В математике, именно в теории функций многих комплексных переменных , теорема о продолжении Гартогса в это утверждение о особенностей о голоморфных функций многих переменных. Неформально он утверждает, что носитель особенностей таких функций не может быть компактным , поэтому сингулярное множество функции нескольких комплексных переменных должно (грубо говоря) «уходить в бесконечность» в каком-то направлении. Точнее, он показывает, что изолированная особенность всегда является устранимой особенностью для любой аналитической функции при n > 1.комплексные переменные. Первая версия этой теоремы была доказана Ф. Гартогсом , [1] , и как таковой он известен также как лемма Хартогса в и принципе Хартогса в : в начале советской литературы [2] он также называется Осгуд-Браун теоремой , признавая позднюю работу по Артур Бартон Браун и Уильям Фогг Осгуд . [3] Это свойство голоморфных функций нескольких переменных также называется феноменом Хартогса : однако, выражение «феномен Хартогса» также используется для определения свойства решений систем уравнений в частных производных или уравнений свертки, удовлетворяющих теоремам типа Хартогса. [4]
Историческая справка
Первоначальное доказательство было дано Фридрихом Хартогсом в 1906 году с использованием интегральной формулы Коши для функций нескольких комплексных переменных . [1] Сегодня обычные доказательства опираются либо на формулу Бохнера – Мартинелли – Коппельмана, либо на решение неоднородных уравнений Коши – Римана с компактным носителем. Последний подход принадлежит Леону Эренпрейсу, который инициировал его в своей статье ( Ehrenpreis 1961 ). Еще одно очень простое доказательство этого результата было дано Гаэтано Фичера в статье ( Fichera 1957 ), используя его решение проблемы Дирихле для голоморфных функций многих переменных и родственное понятие CR-функции : [5] позже он расширил теорема к определенному классу дифференциальных операторов в частных производных в статье ( Fichera 1983 ), и его идеи позже были исследованы Джулиано Братти. [6] Также японская школа теории операторов с частными производными много работала над этой темой с заметным вкладом Акиры Канеко. [7] Их подход заключается в использовании фундаментального принципа Эренпрейса .
Феномен Хартогса
Явление, которое справедливо для нескольких переменных, но не выполняется для одной переменной, называется феноменом Хартогса , что приводит к понятию этой теоремы Хартогса о расширении и области голоморфности , следовательно, к теории нескольких комплексных переменных .
Например, в двух переменных рассмотрим внутреннюю область
в двумерном полидиске где .
Теорема Хартогса (1906) : любые голоморфные функции на аналитически продолжаются . А именно, существует голоморфная функция на такой, что на .
Фактически, используя интегральную формулу Коши, мы получаем расширенную функцию. Все голоморфные функции аналитически продолжаются на полидиск, который строго больше области, на которой определена исходная голоморфная функция. Такого явления никогда не бывает в случае одной переменной.
Официальное заявление
- Пусть F быть голоморфная функция на множестве G \ K , где G представляет собой открытое подмножество C п ( п ≥ 2 ) и K представляет собой компактное подмножество G . Если дополнение G \ K связно, то F может быть расширен до уникальной голоморфной функции на G .
Контрпримеры в измерении один
Теорема неверна при n = 1 . Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть функцию F ( г ) = г -1 , что явно голоморфна в C \ {0}, но не может быть продолжена голоморфно на всем С . Таким образом, феномен Хартогса является элементарным явлением, подчеркивающим различие между теорией функций одного и нескольких комплексных переменных.
Заметки
- ^ a b См. оригинальную статью Хартогса (1906) и ее описание в различных исторических обзорах Осгуда (1963 , стр. 56–59). , Севери (1958 , стр. 111–115) и Струппа (1988 , стр. 132–134). В частности, в этой последней ссылке на стр. 132 Автор прямо пишет: « Как указано в названии ( Hartogs 1906 ) и как скоро читатель увидит, ключевым инструментом доказательства является интегральная формула Коши ».
- ^ См., Например, Владимиров (1966 , с. 153), который отсылает читателя к книге Фукса (1963 , с. 284) за доказательством (однако в первой ссылке неверно указано, что доказательство находится на странице 324). ).
- ^ См. Браун (1936) и Осгуд (1929) .
- ^ См. Fichera (1983) и Bratti (1986a) ( Bratti 1986b ).
- ^ Профессор Фичеры, а также его эпохальная статья ( Fichera 1957 ), похоже, не были замечены многими специалистами по теории функций нескольких комплексных переменных : см. Range (2002) для правильной атрибуции многих важных теорем в этой области.
- ^ См Братти (1986a) ( Братти 1986b ).
- ↑ См. Его статью ( Канеко, 1973 ) и ссылки в ней.
Рекомендации
Исторические ссылки
- Фукс, Б.А. (1963), Введение в теорию аналитических функций нескольких комплексных переменных , Переводы математических монографий, 8 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. Vi + 374, ISBN 9780821886441, Руководство по ремонту 0168793 , Zbl 0138.30902.
- Осгуд, Уильям Фогг (1966) [1913], темы в теории функций нескольких комплексных переменных , Нью - Йорк (несокращенный и исправляются ред.): Dover , с IV + 120,. JFM 45.0661.02 , MR 0201668 , Zbl 0138,30901.
- Диапазон, Р. Майкл (2002), "Удлинители явления в многомерном комплексном анализе: исправление исторической записи", Математическая Интеллидженсер , 24 (2): 4-12, DOI : 10.1007 / BF03024609 , MR 1907191. Исторический документ, исправляющий некоторые неточные исторические утверждения в теории голоморфных функций многих переменных , в частности, в отношении вкладов Гаэтано Фичеры и Франческо Севери .
- Севери, Франческо (1931), "Risoluzione del проблема general di Dirichlet per le funzioni biarmoniche", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , серия 6 (на итальянском языке), 13 : 795–804, JF 57.0393.01 , Zbl 0002.34202. Это первая статья, в которой дается общее решение проблемы Дирихле для плюригармонических функций для общих вещественных аналитических данных на вещественной аналитической гиперповерхности . Перевод названия: - « Решение общей задачи Дирихле для бигармонических функций ».
- Севери, Франческо (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse - Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (на итальянском языке), Padova: CEDAM - Casa Editrice Dott. Антонио Милани, Zbl 0094.28002. Перевод названия: - « Лекции по аналитическим функциям нескольких комплексных переменных - Читал лекции в 1956–57 в Институте национальной математики в Риме ». Эта книга состоит из конспектов лекций по курсу, проведенному Франческо Севери в Istituto Nazionale di Alta Matematica (который в настоящее время носит его имя), и включает приложения Энцо Мартинелли , Джованни Баттиста Рицца и Марио Бенедикти .
- Struppa, Daniele C. (1988), «Первые восемьдесят лет теоремы Хартогса», Seminari di Geometria 1987–1988 , Болонья : Università degli Studi di Bologna - Dipartimento di Matematica, стр. 127–209, MR 0973699 , Zbl 0657.35018.
- Владимиров В. С. (1966), Эренпрейс Л. (ред.) Методы теории функций многих комплексных переменных. С предисловием Н. Н. Боголюбова , Кембридж - Лондон : MIT Press , стр. XII + 353, MR 0201669 , Zbl 0125.31904( Zentralblatt рецензия на оригинальное русское издание). Одна из первых современных монографий по теории нескольких комплексных переменных , отличающаяся от других того же периода широким использованием обобщенных функций .
Научные ссылки
- Бохнер, Salomon (октябрь 1943), "Аналитические и мероморфны продолжением с помощью формулы Грина", Анналы математики , второй серии 44 (4): 652-673, DOI : 10,2307 / 1969103 , JSTOR 1969103 , MR 0009206 , ZBL 0060.24206.
- Бохнер, Salomon (1 марта 1952), "Дифференциальные уравнения в частных и аналитических продолжений", PNAS , 38 (3): 227-230, Bibcode : 1952PNAS ... 38..227B , DOI : 10.1073 / pnas.38.3.227 , Руководство по ремонту 0050119 , PMC 1063536 , PMID 16589083 , Zbl 0046.09902.
- Братти, Джулиано (1986a), "A proposito di un esempio di Fichera relativo al fenomeno di Hartogs" [О примере Fichera, касающемся феномена Хартогса], Rendiconti della Accademia Nazionale delle Scienze Detta dei XL , серия 5 (на итальянском и английском языках) , Х (1): 241-246, МР 0879111 , Zbl +0646,35007 , заархивированы с оригинала на 2011-07-26
- Братти, Джулиано (1986b), "Estensione di un teorema di Fichera relativo al fenomeno di Hartogs per sistemi Differenziali a coefficenti costanti" [Расширение теоремы Fichera для систем PDE с постоянными коэффициентами, касающихся феномена Гартогса], Rendiconti deale Nazionale delle Scienze Detta dei XL , серия 5 (на итальянском и английском языках), X (1): 255–259, MR 0879114 , Zbl 0646.35008 , архивировано из оригинала 26 июля 2011 г.
- Братти, Джулиано (1988), «Su di un teorema di Hartogs» [По теореме Хартогса], Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova (на итальянском языке), 79 : 59–70, MR 0964020 , Zbl 0657.46033
- Браун, Артур Б. (1936), "О некоторых аналитических продолжений и аналитических гомеоморфизмов", Дюк математический журнал , 2 : 20-28, DOI : 10,1215 / S0012-7094-36-00203-X , JFM 62.0396.02 , MR 1545903 , Zbl 0013.40701
- Эренпрейс, Леон (1961), «Новое доказательство и расширение теоремы Хартога», Бюллетень Американского математического общества , 67 (5): 507–509, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1961-10661-7 , MR 0131663 , Zbl 0099.07801. Фундаментальная работа по теории феномена Хартогса. Типографская ошибка в названии воспроизводится в том виде, в котором она представлена в исходной версии статьи.
- Fichera, Gaetano (1957), "Caratterizzazione della traccia, sulla frontiera di un campo, di una funzione analitica di più variabili complesse", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , серия , 22 (6): 706–715, MR 0093597 , Zbl 0106.05202. Эпохальная статья в теории CR-функций , в которой решается задача Дирихле для аналитических функций многих комплексных переменных для общих данных. Перевод названия гласит: - « Характеристика следа на границе области аналитической функции нескольких комплексных переменных ».
- Fichera, Gaetano (1983), "Sul fenomeno di Hartogs per gli operatori lineari all derivate parziali", Rendiconti Dell 'Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. Scienze Matemàtiche e Applications, Series A. (на итальянском языке), 117 : 199–211, MR 0848259 , Zbl 0603.35013. Английский перевод названия читается как: - « Явление Хартогса для некоторых линейных операторов с частными производными ».
- Фютер, Рудольф (1939-1940), "Über Einen Hartogs'schen Satz" [Об одной теореме Гартогсом], Commentarii Mathematici Helvetici (на немецком языке ), 12 (1): 75-80, DOI : 10.1007 / bf01620640 , JFM 65,0363 .03 , Zbl 0022.05802 , заархивировано из оригинала на 2011-10-02 , получено 2011-01-16. Доступно на портале SEALS .
- Фютер, Рудольф (1941-1942), «Über Einen Hartogs'schen Satz в дер Теорье дер analytischen Funktionen фон н komplexen Variablen» [Об одной теореме Гартогсом в теории аналитических функций п комплексных переменных], Commentarii Mathematici Helvetici (в немецкий), 14 (1): 394-400, DOI : 10.1007 / bf02565627 , JFM 68.0175.02 , MR 0007445 , Zbl 0027,05703 , архивируются с оригинала на 2011-10-02 , извлекаться 2011-01-16 (смотрите также Zbl 0060.24505 , совокупный обзор нескольких статей Э. Троста). Доступно на портале SEALS .
- Хартогс, Фриц (1906), «Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen». , Sitzungsberichte дер Königlich Bayerischen Akademie дер Wissenschaften цу München, Physikalische-Математический Klasse (на немецком языке ), 36 : 223-242, JFM 37.0443.01.
- Гартогс, Fritz (1906a), "Zur Theorie дер analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über умереть Darstellung derselber Дурха Reihen Welche Potentzen Einer на Veränderlichen fortschreiten" , Mathematische Анналы (на немецком языке ), 62 : 1-88, DOI : 10.1007 / BF01448415 , JFM 37.0444.01. Доступно на DigiZeitschriften .
- Хёрмандер, Ларс (1990) [1966], Введение в комплексный анализ нескольких переменных , Математическая библиотека Северной Голландии, 7 (3-е (пересмотренное) изд.), Амстердам – Лондон – Нью-Йорк – Токио: Северная Голландия , ISBN 0-444-88446-7, Руководство по ремонту 1045639 , Zbl 0685.32001.
- Канеко, Akira (12 января, 1973 г.), "О продолжении регулярных решений дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами", Труды Японской академии , 49 (1): 17-19, DOI : 10,3792 / PJA / 1195519488 , МР 0412578 , Zbl 0265,35008, доступный в Project Euclid .
- Мартинелли, Энцо (1942–1943), «Sopra una dimostrazione di R. Fueter per un teorema di Hartogs» [О доказательстве теоремы Хартогса Р. Фютером], Commentarii Mathematici Helvetici (на итальянском языке), 15 (1) : 340–349, doi : 10.1007 / bf02565649 , MR 0010729 , Zbl 0028.15201 , заархивировано из оригинала на 2011-10-02 , получено 2011-01-16. Доступно на портале SEALS .
- Осгуд, WF (1929), Lehrbuch der Funktionentheorie. II , Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiet der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen (на немецком языке), Bd. XX - 1 (2-е изд.), Лейпциг: BG Teubner , стр. VIII + 307, ISBN 9780828401821, JFM 55.0171.02.
- Севери, Франческо (1932), «Собственная основа оломорфизма уна функционального анализа для разнообразной реальной действительности и вариабельного соединения», Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche Natural , серия 6 Matematiche e итальянский), 15 : 487-490, JFM 58.0352.05 , Zbl 0004,40702. Английский перевод названия читается как: - « Фундаментальное свойство области голоморфности аналитической функции одной действительной переменной и одной комплексной переменной ».
- Севери-, Франческо (1942-1943), "А proposito d'ООН Teorema ди Хартогса" [О теореме Хартогса], Commentarii Mathematici Helvetici (на итальянском), 15 (1): 350-352, DOI : 10.1007 / bf02565650 , MR 0010730 , Zbl 0028.15301 , заархивировано из оригинала на 2011-10-02 , получено 2011-06-25. Доступно на портале SEALS .
Внешние ссылки
- Чирка, EM (2001) [1994], "Теорема Хартогса" , Энциклопедия математики , EMS Press
- «Несостоятельность теоремы Хартогса в одном измерении (контрпример)» . PlanetMath .
- Теорема Хартогса в PlanetMath .
- Доказательство теоремы Хартогса в PlanetMath .