Аффинное разнообразие

Кубической плоской кривой задается${\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {2} (х + 1)}$

В алгебраической геометрии , на аффинном многообразии , или аффинного алгебраического многообразия , над алгебраически замкнутым полем к является нулевой локуса в аффинном пространстве к ^п некоторого конечного семейства многочленов от п переменных с коэффициентами в к , которые генерируют простой идеал . Если убрать условие порождения простого идеала, такое множество называется (аффинным) алгебраическим множеством . Зарисское подмногообразие аффинного многообразия называется квази-аффинным многообразием .

Некоторые тексты не требуют первичного идеала и называют неприводимым алгебраическое многообразие, определяемое первичным идеалом. В этой статье нуль-локусы необязательно первичных идеалов называются аффинными алгебраическими множествами .

В некоторых контекстах полезно отличать поле k, в котором рассматриваются коэффициенты, от алгебраически замкнутого поля K (содержащего k ), над которым рассматривается множество нулей (то есть точки аффинного многообразия находятся в K ^п ). В этом случае говорят, что многообразие определено над k , а точки многообразия, принадлежащие k ^n, называются k -рациональными или рациональными над k . В общем случае, когда k - поле действительных чисел , k -рациональная точка называется реальной точкой.. ^[1] Если поле k не указано, рациональная точка - это точка, которая рациональна по отношению к рациональным числам . Например, Последняя теорема Ферма утверждает, что аффинное алгебраическое многообразие (это кривая), определяемое формулой x ⁿ  +  y ⁿ  - 1 = 0, не имеет рациональных точек для любого целого числа n больше двух.

Введение [ править ]

Аффинное алгебраическое множество есть множество решений в алгебраически замкнутом поле к системам полиномиальных уравнений с коэффициентами в к . Более точно, если - многочлены с коэффициентами в k , они определяют аффинное алгебраическое множество ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {m}}$

${\displaystyle V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.}$

Аффинный (алгебраический) многообразие является аффинным алгебраическим множеством , которое не является объединением двух собственных аффинных алгебраических подмножеств. Такое аффинное алгебраическое множество часто называют неприводимым .

Если X является аффинным алгебраическим множеством , определяемое идеальным I , то фактор - кольцо называется координатное кольцо из X . Если X - аффинное многообразие, то I простое, поэтому координатное кольцо является областью целостности. Элементы координатного кольца R также называются регулярными функциями или полиномиальными функциями на многообразии. Они образуют кольцо регулярных функций на многообразии или, проще говоря, кольцо многообразия ; другими словами (см. # Структурная связка${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I}$), Это пространство глобальных сечений структурного пучка X .

Размерность множества представляет собой целое число , связанное с каждой разновидностью, и даже к каждому алгебраического множеству, значение которого зависит от большого числа его эквивалентных определений (см размерности алгебраического многообразия ).

Примеры [ править ]

• Дополнение гиперповерхности в аффинном многообразии X (то есть X - { f = 0} для некоторого многочлена f ) аффинно. Его определяющие уравнения получаются насыщением определяющим идеалом X с помощью f . Координатное кольцо, таким образом, является локализацией . ${\displaystyle k[X][f^{-1}]}$
• В частности, (аффинная линия без начала координат) аффинна.${\displaystyle \mathbb {C} -0}$
• С другой стороны, (аффинная плоскость без начала координат) не является аффинным многообразием; ср. Теорема Хартогса о продолжении .${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}-0}$
• Подмногообразия коразмерности один в аффинном пространстве - это в точности гиперповерхности, т. Е. Многообразия, определяемые одним многочленом.${\displaystyle k^{n}}$
• Нормализация неприводимого аффинного многообразия является аффинным; координатное кольцо нормировки есть целое замыкание координатного кольца многообразия. (Точно так же нормализация проективного многообразия является проективным многообразием.)

Рациональные моменты [ править ]

Чертеж реальных точек кривой y ²  =  x ³  -  x ²  - 16 x .

Для аффинного многообразия над алгебраически замкнутым полем К , и подполем к из К , в к - рациональная точка из V является точкой То есть, точка V , координаты которых являются элементами к . Совокупность k -рациональных точек аффинного многообразия V часто обозначается символом. Часто, если базовым полем являются комплексные числа C , R -рациональные точки (где R - действительные числа ) называются действительными точками этого многообразия, и${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$${\displaystyle p\in V\cap k^{n}.}$${\displaystyle V(k).}$Q -рациональные точки ( Q - рациональные числа ) часто называют просто рациональными точками .

Например, (1, 0) является Q -рациональной и R -рациональной точкой многообразия, поскольку оно находится в V, и все его координаты являются целыми числами. Точка ( √ 2 /2, √ 2 /2) является реальной точкой V , который не Q -рациональным, и является точкой V , который не R -рациональным. Это многообразие называется окружностью , потому что множество его R -рациональных точек является единичной окружностью . Он имеет бесконечно много Q -рациональных точек, которые являются точками ${\displaystyle V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},}$${\displaystyle (i,{\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

где t - рациональное число.

Окружность является примером алгебраической кривой степени два, не имеющей Q- рациональной точки. Это можно вывести из того факта, что по модулю 4 сумма двух квадратов не может равняться 3 .${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

Можно доказать, что алгебраическая кривая степени два с Q -рациональной точкой имеет бесконечно много других Q -рациональных точек; каждая такая точка является второй точкой пересечения кривой и прямой с рациональным наклоном, проходящей через рациональную точку.

Сложное многообразие не имеет R -рациональных точек, но имеет много сложных точек.${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

Если V - аффинное многообразие в C ^2, определенное над комплексными числами C , R -рациональные точки V можно нарисовать на листе бумаги или с помощью графического программного обеспечения. На рисунке справа показаны R -рациональные точки${\displaystyle V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.}$

Особые точки и касательное пространство [ править ]

Пусть V аффинное многообразие , определенное с помощью полиномов и быть точкой V .${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],}$${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

Матрица Якоби J _V ( ) из V в есть матрица частных производных

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

Точка является регулярным , если ранг J _V ( ) равна размерности из V , и сингулярной в противном случае.

Если является регулярным, то касательным пространством к V в является аффинным подпространством из определяются линейными уравнениями ^[2]${\displaystyle k^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.}$

Если точка особая, то аффинное подпространство, определяемое этими уравнениями, некоторые авторы также называют касательным пространством, в то время как другие авторы говорят, что в особой точке нет касательного пространства. ^[3] Более внутреннее определение, которое не использует координаты, дается касательным пространством Зарисского .

Топология Зарисского [ править ]

Аффинные алгебраические множества k ⁿ образуют замкнутые множества топологии на k ⁿ , называемой топологией Зарисского . Это следует из того факта, что и (на самом деле счетное пересечение аффинных алгебраических множеств является аффинным алгебраическим множеством).${\displaystyle V(0)=k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$ ${\displaystyle V(1)=\emptyset ,}$ ${\displaystyle V(S)\cup V(T)=V(ST),}$${\displaystyle V(S)\cap V(T)=V(S+T)}$

Топология Зариской также может быть описаны с помощью основных открытых множеств , где Зарискому открытых множества являются счетными объединениями множеств вида для этих базовых открытых множеств комплементов в к ^п замкнутых множеств нулевых локусов одного полинома. Если к является нетерово (например, если к является поле или область главных идеалов ), то каждый идеал к конечно-порожденной, так что каждое открытое множество является конечным объединением основных открытых множеств.${\displaystyle U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}}$${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$${\displaystyle V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},}$

Если V - аффинное подмногообразие в k ^n, топология Зарисского на V - это просто топология подпространства, унаследованная от топологии Зарисского на k ⁿ .

Соответствие геометрии и алгебры [ править ]

Геометрическая структура аффинного многообразия глубоко связана с алгебраической структурой его координатного кольца. Пусть я и J быть идеалы к [V] , координата кольцо аффинного многообразия V . Пусть I (V) множество всех многочленов , обращающихся в нуль на V , и пусть Обозначим радикал идеала I , множество многочленов F , для которых некоторая степень е в I . Причина, по которой базовое поле должно быть алгебраически замкнутым, заключается в том, что аффинные многообразия автоматически удовлетворяют нулевому значению Гильберта.${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$: для идеала J в, где k - алгебраически замкнутое поле,${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$${\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}}.}$

Радикальные идеалы (идеалы , которые являются их собственный радикал) из K [V] соответствуют алгебраических подмножеств V . В самом деле, для радикальных идеалов я и J , тогда и только тогда , когда Следовательно V (I) = V (J) , тогда и только тогда , когда I = J . Кроме того, функция, взявшая аффинное алгебраическое множество W и возвращающая I (W) , множество всех функций, которые также обращаются в нуль во всех точках W , является обратной функцией, приписывающей алгебраическое множество радикальному идеалу с помощью nullstellensatz. Следовательно, соответствие между аффинными алгебраическими множествами и радикальными идеалами является биекцией. Координатное кольцо аффинного алгебраического множества есть${\displaystyle I\subseteq J}$${\displaystyle V(J)\subseteq V(I).}$редуцированный (нильпотентный), поскольку идеал I в кольце R радикален тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R / I редуцировано.

Простые идеалы координатного кольца соответствуют аффинным подмногообразиям. Аффинное алгебраическое множество V (I) может быть записано как объединение двух других алгебраических множеств тогда и только тогда, когда I = JK для собственных идеалов J и K, не равных I (в этом случае ). Это так, если и только если I не является простым. Аффинные подмногообразия - это в точности те, координатное кольцо которых является областью целостности. Это потому, что идеал прост тогда и только тогда, когда фактор кольца по идеалу является областью целостности.${\displaystyle V(I)=V(J)\cup V(K)}$

Максимальные идеалы K [V] соответствуют точкам V . Если я и J радикальные идеалы, то тогда и только тогда , когда , как максимальные идеалы являются радикальными, максимальные идеалы соответствуют минимальным алгебраических множеств (те , которые не содержат никаких собственных алгебраических подмножеств), которые являются точками в V . Если V - аффинное многообразие с координатным кольцом, это соответствие становится явным через отображение где обозначает изображение в фактор-алгебре R полинома . Алгебраическое подмножество является точкой тогда и только тогда, когда координатное кольцо этого подмножества является полем, как Фактор кольца по максимальному идеалу - это поле.${\displaystyle V(J)\subseteq V(I)}$${\displaystyle I\subseteq J.}$${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,}$${\displaystyle {\overline {x_{i}-a_{i}}}}$${\displaystyle x_{i}-a_{i}.}$

Следующая таблица суммирует это соответствие для алгебраических подмножеств аффинного многообразия и идеалов соответствующего координатного кольца:

Произведения аффинных разновидностей [ править ]

Произведение аффинных многообразий можно определить с помощью изоморфизма A ⁿ  ×  A ^m  =  A ^{n + m} , а затем вложить произведение в это новое аффинное пространство. Пусть A ⁿ и A ^m имеют координатные кольца k [ x ₁ , ...,  x _n ] и k [ y ₁ , ...,  y _m ] соответственно, так что их произведение A ^{n + m} имеет координатное кольцо k [ x₁ , ...,  x _n ,  y ₁ , ...,  y _m ] . Пусть V  =  V (  f ₁ , ...,  f _N ) - алгебраическое подмножество A ⁿ , а W  =  V (  g ₁ , ...,  g _M ) - алгебраическое подмножество A ^m . Тогда каждый f _i является многочленом от k [ x ₁ , ...,  x _n] , и каждый g _j находится в k [ y ₁ , ...,  y _m ] . Продукт из V и W определяются как алгебраическое множество V  ×  W  =  V (  F ₁ , ...,  F _N ,  г ₁ , ...,  г _М ) в А ^{н + м} . Произведение неприводимо, если каждое V , W неприводимо. ^[4]

Важно отметить, что топология Зарисского на A ⁿ  ×  A ^m  не является топологическим произведением топологий Зарисского на этих двух пространствах. Действительно, топология произведения порождается произведениями основных открытых множеств U _f  =  A ⁿ  -  V (  f  ) и T _g  =  A ^m  -  V (  g  ). Следовательно, многочлены, входящие в k [ x ₁ , ...,  x _n ,  y ₁ , ..., y _m ], но не в k [ x ₁ , ...,  x _n ] или k [ y ₁ , ...,  y _m ], будет определять алгебраические множества, которые находятся в топологии Зарисского на A ⁿ  ×  A ^m  , но не в в топологии продукта.

Морфизмы аффинных многообразий [ править ]

Морфизм или регулярное отображение, аффинных многообразий является функцией от аффинных многообразий , который является полиномом по каждой координате: Более точно, для аффинных многообразий V ⊆ K ^н и W ⊆ K ^м , А морфизм из V в W есть отображение φ  : V → W вида φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )), где f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _n ] для каждого i = 1, ..., m . Это морфизмы в категории аффинных многообразий.

Существует взаимно-однозначное соответствие между морфизмами аффинных многообразий над алгебраически замкнутым полем к , и гомоморфизмы координатных колец аффинных многообразий над к , идущим в направлении , противоположном. Из - за этого, наряду с тем , что существует взаимно-однозначное соответствие между аффинными многообразиями над к и их координатам кольца, категория аффинных многообразий над к является двойственной к категории координатных колец аффинных многообразий над к . Категория координатных колец аффинных многообразий над k - это в точности категория конечно порожденных, нильпотентно-свободных алгебр над k .

Точнее, для каждого морфизма φ  : V → W аффинных многообразий существует гомоморфизм φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] между координатными кольцами (идущий в противоположном направлении), и для каждого такого гомоморфизма существует является морфизмом многообразий, ассоциированных с координатными кольцами. Это можно показать явно: пусть V ⊆ k ⁿ и W ⊆ k ^m - аффинные многообразия с координатными кольцами k [ V ] = k [ X ₁ , ..., X _n ] / I и k [ W ] = k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J соответственно. Пусть φ  : V → W - морфизм. В самом деле, гомоморфизм между кольцами многочленов θ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] / I однозначно пропускается через кольцо k [ X ₁ , ..., X _n ], а гомоморфизм ψ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] однозначно определяется изображения Y ₁ , ..., Y _m . Следовательно, каждый гомоморфизм φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] однозначно соответствует выбору образа для каждого Y _я . Тогдалюбого морфизм φ = ( F ₁ , ..., F _м ) от V до W , гомоморфизм можно построить ф ^#  : K [ Вт ] → K [ V ] , который посылает Y _I кгдеэто класс эквивалентности f _i в k [ V ]. ${\displaystyle {\overline {f_{i}}},}$${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$

Аналогично для каждого гомоморфизма координатных колец морфизм аффинных многообразий может быть построен в обратном направлении. Зеркальное пункт выше, гомоморфизм ф ^#  : к [ Вт ] → K [ V ] посылает Y _I в полином в K [ V ] . Это соответствует морфизму многообразий φ  : V → W, определяемому формулой φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ${\displaystyle f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )).

Структурная связка [ править ]

Обладая структурным пучком, описанным ниже, аффинное многообразие представляет собой локально окольцованное пространство .

Учитывая аффинное многообразие X с координатой кольца А , пучок K -алгебр определяются, позволяя быть кольцом регулярных функций на U .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

Пусть D ( f ) = { x | е ( х ) ≠ 0} для каждого F в A . Они составляют основу топологии X и, таким образом , определяются его значениями на открытых множествах D ( f ). (См. Также: связка модулей # Связка, связанная с модулем .)${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Ключевой факт, который существенно опирается на Hilbert nullstellensatz , заключается в следующем:

Доказательство: ^[5] Включение очевидно. Для противного, пусть g будет в левой части и , что является идеалом. Если x принадлежит D ( f ), то, поскольку g регулярна вблизи x , существует некоторая открытая аффинная окрестность D ( h ) точки x такая, что ; то есть h ^m g принадлежит A и, следовательно, x не принадлежит V ( J ). Другими словами, и, таким образом, гильбертовский нуль-стеллензац влечет f${\displaystyle J=\{h\in A|hg\in A\}}$${\displaystyle g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]}$ ${\displaystyle V(J)\subset \{x|f(x)=0\}}$находится в радикале J ; то есть .${\displaystyle f^{n}g\in A}$${\displaystyle \square }$

Утверждение, прежде всего, означает, что X - «локально окольцованное» пространство, поскольку

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$

где . Во-вторых, из утверждения следует, что это пучок; действительно, он говорит, что если функция регулярна (поточечно) на D ( f ), то она должна находиться в координатном кольце D ( f ); то есть "регулярность" можно исправить вместе.${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Следовательно, - локально окольцованное пространство.${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Теорема Серра о сродстве [ править ]

Теорема Серра дает характеристику когомологическую аффинного многообразия; он говорит , что алгебраическое многообразие аффинно тогда и только тогда , когда для любого и любого квазикогерентного пучка F на X . (см . теорему Картана B. ) Это делает когомологическое исследование аффинного многообразия несуществующим, что резко контрастирует с проективным случаем, в котором группы когомологий линейных расслоений представляют центральный интерес.${\displaystyle H^{i}(X,F)=0}$${\displaystyle i>0}$

Аффинные алгебраические группы [ править ]

Аффинное многообразие G над алгебраически замкнутым полем k называется аффинной алгебраической группой, если оно имеет:

• Умножение μ :  G  ×  G  →  G , которая является регулярным морфизм , что следует за ассоциативность аксиомой, то есть таким образом, что μ ( μ ( е ,  г ),  ч ) =  μ ( F ,  М ( г ,  ч )) для все точки f , g и h в G ;
• Единичный элемент е такой , что μ ( е ,  г ) =  μ ( г ,  е ) =  г для каждого г в G ;
• Обратный морфизм , регулярный биекция ι :  G  →  G такое , что μ ( ι ( г ),  г ) =  μ ( ι ( г ),  г ) =  е для каждого г в G .

Вместе они определяют структуру группы на разновидности. Вышеуказанные морфизмы часто написаны с использованием обычной группы обозначения: М ( п ,  г ) можно записать в виде е  +  г , е ⋅ г , или фг ; обратный ι ( g ) может быть записан как - g или g ⁻¹ . Используя мультипликативную запись, ассоциативность, тождество и обратные законы могут быть переписаны как: f ( gh ) = ( fg ) h, ge  =  eg  =  g и gg ⁻¹  =  g ⁻¹ g  =  e .

Наиболее известный пример аффинной алгебраической группы GL _п ( к ), линейная группа степени п . Это группа линейных преобразований векторного пространства k ⁿ ; если основа из K ^п , фиксировано, это эквивалентно группе п × п обратимых матриц с элементами из к . Можно показать, что любая аффинная алгебраическая группа изоморфна подгруппе GL _n ( k ). По этой причине аффинные алгебраические группы часто называют линейными алгебраическими группами .

Аффинные алгебраические группы играют важную роль в классификации конечных простых групп , поскольку группы лиева типа - это все множества F _q -рациональных точек аффинной алгебраической группы, где F _q - конечное поле.

Обобщения [ править ]

• Если автор требует, чтобы базовое поле аффинного многообразия было алгебраически замкнутым (как это делается в этой статье), то неприводимые аффинные алгебраические множества над неалгебраически замкнутыми полями являются обобщением аффинных многообразий. Это обобщение, в частности, включает аффинные многообразия над действительными числами .

• Аффинное многообразие играет роль локальной карты алгебраических многообразий ; другими словами, общие алгебраические многообразия, такие как проективные многообразия , получаются склейкой аффинных многообразий. Линейные структуры, присоединенные к многообразиям, также (тривиально) являются аффинными многообразиями; например, касательные пространства, слои алгебраических векторных расслоений .

• Аффинное многообразие - это частный случай аффинной схемы , локально-окольцованного пространства, изоморфного спектру коммутативного кольца (с точностью до эквивалентности категорий ). С каждым аффинным многообразием связана аффинная схема: если V (I) - аффинное многообразие в k ⁿ с координатным кольцом R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / I , то схема, соответствующая V ( I) является Spec ( R ), множество простых идеалов R . Аффинная схема имеет «классические точки», которые соответствуют точкам многообразия (и, следовательно, максимальным идеалам координатного кольца многообразия), а также точку для каждого замкнутого подмногообразия многообразия (эти точки соответствуют простым, немаксимальным идеалы координатного кольца). Это создает более четко определенное понятие «общей точки» аффинного многообразия, приписывая каждому замкнутому подмногообразию открытую точку, которая плотна в подмногообразии. Вообще говоря, аффинная схема является аффинным многообразием, если она приведена , неприводима и имеет конечный тип над алгебраически замкнутым полем k .

Заметки [ править ]

См. Также [ править ]

• алгебраическое многообразие
• аффинная схема
• Представления на координатных кольцах

Ссылки [ править ]

Оригинальная статья была написана как частичный человеческий перевод соответствующей статьи на французском языке.

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157
• Фултон, Уильям (1969). Алгебраические кривые (PDF) . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-510103. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Милн, Алгебраическая геометрия
• Милн, Лекции по этальным когомологиям.
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974) о кривых и их якобианах . Конспект лекций по математике. 1358 (2-е изд.). Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / b62130 . ISBN 354063293X. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Рид, Майлз (1988). Бакалавриат по алгебраической геометрии . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-35662-8. CS1 maint: discouraged parameter (link)