более того, первичный идеал, соответствующий минимальному простому числу P, является прообразом I R P и, таким образом, определяется I однозначно .
Теперь, для любого коммутативного кольца R , идеального I и минимального простого P над I , то прообраз I R P при отображении локализации является наименьшим Р -примарная идеал , содержащий I . [17] Таким образом, при установлении предыдущей теоремы, первичный идеал Q , соответствующий минимальный простой Р также является наименьшим Р -примарная идеал , содержащий I и называется P -примарная компонент I .
Например, если мощность Р п из простого P имеет первичное разложение, то ее Р -примарная компонента является н -го символической мощностью из P .
Аддитивная теория идеалов
Этот результат является первым в области, ныне известной как аддитивная теория идеалов, которая изучает способы представления идеала как пересечения особого класса идеалов. Решение об «особом классе», например, об основных идеалах, само по себе является проблемой. В случае некоммутативных колец класс третичных идеалов является полезной заменой класса первичных идеалов.
Заметки
- ^ Первичная декомпозиция требует проверки неприводимости многочленов, что не всегда алгоритмически возможно в ненулевой характеристике.
- ^ Силиберто, Чиро; Хирцебрух, Фридрих; Миранда, Рик; Тейхер, Мина , ред. (2001). Приложения алгебраической геометрии к теории кодирования, физике и вычислениям . Дордрехт: Springer, Нидерланды. ISBN 978-94-010-1011-5.
- ^ Другими словами, идеальное частное.
- ^ Бурбаки , гл. IV, § 1, № 1, предложение 3.
- ^ a b Бурбаки , гл. IV, § 1, № 3, Следствие 1.
- ^ Бурбаки , гл. IV, § 1, № 4, Теорема 1.
- ^ Бурбаки , гл. IV, § 1, № 4, Теорема 2.
- ^ Бурбаки , гл. IV, § 2, нет. 2. Теорема 1.
- ^ Вот доказательство существования разложения (по Бурбаки). Пусть M - конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом R и N - подмодуль. Чтобы показать, что N допускает первичное разложение, заменив M на, достаточно показать, что когда . Сейчас,
- ^ Бурбаки , гл. IV, § 1, следствие 3.
- ^ Бурбаки , гл. IV, § 1, следствие 2.
- ^ Бурбаки , гл. IV, § 1, предложение 4.
- ^ Бурбаки , гл. IV, § 1, нет. 2, предложение 5.
- ^ Мацумура 1970 , 7.C Лемма
- ^ Кон, П.М. (2003), Основы алгебры , Springer, Упражнение 10.9.7, стр. 391, ISBN 9780857294289.
- ^ Бурбаки , гл. IV, § 2. Теорема 2.
- ↑ Атья-Макдональд, 1969
- Перейти ↑ Atiyah-MacDonald 1969 , Ch. 4. Упражнение 11.
Рекомендации
- М. Атья , И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Аддисон – Уэсли , 1994. ISBN 0-201-40751-5
- Бурбаки, коммутативная Альгебра .
- Данилов В.И. (2001) [1994], "Кольцо Ласкера" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960, особенно раздел 3.3.
- Герман, Грета (1926), "Die Frage дер Endlich Vielen Schritte в дер Теорье дер Polynomideale", Mathematische Annalen , 95 : 736-788, DOI : 10.1007 / BF01206635. Английский перевод в Коммуникациях в компьютерной алгебре 32/3 (1998): 8–30.
- Ласкер, Э. (1905), "Zur Theorie der Moduln und Ideale" , Math. Аня. , 60 : 19-116, DOI : 10.1007 / BF01447495
- Марков, В.Т. (2001) [1994], "Первичное разложение" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра
- Нётер, Эмми (1921), "Idealtheorie в Ringbereichen" , Mathematische Annalen , 83 (1): 24-66, DOI : 10.1007 / BF01464225
- Кертис, Чарльз (1952), "Об аддитивной теории идеального в общих колец", Американский журнал математики , The Johns Hopkins University Press, 74 (3): 687-700, DOI : 10,2307 / 2372273 , JSTOR 2372273
- Крулл, Вольфганг (1928), "Zur Теорье дер zweiseitigen Ideale в nichtkommutativen Bereichen", Mathematische Zeitschrift , 28 (1): 481-503, DOI : 10.1007 / BF01181179
Внешние ссылки
- "Первичное разложение по-прежнему важно?" . MathOverflow . 21 августа 2012 г.